Compito di Fisica Matematica, 5/2/2004
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno tre dei seguenti quesiti:
(1) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) =
( e2x, x ∈ [−π3,π3];
0, altrove,
e mostrare che i coefficenti dell’espansione sono a quadrato sommabile.
(2) Calcolare i residui della funzione f (z) =q
1
1−cos2(z) in corrispondenza dei suoi punti singo- lari.
(3) Calcolare l’integraleR
γ1ezdz con γ1 il quadrato di vertici (1,0), (2,0), (2,1) e (1,1) percorso in senso antiorario a partire da (1,0). Verificare se il risultato `e nullo e commentare.
(4) Calcolare il seguente integrale
I = Z ∞
−∞
xdx x3+ i
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione
f (x) =
( e2x, x ∈ [−1, 1];
0, altrove, e verificare l’uguaglianza di Parceval.
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) = (
3, t ∈ [0, 1[;
0, altrove.
(7) Risolvere l’equazione differenziale −y00(t) + y0(t) + 2y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = 3/2 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace. Controllare tale risultato utilizzando poi la tecnica del polinomio caratteristico.
1
