Compito di Fisica Matematica, 7/7/2005
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Calcolare il residuo della funzione f (z) = z2+491 sin (z − 7i) in corrispondenza di z1= 7i, di z2= −7i e di z3= 0.
(2) Verificare che la funzione f (z) = z2+ sin (z) `e analitica e calcolare R
γf (z) dz dove γ `e l’unione dei due segmenti γ1 = {0 ≤ x ≤ 1, y = 0} e γ2 = {x = 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Calcolare poi R
Γf (z) dz, Γ essendo il segmento y = x con 0 ≤ x ≤ 1.
Osservate che con x ed y si sono indicate rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z.
(3) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) =
( ex/a, x ∈ [−aπ, aπ];
0, altrove, in cui a `e una costante positiva fissata, a > 1.
(4) Calcolare la derivata nel senso debole della distribuzione ϕ(t) = u(t) e2t sin(t).
(5) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = z2ez2sin(z)−1 e ne determini l’ordine.
(6) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione
f (x) = (
sin(2x), x ∈ [−1/2, 1/2];
0, altrove.
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
( t, t ∈ [0, 1[;
0, altrove.
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