A.A. 2010/2011 Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 9/11/2011

A.A. 2010/2011 Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y ^′′′ − 2y ^′′ + y ^′ = t + 2 + e ^at ,

al variare di a ∈ R.

Problema 2: Dato p > 0, determinare x 1 , x 2 , x 3 > 0 tali che il loro prodotto sia p e la loro somma sia minima. Generalizzare il problema al caso di n numeri positivi (n ≥ 2).

Problema 3: Classificare le singolarit` a della funzione

f (z) = e

(z ³ − 2z ² + z)

z − 1 ,

e calcolare ∫

{z∈C: |z|=2}

f (z) dz.

Problema 4: Sia f : [ −π, π] → R una funzione di classe C ² ([ −π, π]) e sia I = [a, b], con

−π < a < b < π. Dimostrare che

n →+∞ lim

∫ b

a

f ^′ (x) cos(nx)dx = 0.

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema di esistenza e unicit` a locale per il Problema di Cauchy.

Tema 2: Teorema integrale di Cauchy per funzioni olomorfe.