COGNOME NOME matr.
o sigla
Firma studente
1 2 3 4 5 6 7 Totale
5 4 5 6 5 4 4 30
IAVE A
MATEMATICA — 29 giugno 2009
Esercizio 1
Calcolare l’area della regione piana delimitata inferiormente dalla curva di equazione y = 4x3− 25x2+ 16x + 27
e superiormente dalla parabola di equazione
y = −x2+ 4x − 13
Area Calcoli
Esercizio 2
Risolvere il seguente sistema lineare:
2x + 3y − 4z = 2 3x + 6y + z = 1
−4x − 5y − 6z = 4
Soluzione:
Calcoli
1
Esercizio 3
Studiare la funzione
f (x) = (x + 1)(2 − x) (x − 3)2 In particolare, determinare:
1) il campo di esistenza 2) i limiti ai bordi del campo di esistenza 3) la derivata prima
4) gli intervalli di crescenza e decrescenza 5) i punti stazionari 6) la derivata seconda
7) gli intervalli di concavit`a e convessit`a 8) i punti di flesso 9) l grafico qualitativo della funzione
Determinare inoltre l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 1.
Campo esistenza Limiti
Derivata prima
Int. cresc. decresc. Punti stazionari
Derivata seconda
Int. conc. conv. P.ti flesso
Retta tangente Calcoli e grafico
2
Esercizio 4
Calcolare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
(t − 1)2yy0= −1 Determinare inoltre quella che soddisfa la condizione iniziale seguente:
y(0) = 1
Soluzioni generali:
Soluzione particolare:
Calcoli
Esercizio 5
Determinare il volume del solido ottenuto facendo ruotare intorno all’asse x la porzione di piano compresa tra la parabola di equazione y = 6x − x2 e la retta di equazione y = 2x.
Calcoli
3
Esercizio 6
Determinare il punto di massimo e il valore massimo assunto dalla funzione f (x, y) = x + 3y
nell’insieme definito dal sistema di disequazioni
x − 2y ≥ −16 4x + 5y ≤ 70
2x + y ≤ 26
0 ≤ x ≤ 12 0 ≤ y ≤ 10
Esercizio 7
Calcolare la media, lo scarto quadratico medio e la varianza del seguente insieme di dati:
k pk xk
1 3 11, 8 2 7 16, 2 3 9 20, 5 4 8 25, 4 5 6 28, 7 6 4 34, 3 7 2 37, 1 8 1 49, 7
4
