Problema 1: Data la funzione

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 7/11/2016

A.A. 2015/2016

Problema 1: Data la funzione

f (x, y) =







e √

−1

x

+y

(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) . Studiare continuit` a e differenziabilit` a in (0, 0).

Problema 2: Data la funzione

f (x, y) = x ² + 2

3 y ³ − x ² y + 1 Determinare i punti critici. Studiare la natura dei punti critici.

Problema 3: Calcolare

Z Z

D

(x ² − y)dxdy dove D ´ e il triangolo di vertici (−1, 0), (2, 0), (−1, 3)

Problema 4: Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy ( y ⁰ = y(y − 1)

y(0) = ¹ ₂ .

Verificare i risultati ottenuti risolvendo esplicitamente il problema.

Problema 5: Data

f (z) = 1 z e

, calcolare

Z

γ

f (z)dz

dove γ ` e la circonferenza di raggio 2 e centro nell’origine del piano complesso percorsa in senso antiorario.

Problema 6: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione g(x) = |x| definita in (−π, π].

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scrivere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∞

X

n=0

1 (2n + 1) ² ,

∞

X

n=0

1

(2n + 1) ⁴ .