Il discriminante Maurizio Cornalba

Il discriminante Maurizio Cornalba

23/3/2013

Siano X 1 , . . . , X n indeterminate. Consideriamo i polinomi V (X 1 , . . . , X n ) = Y

i>j

(X i − X _j )

∆(X 1 , . . . , X n ) = V (X 1 , . . . , X n ) ²

Il polinomio V (X 1 , . . . , X n ) ` e chiaramente antisimmetrico. In altre parole V (X _σ(1) , . . . , X _σ(n) ) = (σ)V (X 1 , . . . , X n )

per ogni permutazione σ ∈ S n , dove (σ) sta per il segno di σ. Inoltre vale la seguente formula.

Lemma 1 (determinante di Vandermonde).

V (X ₁ , . . . , X _n ) = det













1 X ₁ X ₁ ² · · · X ₁ ⁿ⁻¹ 1 X ₂ X ₂ ² · · · X ₂ ⁿ⁻¹

· · · ·

· · · ·

1 X _n X _n ² · · · X _n ⁿ⁻¹













Dimostrazione. Nella dimostrazione indichiamo con V ⁰ (X ₁ , . . . , X _n ) il lato destro della formula da dimostrare. Ragioniamo per induzione su n. Quando n = 2 la formula ` e chiaramente valida. Per il passo induttivo consideriamo i due lati come polinomi in X 1 a coefficienti in Z[X 2 , . . . , X n ].

Entrambi hanno grado n − 1 e hanno radici X ₂ , . . . , X _n . Sono quindi proporzionali. D’altra parte il coefficiente di X ₁ ⁿ⁻¹ nel lato sinistro ` e (−1) <sup>n−1</sup> V (X <sub>2</sub> , . . . , X <sub>n</sub> ), mentre nel lato destro ` e (−1) ⁿ⁻¹ V ⁰ (X 2 , . . . , X n ). La tesi segue per ipotesi induttiva.

Dato che V ` e antisimmetrico, il suo quadrato ∆ ` e un polinomio simmetrico, e quindi ` e della forma D n (σ 1 , . . . , σ n ), dove D n ` e un polinomio a coefficienti interi nelle funzioni simmetriche elementari σ ₁ , . . . , σ _n . Ad esempio

∆(X ₁ , X ₂ ) = (X ₁ − X ₂ ) ² = (X ₁ + X ₂ ) ² − 4X ₁ X ₂ = σ ₁ ² − 4σ ₂

Calcolare D _n , cio` e trovare l’espressione di ∆ in termini delle funzioni simmetriche elementari, non ` e immediato. Una prima osservazione ` e che il monomio massimo, rispetto all’ordinamento lessicografico dei polinomi nelle X <sub>i</sub> , che compare in ∆ ` e

X ₁ ²ⁿ⁻² X ₂ ²ⁿ⁻⁴ · · · X _n−1 ² =

n

Y

i=1

X _i ²ⁿ⁻²ⁱ ,

e che compare con coefficiente 1. Quindi i monomi Q σ ^j _i

non compaiono in D _n se il multiindice (j 1 + · · · + j n , j 2 + · · · + j n , . . . , j n ) ` e maggiore di (2n − 2, 2n − 4, . . . , 2, 0) e il monomio

n−1

Y

i=1

σ ² _i

compare con coefficiente 1. In particolare, il grado di D n ` e uguale a 2n − 2. Applichiamo queste considerazioni al calcolo di ∆ nel caso n = 3. Per quanto abbiamo osservato

∆(X 1 , X 2 , X 3 ) = σ ₁ ² σ ₂ ² + aσ ³ ₁ σ 3 + bσ ₂ ³ + cσ 1 σ 2 σ 3 + dσ ₃ ² (1) dove a, b, c, d sono interi da determinare. Un modo per trovare questi coefficienti ` e quello di asse- gnare valori particolari agli X i e calcolare le varie funzioni simmetriche che compaiono in (1) per questi valori. Questo d` a luogo a un sistema di equazioni lineari che permette di ricavare a, b, c, d.

Scelta 1. Poniamo X ₁ = 1, X ₂ = −1, X ₃ = 0. In questo caso σ ₁ = 0, σ ₂ = −1, σ ₃ = 0, mentre

∆ = 4. Ne segue che b = −4.

Scelta 2. Poniamo X 1 = 1, X 2 = ζ, X 3 = ζ ² , dove ζ ` e una radice cubica primitiva di 1. Ricordiamo che 1 + ζ + ζ ² = 0. In questo caso σ 1 = 0, σ 2 = 0, σ 3 = 1, mentre

∆ = (1 − ζ) ² (1 − ζ ² ) ² (ζ − ζ ² ) ² = (2 − ζ − ζ ² ) ² (ζ ² + ζ − 2) = −3 ³ = −27 Ne segue che d = −27.

Scelta 3. Poniamo X ₁ = X ₂ = 2, X ₃ = −1. In questo caso σ ₁ = 3, σ ₂ = 0, σ ₃ = −4, mentre

∆ = 0. Ne segue che a = −4.

Scelta 4. Poniamo X 1 = X 2 = X 3 = 1. In questo caso σ 1 = 3, σ 2 = 3, σ 3 = 1, mentre ∆ = 0.

Sostituendo questi valori in (1) otteniamo che 0 = 3 ⁴ − 4 · 3 ³ + 3 ² c − 4 · 3 ³ − 27, cio` e che 0 = 9 − 12 + b − 12 − 3

Ne segue che c = 18.

La conclusione ` e che

∆(X 1 , X 2 , X 3 ) = σ ₁ ² σ ₂ ² − 4σ ₁ ³ σ 3 − 4σ ₂ ³ + 18σ 1 σ 2 σ 3 − 27σ ₃ ² (2) Esercizio 1. Mostrare che

∆(X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) = σ ² ₁ σ ² ₂ σ ² ₃ − 4σ ₁ ² σ ₂ ³ σ 4 − 4σ ³ ₁ σ ³ ₃ + 18σ ₁ ³ σ 2 σ 3 σ 4 − 27σ ₁ ⁴ σ ₄ ² − 4σ ₂ ³ σ ₃ ² + 16σ ⁴ ₂ σ 4

+ 18σ ₁ σ ₂ σ ₃ ³ − 80σ ₁ σ ² ₂ σ ₃ σ ₄ − 6σ ² ₁ σ ₃ ² σ ₄ + 144σ ₁ ² σ ₂ σ ₄ ² − 27σ ⁴ ₃ + 144σ ₂ σ ² ₃ σ ₄

− 128σ ₂ ² σ ₄ ² − 192σ ₁ σ 3 σ ² ₄ + 256σ ₄ ³

Una osservazione che pu` o essere utile ` e che ∆(X ₁ , X ₂ , X ₃ , 0) = σ ² ₃ ∆(X ₁ , X ₂ , X ₃ ). Questo permette di determinare alcuni dei coefficienti nella formula per ∆(X ₁ , X ₂ , X ₃ , X ₄ ) usando la formula (2).

Sia ora A un anello commutativo, e sia P (X) = X ⁿ +

n

X

i=1

(−1) ⁱ a i X ⁿ⁻ⁱ = X ⁿ − a ₁ X ⁿ⁻¹ + a 2 X ⁿ⁻² − · · · + (−1) ⁿ a n

un polinomio monico a coefficienti in A. Definiamo il discriminante di P come

disc(P ) = D n (a 1 , a 2 , . . . , a n ) (3) Se scriviamo P (X) = Q(X − b _i ), dove i b _i sono elementi di qualche sovraanello commutativo di A, gli a _i sono le funzioni simmetriche elementari nei b _i . In formule, a _i = σ _i (b ₁ , . . . , b _n ). Possiamo dunque scrivere

disc(P ) = ∆(b ₁ , . . . , b _n ) (4)

Segue da (2) che, se P = X ³ + pX + q ` e un polinomio cubico “in forma ridotta”, il discriminante di P ` e

disc(P ) = −4p ³ − 27q ²

Per un polinomio cubico monico generale Q = X ³ − a ₁ X ² + a 2 X − a 3 la (2) dice invece che disc(Q) = a ² ₁ a ² ₂ − 4a ³ ₁ a ₃ + 18a ₁ a ₂ a ₃ − 4a ³ ₂ − 27a ² ₃ (5) Quest’ultima formula pu` o anche essere facilmente dedotta dalla precedente come segue. Osserviamo che

∆(b 1 + d, b 2 + d, . . . , b n + d) = ∆(b 1 , b 2 , . . . , b n )

per ogni d. Questo significa che per ogni polinomio monico Q di grado n si ha che disc(Q(X + d)) = disc(Q(X))

Quando Q = X ³ − a ₁ X ² + a ₂ X − a ₃ , scegliendo d = a ₁ /3, si ha che

Q(X + d) = X ³ + (a ₂ − a ² ₁ /3)X + (a ₁ a ₂ /3 − 2a ³ ₁ /27 − a ₃ )

Applicando a questo polinomio la formula per il discriminante di un polinomio cubico in forma ridotta si ottiene la (5). ` E notevole che si ottenga un polinomio a coefficienti interi in a, b, c mentre i coefficienti di Q(X + d) sono solo polinomi a coefficienti razionali in a, b, c.

La nozione di discriminante si estende facilmente anche a polinomi non monici. Siano Z 1 , . . . , Z n , W ₁ , . . . , W _n indeterminate e poniamo

Θ(Z ₁ , . . . , Z _n ; W ₁ , . . . , W _n ) = Y

i>j

(Z _i W _j − Z _j W _i )

E chiaro che `

Θ(Z 1 , . . . , Z n ; 1, . . . , 1) = ∆(Z 1 , . . . , Z n )

Per ogni sottoinsieme I ⊂ {1, . . . , n} indichiamo con CI il complementare in {1, . . . , n} e poniamo Z _I = Y

i∈I

Z i

Se X ` e un’altra indeterminata,

n

Y

i=1

(W i X − Z i ) =

n

X

i=0

(−1) ⁱ τ i X ⁿ⁻ⁱ

dove

τ i = τ i (Z 1 , . . . , Z n ; W 1 , . . . , W n ) = X

I⊂{1,...,n}

|I|=i

Z I W CI

Notiamo che

Θ(Z 1 , . . . , Z n ; W 1 , . . . , W n ) = Y

i>j

(W i W j ) ² ∆  Z n

W _n , . . . , Z n

W _n



= τ ₀ ²ⁿ⁻² ∆  Z n

W _n , . . . , Z n

W _n



e che

τ _i

τ ₀ = σ _i  Z _n

W _n , . . . , Z _n W _n



Se indichiamo quest’ultima quantit` a semplicemente con σ _i , si ha dunque che Θ(Z 1 , . . . , Z n ; W 1 , . . . , W n ) = τ ₀ ²ⁿ⁻² D n (σ 1 , . . . , σ n )

Dato che, come si ` e osservato, il grado di D n ` e 2n − 2, il lato destro di questa uguaglianza ` e in realt` a della forma D _n (τ ₀ , . . . , τ _n ), dove D _n ` e un polinomio omogeneo di grado 2n − 2 a coefficienti interi. Pi` u precisamente, se

D n (T 1 , . . . , T n ) = X

P j

≤2n−2

a j

,...,j

T ₁ ^j

· · · T _n ^j

allora

D n (T 0 , T 1 , . . . , T n ) = X

P j

≤2n−2

a j

,...,j

T ₀ ^{(2n−2−P j}

⁾ T ₁ ^j

· · · T _n ^j

e

Θ(Z ₁ , . . . , Z _n ; W ₁ , . . . , W _n ) = D _n (τ ₀ , τ ₁ , . . . , τ _n ) In particolare

Θ(Z ₁ , Z ₂ ; W ₁ , W ₂ ) = τ ₁ ² − 4τ ₀ τ ₂

Θ(Z 1 , Z 2 , Z 3 ; W 1 , W 2 , W 3 ) = τ ₁ ² τ ₂ ² − 4τ ₁ ³ τ 3 − 4τ ₀ τ ₂ ³ + 18τ 0 τ 1 τ 2 τ 3 − 27τ ₀ ² τ ₃ ² Θ(Z ₁ , Z ₂ , Z ₃ , Z ₄ ; W ₁ , W ₂ , W ₃ , W ₄ ) = τ ₁ ² τ ₂ ² τ ₃ ² − 4τ ₁ ² τ ₂ ³ τ ₄ − 4τ ₁ ³ τ ₃ ³ + 18τ ₁ ³ τ ₂ τ ₃ τ ₄ − 27τ ₁ ⁴ τ ₄ ²

− 4τ ₀ τ ₂ ³ τ ₃ ² + 16τ 0 τ ₂ ⁴ τ 4 + 18τ 0 τ 1 τ 2 τ ₃ ³ − 80τ ₀ τ 1 τ ₂ ² τ 3 τ 4

− 6τ ₀ τ ₁ ² τ ₃ ² τ ₄ + 144τ ₀ τ ₁ ² τ ₂ τ ₄ ² − 27τ ₀ ² τ ₃ ⁴ + 144τ ₀ ² τ ₂ τ ₃ ² τ ₄

− 128τ ₀ ² τ ₂ ² τ ₄ ² − 192τ ₀ ² τ 1 τ 3 τ ₄ ² + 256τ ₀ ³ τ ₄ ³ Sia ora A un anello commutativo, e sia

P (X) =

n

X

i=0

(−1) ⁱ a i X ⁿ⁻ⁱ = a 0 X ⁿ − a ₁ X ⁿ⁻¹ + a 2 X ⁿ⁻² − · · · + (−1) ⁿ a n

un polinomio a coefficienti in A di grado n. Definiamo il discriminante di P come

disc(P ) = D n (a 0 , a 1 , . . . , a n ) (6) Notiamo che quando P ` e monico questa definizione coincide con quella data in precedenza. Se scriviamo P (X) = Q(b _j X − c j ), dove i b j e i c j sono elementi di qualche sovraanello commutativo di A,

a i = τ (b 1 , . . . , b n ; c 1 , . . . , c n ) Possiamo dunque scrivere

disc(P ) = Θ(b 1 , . . . , b n ; c 1 , . . . , c n ) (7)

In particolare

disc(P ) =



 

 

 

 



 

 

 

 



a ² ₁ − 4a ₀ a ₂ n = 2

a ² ₁ a ² ₂ − 4a ³ ₁ a 3 − 4a ₀ a ³ ₂ + 18a 0 a 1 a 2 a 3 − 27a ² ₀ a ² ₃ n = 3 a ² ₁ a ² ₂ a ² ₃ − 4a ² ₁ a ³ ₂ a ₄ − 4a ³ ₁ a ³ ₃ + 18a ³ ₁ a ₂ a ₃ a ₄ − 27a ⁴ ₁ a ² ₄ − 4a ₀ a ³ ₂ a ² ₃ + 16a ₀ a ⁴ ₂ a ₄

+18a 0 a 1 a 2 a ³ ₃ − 80a ₀ a 1 a ² ₂ a 3 a 4 − 6a ₀ a ² ₁ a ² ₃ a 4 + 144a 0 a ² ₁ a 2 a ² ₄ − 27a ² ₀ a ⁴ ₃

+144a ² ₀ a ₂ a ² ₃ a ₄ − 128a ² ₀ a ² ₂ a ² ₄ − 192a ² ₀ a ₁ a ₃ a ² ₄ + 256a ³ ₀ a ³ ₄ n = 4