Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 19/09/2012

A.A. 2011/2012

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Trovare le soluzioni limitate dell’equazione y

+ 4y

= x + cos(2x).

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ⃗ r) di equazione parametrica

⃗

r(u, v) = ((1 − u) cos v, (1 − u) sin v, u), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

` e una superficie regolare. Scrivere l’equazione cartesiana e calcolare il flusso del campo vettoriale

F = (z ⃗

+ y, y, x) attraverso la superficie Σ.

Problema 3: Calcolare l’integrale ∫

|z|=3π

z

e

− 1 − iz dz .

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione { −2, −π ≤ x < 0,

2, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑

1 (2n + 1)

,

∑

( −1)

2n + 1 .

Parte B. Discutere almeno uno dei seguenti argomenti:

Tema 1: Massimi e minimi vincolati.

Tema 2: Teoremi di convergenza per le serie di Fourier e dimostrazione del teorema

sulla convergenza uniforme.