Compito di Fisica Matematica, 15/1/2007
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Data la funzione u(x, y) = ax3+ bx2y + cxy2+ dy3determinare in che condizioni su a, b, c, d u(x, y) pu`o essere la parte reale di una funzione analitica. Dedurne poi la forma.
(2) Calcolare l’integrale
Z ∞
−∞
dx x4+ 1
chiudendo il cammino di integrazione sia nel semipiano =(z) > 0 che nel semipiano =(z) < 0.
(3) Sia f (x) = √1
|x| per x 6= 0 ed f (0) = 0. Stabilire se, detto ak =Rπ
−π f (x) cos(kx) dx, la successione {ak} `e in l2(N). `E possibile poi stabilire se {ak} `e in l1(N)?
(4) Sviluppare in serie di Fourier in L2(−π, π) la funzione f (x) = π−|x|. Ottenere l’uguaglianza di Parceval.
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = (x2− 2x + 2)−1. Calcolare poi l’antitrasformata.
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
π, t ∈ [0, 1[;
−π, t ∈ [3, 4[;
0, altrove.
(7) Supponiamo di lanciare un dado equo a sei facce due volte. Qual’`e la probabilit`a che la somma dei due risultati sia 10? Quale che sia 9?
(8) In una lotteria con 1000 biglietti 500 sono vincenti e 500 no. Acquistando 2 biglietti, qual’`e la probabilit`a che entrambi siano vincenti? E quale che uno sia vincente ed uno perdente?
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