Compito di Meccanica Razionale, 1/7/2011
Prof. F. Bagarello
Sia D un disco omogeneo di massa M e raggio R vincolato a rotolare senza strisciare su una guida orizzontale coincidente con l’asse x in figura. Durante il proprio moto, D `e sempre contenuto nel piano verticale (O; x, y). Al baricentro G di D `e poi collegata, tramite una cerniera cilindrica, l’estremit`a A di un’asta omogenea AB lunga 2R e di massa M . L’estremit`a B dell’asta si mantiene a contatto con l’asse x. L’attrito tra B e la guida orizzontale `e supposto nullo. Un punto materiale P di massa M/2 `e inoltre libero di muoversi su AB, con attrito nullo. Lo studente
1. determini la lagrangiana del sistema e le equazioni del moto associate.
2. risolva tali equazioni supponendo che all’istante t = 0 il sistema sia in quiete, che P si trovi in A e che ⃗OG = (0, R, 0).
3. Supponendo adesso che P sia saldato al punto intermedio dell’asta AB, lo studente determini le eventuali posizioni di equilibrio e ne studi la stabilit`a.
4. esistono integrali del moto? quali?
5. Supponendo poi che P non sia pi`u saldato e che invece sia collegato ad A da una molla con costante elastica k e lunghezza a riposo d̸= 0, lo studente determini nuovamente la lagrangiana del sistema e le equazioni del moto associate.
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x y
O B
PPPPPPr PPP P
G≡ A
Il requisito minimo per superare il compito `e la corretta trattazione dei primi quattro punti.
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