Compito di Fisica Matematica, 12/7/2004
Prof. F. Bagarello
Risolvere almeno quattro tra i seguenti quesiti:
(1) Calcolare il seguente integrale:
Z 2π
0
dθ 1 +12sin(θ)
SUGGERIMENTO: Utilizzare il cambio di variabile z = eiθ, sfruttare la formula di Eulero eiθ= cos(θ) + i sin(θ) e le sue conseguenze ed il teorema dei residui.
(2) Verificare che la funzione f (x) =
( 2
√x−1, 1 < x < 32;
sin(x) cos(x)√
x−1 , 32 ≤ x ≤ 2,
appartiene allo spazio L1(E) ma non allo spazio L2(E), dove E = [1, 2].
(3) Dimostrare che il sistema di funzioni F = {ϕ1(x) = 1
√2πsin(3x), ϕ2(x) = 1
√2πcos(5x)}, ϕ3(x) = 1
√2πcos(7x)},
`e un sistema mutualmente ortonormale in L2([0, 2π]) e che non `e completo.
(4) Studiare la natura delle singolarit`a al finito della funzione f (z) = z−1ez2, fornirne lo sviluppo di Laurent in correspondenza di tali singolarit´a e calcolarne i residui.
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = x21+4.
(6) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = x2e ricavare l’uguaglianza di Parceval.
(7) Risolvere l’equazione differenziale 2y00(t) + y0(t) − y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
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