Compito di Fisica Matematica, 29/1/2007
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Risolvere l’equazione differenziale 2y00+y0−6y = 3 con le condizioni iniziali y(0) = y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(2) Calcolare l’integrale
Z ∞
0
cos(αx)dx x4+ 1 , considerando separatamente i casi α > 0 ed α < 0.
(3) Calcolare l’autoconvoluzione della funzione f (t) = e−t2.
(4) Sia f (x) ∈ L1(−π, π). Dimostrare che se f (x) `e dispari e non negativa in [0, π] allora
|Dn| ≤ nD1, ∀n ≥ 1. Si suggerisce di dimostrare prima, usando il principio di induzione, che per ogni n ≥ 1 e per ogni x ∈ [0, π], risulta sin(nx) ≤ n sin(x).
(5) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = sin2(x) rect¡x
2
¢. Calcolare poi l’antitrasformata.
(6) Applicare la procedura di Gram-Schmidt alle funzioni f1(x) = ex, f2(x) = x ed f3(x) = sin(x) in L2(0, 1).
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) =
(
2π, t ∈ [1, 3[;
0, altrove.
(8) Data la funzione f (x) = N |x| e−x2. Determinare N in modo che f (x) sia una densit`a di probabilit`a. Determinare i suoi primi tre momenti.
(9) In una lotteria con 100 biglietti 30 sono vincenti e 70 no. Acquistando 3 biglietti, qual’`e la probabilit`a che siano tutti vincenti?
1
