Compito di Meccanica Razionale, 18/7/2011
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno due dei seguenti esercizi:
(1) Sia L = e−αt( ˙x2+ k x2) la lagrangiana di un sistema. k ed α sono costanti, t `e il tempo e x(t) `e il parametro lagrangiano. Ottenere e risolvere le equazioni del moto, con x(0) = 1 ed
˙
x(0) = 2. Considerare i casi α > 0, α = 0 ed α < 0. Commentare sul limite della soluzione nel caso in cui α→ ∞.
(2) Sia π(x) = x ex+ e2xl’energia potenziale di un sistema materiale e T = 12m(1 + cos2(x)) ˙x2 la sua energia cinetica. Dimostrare che esiste un unico punto di equilibrio, x0, che esso `e un punto di equilibrio stabile, e scrivere e risolvere le equazioni del moto nell’approssimazione delle piccole oscillazioni.
(3) Sia ⃗F = α(
1,1t sin t, 0)
la forza agente su una particella P di massa m. Verificare in che condizioni su α ed m la funzione I(t) := m( ˙x + ˙y)t− m(y + x) −t22+ cos(t) `e un integrale del moto.
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