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FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2013/2014 I Compitino – 23 Aprile 2014

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FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2013/2014 I Compitino – 23 Aprile 2014

1)Un aereo canader viaggia a quota h=600 m dal suolo a velocità costante v0= 150 m/s e deve spegnere un focolaio di incendio. Calcolare:

a) l’intervallo di tempo Δt impiegato dal carico d’acqua a raggiungere il suolo una volta sganciato e la distanza orizzontale d dall’incendio a cui il carico deve essere sganciato in modo da colpire l’obbiettivo;

b) il vettore velocità di una gocciolina d’acqua al momento dell’impatto con il suolo, specificandone modulo, componenti e angolo di inclinazione rispetto all’orizzontale;

c) Facoltativo: l’equazione della traiettoria di una gocciolina d’acqua.

2)Un cubetto è trattenuto in equilibrio, mediante una fune, nel punto O alla sommità di un piano inclinato di 30°, liscio, e la tensione T della fune vale 10 N. Tagliata la fune, il cubetto scende lungo il piano inclinato che ha lunghezza OA = 2m. Si determini:

a) il peso del cubetto ed il tempo impiegato dal cubetto per percorrere il tratto OA.

b) la velocità del cubetto nel punto A, nel caso in cui il piano inclinato sia scabro con coefficiente di attrito µ = 0.2 ed il cubetto parta da O con velocità nulla.

3)Un blocchetto di massa m = 0.75 kg viene tenuto appoggiato ad una molla su un piano liscio orizzontale, in modo tale che la molla risulti compressa, rispetto alla lunghezza naturale, di un tratto x=10 cm.

Lasciato libero di muoversi, al momento del distacco della molla, punto O, il blocchetto ha una velocità di 10 m/s. Prosegue poi il suo moto per un tratto OA = 1m sul piano orizzontale liscio e successivamente, sullo stesso piano, per un tratto AB = 10m, scabro con coefficiente di attrito µ = 0.1.

Sale infine su un piano liscio, inclinato di 45°, arrestandosi nel punto C.

Si determini:

a) la costante elastica della molla e la velocità del blocchetto nel punto A.

b) Il lavoro compiuto da tutte le forze agenti sul blocchetto nel tratto AB, la quota del punto C, rispetto al piano orizzontale, ed il tratto BC percorso sul piano inclinato, prima di arrestarsi.

SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA.

Testi, soluzioni ed esiti alle pagine:

www2.fisica.unimi.it/bettega, www.mi.infn.it/~sleoni

(2)

SOLUZIONE ESERCIZIO 1 (CINEMATICA)

a) Il carico d’acqua viaggia con la stessa velocità dell’aereo, fino all’istante del lancio. Il suo vettore velocità, all’istante del lancio, è quindi orizzontale e di modulo v0 = 150 m/s.

Prendendo un sistema di riferimento cartesiano, con assi x parallelo al suolo, y perpendicolare al piano ed origine nel punto in cui si trova l’aereo al tempo t0, le componenti del vettore posizione del carico d’acqua ai diversi istanti dal momento del lancio sono:

x= v0x t + x0 y=-gt2/2+v0yt+y0

dove (x0 ,y0) = (0,0) è la posizione iniziale e v0x e v0y le componenti del vettore velocità iniziale (v0x =v0 e v0y=0 ). La posizione finale è invece (x,y) = (d, -600 m), con d da determinare.

Dalla equazione in y si ottiene il tempo di volo del carico : y =-gt2/2

t2 = 2x(600 m)/(9.8 m/s2) t = 11 s

Dalla equazione in x si ottiene invece la distanza d:

d= (150m/s)x(11 s) = 1650 m

b) Le componenti del vettore velocità delle gocce d’acqua ai diversi istanti dal momento del lancio sono:

vx=v0x e vy=-gt+v0y = -gt

Nel punto di atterraggio di coordinate (x,y) = (1650 m, -600 m) si ottiene vx= 150 m/s

vy= -gt = - (9.8 m/s2) x (11 s) = - 107.8 m/s

Il modulo della velocità all’istante finale è quindi:

v = (vx2 + vy2)1/2 = 184.7 m/s

Detto θ l’angolo tra l’orizzontale ed il vettore v finale, si ottiene:

vx = v cos(θ) vy = v sin(θ)

da cui si ottiene tg(θ) = vy/vx = - 0.72 θ = tg-1 (-0.72) = -36°

b) L’equazione della traiettoria y(x) si ottiene a partire da x= v0x t

y=-gt2/2

ossia y(x) = -1/2 g (x/vox)2 = - 2.2 10-4 x2

(3)

SOLUZIONE ESERCIZIO 2 (DINAMICA)

a)Scelto un sistema d’assi(x,y) di origine O, con il semiasse positivo x parallelo al piano inclinato e verso concorde al moto del cubetto, e con il semiasse positivo y , perpendicolare al piano inclinato e orientato verso l’alto, la condizione iniziale di equilibrio è: T – mg sen30° = 0, dove mg sen30 è la componente della forza peso parallela al piano inclinato. Si ricava quindi mg = T / sen30 = 20N. Tagliata la fune il cubetto scenderà lungo il piano inclinato soggetto all’azione della sola componente della forza peso parallela al piano inclinato, pari a 10N. Il moto è uniformemente accelerato con accelerazione a = g sen 30°. La sua posizione x lungo il piano inclinato varierà nel tempo secondo la relazione x(t) = ½ at2 + v0x t + x0 , dove v0x = 0 e x0 = 0. Il tempo t impiegato per percorrere OA è quindi t= √ (2 x/a), dove x= 2m ed a = g sen30° = 4.9 m/s2, da cui t= 0.9 s.

b)Qualora il piano sia scabro con coefficiente di attrito µ, agisce sul cubetto, lasciato libero di muoversi, oltre alla componente della forza peso parallela al piano inclinato, anche la forza di attrito,Fa, con Fa = -µ mg cos 30°, parallela all’asse x e con verso opposto a quello del moto.

L’accelerazione del cubetto lungo il piano inclinato sarà pertanto aa= g(sen 30°- µ cos 30°)= 3.2 m/s2. Il tempo impiegato a raggiungere A sarà quindi ta= √ (2 x/aa)=1.12 s. La velocità del cubetto è v(t) = aa t + v0x = 3.58 m/s.

SOLUZIONE ESERCIZIO 3 (LAVORO-ENERGIA)

a)La costante elastica k della molla si ricava applicando il teorema di conservazione dell’energia meccanica, tenendo conto che la forza elastica è conservativa. Si ha quindi ½ k x2 = ½ m v2 da cui si ricava

k= mv2/x2=7.5 103 N/m.

La velocità del blocchetto in A, essendo il piano liscio, è la stessa del punto O, 10 m/s.

b)Nel tratto AB, compie lavoro L solo la forza di attrito. Il lavoro L è negativo perché la forza di attrito ha verso opposto a quello del moto del blocchetto. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito nel tratto AB è

L=-µmg(AB)= -7.35 J.

Per il teorema Lavoro-variazione dell’energia cinetica, la variazione dell’energia cinetica del blocchetto nel tratto AB è:

ΔEcin=L=-µmg(AB)= -7.35 J.

L’energia cinetica in A è EcinA = ½ m vA2 = 37.5 J, pertanto l’energia cinetica in B è EcinB =30.15 J.

Durante la salita del blocchetto sul piano inclinato compie lavoro solo la forza peso che è conservativa. Applicando pertanto il teorema di conservazione dell’energia meccanica ai punti B e C , si ricava la quota di C, punto di arresto del blocchetto sul piano inclinato. Si ha quindi

EcinB = 30.15 J = mghC da cui si ricava hC = EcinB /mg = 4.1 m. Il tratto BC è pertanto BC= hC / sen 45° = 5.8 m.

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