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Compito di Meccanica Razionale, 20/7/2006

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Compito di Meccanica Razionale, 20/7/2006

Prof. F. Bagarello

Risolvere almeno tre dei seguenti quesiti.

1. Data la lagrangiana L = 12( ˙r2+ r2˙θ2) + ˙r erθ2+ 2θ ˙θ er−r12 ottenere le equazioni di Eulero- Lagrange e verificare che I = r2˙θ `e un integrale del moto. Giustificare il risultato.

2. Sia data una particella di massa m = 1 sottoposta ad una forza ~F = (2xt2, −a, 0), a > 0, t > 0. Mostrare che I(t) :=¡

˙yt + ˙xt2¢

− y +12at2− 2xt `e una costante del moto.

3. Verificare che la funzione q(t) = (1 + t)2/3 risolve l’equazione di Eulero-Lagrange ottenute dalla lagrangiana L = q ˙q2+ ˙q cos(q) − q sin(q) ˙q con condizioni iniziali q(0) = 1 e ˙q(0) = 23.

1. Dimostrare che, se {ˆek, k = 1, 2, 3} `e una base o.n. destra dipendente dal tempo, posto

~q = 12P3

k=1eˆk∧dˆdtek, vale la ~q ∧ ˆe3=dˆdte3.

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