A.A. 2011/2012 Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 6/12/2012

A.A. 2011/2012 Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (i) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

y ^′′ − 2y ^′ + y = e ^at , (1) al variare di a ∈ R e calcolare la soluzione z(t) di

 



 

z ^′′ − 2z ^′ + z = e ^t , z(0) = 0,

z ^′ (0) = 0.

(ii) Dimostrare che esiste una successione di funzioni y a (t) soluzioni di (1), a ̸= 1, tali che

a lim →1 y a (t) = z(t), per ogni t ∈ R.

Problema 2: Si cosideri il campo vettoriale F (x, y, z) = (3xy ² ; xe ^z ; z ³ ). Determinare il fusso di F uscente dal bordo della regione solida delimitata dal cilindro y ² + z ² = 1 e dai piani x = −1, x = 2.

Problema 3: Classificare le singolarit` a della funzione

f (z) = e

(z ² − 4z + 3) ,

e calcolare ∫

{z∈C: |z|=2}

f (z) dz.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione { −1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza e scrivere l’identit` a di Parseval.

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema di esistenza e unicit` a locale per il Problema di Cauchy.

Tema 2: Teorema integrale di Cauchy per funzioni olomorfe.