Facoltà di Ingegneria 1

Facoltà di Ingegneria

1^a prova in itinere di Fisica II – 29.4.2004 Esercizio n.1

Tra due piani isolanti, indefiniti e paralleli, aventi densità di carica superficiale rispettivamente + e σ −3 , viene σ introdotta una lastra metallica neutra indefinita e di spessore δ .

Calcolare la densità di carica indotta sulle superfici S1 ed S2 della lastra metallica.

Con riferimento alla figura a fianco, calcolare il campo elettrico nelle regioni di spazio I, II, IV ed all’interno della lastra metallica (regione ombreggiata).

Note le distanze d1 e d2 , calcolare la differenza di potenziale tra i punti A e B e tra i punti A e C.

Rispondere quindi alle seguenti domande:

1. La carica indotta sulla superficie S₁ della lastra metallica vale:

A. −σ B. −2 (*) σ C. −3 σ D. −4 σ

2. La carica indotta sulla superficie S₂ della lastra metallica vale:

A. + σ B. +2 (*) σ C. +3 σ D. +4 σ

3. Il campo elettrico nella Regione I ha modulo A. 0

B.

ε0

σ (*)

C.

2 0

3 ε σ

D.

0

2 ε σ

4. Il campo elettrico nella Regione II ha modulo A. 0

B.

ε0

σ

C.

2 0

3 ε σ

D.

0

2 ε

σ(*)

5. Il campo elettrico nella Regione III è un vettore

A. Ortogonale alla lastra, diretto verso destra e di modulo ε0

σ

B. Ortogonale alla lastra, diretto verso sinistra e di modulo ε0

σ

C. Ortogonale alla lastra, diretto verso destra e di modulo 2 0

3 ε σ

D. Ortogonale alla lastra, diretto verso sinistra e di modulo 2 0

3 ε

σ

Risposta esatta: Ortogonale alla lastra, diretto verso destra e di modulo

0

2 ε

σ 6. Il campo elettrico all’interno della lastra metallica ha modulo

A. 0 (*) B.

ε0

σ

C.

2 0

3 ε σ

Regione I ^Regione II

d₁ d₂

δ S1 S2

+σ -3σ

A B C

Regione IV

Regione III

D.

0

2 ε σ

7. La differenza di potenziale V_A−V_Brisulta:

A. 0

B.

(

)

0

d d − ε

σ

C. ^σ_ε

(

)

0

d 2 d

D.

(

)

0

d 2 d + ε

σ (*)

8. La differenza di potenziale V_A−V_Crisulta:

A. 0

B.

(

)

0

d d − ε

σ

C. ^σ_ε

(

)

0

d 2 d

D.

(

)

0

d 2 d + ε

σ (*)

Esercizio n.2

Nella combinazione dei condensatori della figura a fianco, le capacità valgono C₁=3µF, C₂=2µF,C₃=4µF. Il potenziale applicato tra i punti A e B è V=VA−VB=300V.

Calcolare:

• la capacità totale del sistema

• la carica su ciascun condensatore

• la differenza di potenziale di ciascun condensatore

• l’energia elettrostatica del sistema Rispondere quindi alle seguenti domande

9. La capacità totale del sistema vale:

A. 30 pF B. 2 µ F (*) C. 40 µ F D. 10 mF

10. La carica sul condensatore C vale ₁ A. 200 µ C

B. 400 µ C C. 600 µ C (*) D. 800 µ C

11. La carica sul condensatore C vale ₂ A. 200 µ C (*)

B. 400 µ C C. 600 µ C D. 800 µ C

12. La carica sul condensatore C vale ₃ A. 200 µ C

B. 400 µ C (*) C. 600 µ C D. 800 µ C

13. La differenza di potenziale del condensatore C vale ₁ A. 0 V

B. 100 V

C 2

C 3

A C ¹ B

C. 200 V (*) D. 300 V

14. La differenza di potenziale del condensatore C vale ₂ A. 0 V

B. 100 V (*) C. 200 V D. 300 V

15. La differenza di potenziale del condensatore C vale ₃ A. 0 V

B. 100 V (*) C. 200 V D. 300 V

16. L’energia elettrostatica del sistema vale A. 0 J

B. 45 mJ C. 75 mJ D. 90 mJ (*) Esercizio n.3

Un filo isolante di lunghezza L è caricato uniformemente con una carica +Q. Il filo è piegato in modo da formare un quadrato (ABCD in figura).

Si calcoli:

• la densità lineare λ di carica del filo

• il campo elettrico nel centro del quadrato (punto O) dovuto alla carica sulla sola parte CD del filo

• il potenziale elettrico nel centro del quadrato (punto O) dovuto alla carica sulla sola parte CD del filo

• il campo elettrico nel centro del quadrato (punto O) dovuto alla carica Q del filo

• il potenziale elettrico nel centro del quadrato (punto O) dovuto alla carica Q del filo

• il lavoro esterno fatto per portare una carica –Q dall’infinito al centro del quadrato lungo un cammino qualsiasi Γ . 1

Nota: potrebbero essere utili i due integrali indefiniti

( )

x a 1 x a

dx

2 2 2 3

+ +

=

+ , lnx a x cost

x a

dx 2

2 = + + +

+ Si risponda quindi alle seguenti domande.

17. La densità lineareλ di carica del filo vale A. λ =QL

B. λ = L Q(*)

C. λ = L 4

Q

D. λ = L Q²

18. Il campo elettrico in O dovuto alla carica sulla parte CD di filo vale ( xˆ ed yˆ sono i versori degli assi x e y)

A. yˆ

L 2 E 4

πε0

= λ (*)

B. yˆ

L E 4

πε0

= λ

C. xˆ

L 2 E 4

πε0

= λ

D. xˆ

L

E 4 ₂

πε0

= λ

19. Il potenziale elettrico in O dovuto alla carica sulla parte CD di filo vale

A. ln2

V 4

0

CD πε

= λ

x y

A

O

B

C D

B. 2 1 ln 2 V 16

0 CD

+ πε

= λ

C. 2 1

ln 1 4 V 1

0

CD = πε λ −

D. 2 1

1 ln 2 V 4

0

CD −

+ πε

= λ (*)

20. Il campo elettrico in O dovuto alla carica sull’intero filo vale

A. yˆ

E L πε0

= λ

B. yˆ

L E 4

πε0

= λ

C. xˆ

L 2 E 4

πε0

= λ D. E=0(*)

21. Il potenziale elettrico in O dovuto alla carica sul sull’intero filo vale

A. 2 1

1 ln 2 V

0 −

+ πε

= λ (*)

B. 2

1 ln 2 V 16

0

+ πε

= λ

C. 2 1

ln 1 4 V 1

0λ −

= πε

D. 2 1

1 ln 2 V 4

0 +

− πε

= λ

22. Il lavoro esterno fatto per portare una carica –Q dall’infinito al centro del quadrato lungo un cammino qualsiasi Γ vale 1

A. 2

ln 1 L 16 W Q

0 2

− πε

=

B. 2

ln 1 L 16 W Q

0 2

+ πε

=

C. 2 1

1 ln 2 L W Q

0 2

− +

−πε

= (*)

D. 2 1

1 ln 2 L W Q

0 2

− + +πε

= Altre domande:

23. Trovare il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cubo di lato a della figura a lato, sapendo che il campo ha espressione E=cx²xˆ, con c costante

A. Φ=ca² B. Φ=ca³ C. Φ=4ca³ D. Φ=8ca³

risposta corretta Φ=ca⁴

24. Un guscio sferico conduttore, di raggio R, è caricato con carica +Q. Al suo centro il campo elettrico ha modulo A. E=0 (*)

B. R

Q 4 E 1

πε0

=

C. ₂

0 R

Q 4 E 1

= πε

D. ₂

0 R

Q E 1

= ε

x y

z a

25. Due sfere conduttrici di raggi R₁<R₂, posseggono entrambe una carica +Q. Le sfere vengono messe in contatto. La carica della sfera di raggio R diventa: ₁

A. Q1=Q

(

)

B. Q₁=Q 2

C. Q1=QR1

(

)

(

)

Risposta corretta: Q1=2QR1

(

)

26. Sotto l’effetto di un campo elettrico, una particella di carica +q, partendo da ferma, si sposta da un punto A ad un punto B, con differenza di potenziale V_A −V_B =V. Nel punto B l’energia cinetica della particella vale

A. Ek= 0 B. E_k = V C. Ek =+qV(*) D. Ek =+qV² 2

27. Un campo vettoriale E è conservativo se e solo se A. ^∇

( )

B. ∇⋅E=0 C. ∇×E=0(*) D. ∇E=0

28. Un dipolo elettrico di momento di dipolo p in un campo elettrico E è soggetto ad un momento meccanico A. τ=E p

B. τ=pE C. τ=p⋅E D. τ=p×E(*)

29. Un sistema di tre cariche, q =₁ q =₂ q =q , poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato d, ha energia ₃ potenziale elettrostatica

A. d

Q 4

U 3 ²

πε0

= (*)

B. ₂²

0 d Q 4 U 1

= πε

C. d

Q 3

U 1 ²

πε0

=

D. ₂

0 d Q 4 U 9

= πε

30. Una carica − è distribuita uniformemente su una sfera di raggio R. A distanza Q r>Rdal centro della sfera il potenziale elettrico ha espressione:

A. ₂²

0 r Q 4 V 3

= πε

B. r

Q 4

V 3 ²

πε0

=

C. ₂

0 r Q 4 V 1

= πε

D. r

Q 4 V 1

πε0

= (*)

31. Una carica q viene spostata dal punto A al punto B di una stessa superficie equipotenziale (V e A V indicano i B

potenziali dei punti A e B). Il lavoro fatto dal campo elettrico vale A. W = 0 (*)

B. W=qVA

C. W=qV_B

D. W=qV_B V_A

Soluzione Esercizio n.1

Esistono vari modi per determinare la carica indotta sulle superfici S1 ed S2 della lastra metallica.

Utilizziamo ad esempio il teorema di Coulomb.

In assenza della lastra, il campo tra le due distribuzioni di cariche superficiali + e σσ −3 è uniforme, ortogonale ai due piani e diretto verso destra (dal piano carico positivamente a quello carico negativamente). Applicando il principio di sovrapposizione e ricordando che il campo elettrostatico di una distribuzione superficiale di carica di densità ± ha σ modulo

2ε0

σ , il campo nella regione di spazio tra le due distribuzioni superficiali assegnate risulta avere modulo

0 0 0

2 2

3 E 2

ε

= σ ε + σ ε

= σ

L’inserimento della lastra conduttrice non cambia il campo nelle regioni II e III (il campo non cambia direzione, né intensità essendo la lastra neutra); nella parte di spazio occupata dalla lastra, cioè all’interno del metallo, il campo diventa invece nullo. Applicando il teorema di Coulomb, che lega il campo in prossimità della superficie del conduttore alla densità di carica superficiale del conduttore stesso ( _n

0

uˆ

E ε

= σ , con uˆ versore normale alla _n

superficie del conduttore), si deduce che sulla superficie S1 vi è una densità di carica superficiale pari a−2 e che sulla superficie Sσ 2 vi è una densità di carica superficiale uguale+2 . σ

Alla stessa conclusione si può arrivare imponendo che la lastra metallica sia neutra e che il campo al suo interno sia nullo.

Dette σ e ₁ σ le densità di carica indotta sulle superfici S2 1 ed S₂ della lastra metallica, la condizione di neutralità implica:

2 1 2

1+σ =0 → σ =−σ

σ .

Inoltre è facile rendersi conto che la carica indotta sulla superficie S1 deve essere negativa, quindiσ₁<0. Il valore assoluto di σ può essere ottenuto imponendo che il campo elettrico all’interno della lastra metallica, che è la ₁ sovrapposizione dei campi elettrici delle distribuzioni di carica superficiali di densità +σ,−σ₁,+σ₂,−3σ, sia nullo:

→ ε =

+ σ ε

− σ ε

− σ ε

= σ ε + σ ε

− σ ε

− σ ε

= σ uˆ 0

2 uˆ 3 uˆ 2 uˆ 2 uˆ 2 2 uˆ 3 uˆ 2 uˆ 2 E 2

0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 1

0

(

)

ε uˆ4 2 0 2

2 1

1 1

0

Per il principio di sovrapposizione, il campo elettrico nelle varie regioni indicate in figura è la risultante dei campi elettrici delle distribuzioni superficiali di carica, +σ,−2σ,+2σe −3 : σ

Regione I: uˆ uˆ

2 3 2 2 2 2 E 2

0 0 0 0 0

I ε

= σ ε + σ ε

− σ ε + σ ε

− σ

=

Regione II: 2 uˆ

2 uˆ 3 2

2 2

2 E 2

0 0 0 0 0

II ε

= σ ε + σ ε

− σ ε + σ ε + σ

=

Regione III: 2 uˆ

2 uˆ 3 2 2 2

2 E 2

0 0 0 0 0

III ε

= σ ε + σ ε + σ ε

− σ ε + σ

=

Regione IV: uˆ uˆ

2 3 2 2 2 2 E 2

0 0

0 0 0

IV ε

− σ ε =

− σ ε + σ ε

− σ ε + σ

=

dove uˆ è un versore ortogonale ai piani carichi con verso dal piano positivo a quello negativo.

A B C

δ

-2 +2

+σ -3σ

Regione I Regione II ^Regione

III ^Regione IV uˆ

Infine

(

)

0 2 0 1 0 D

A II D

A I B

D II D

A I B

A B

A V E ds E ds E ds Eds E ds d 2 d d 2d

V +

ε

= σ ε + σ ε

= σ

⋅ +

=

⋅ +

⋅

=

⋅

=

− Inoltre

C A B

A V V V

V − = −

essendo V_C=V_Bperché C e B sono punti sulla superficie (equipotenziale) di un conduttore.

Esercizio n.2

I condensatori C e ₂ C sono in parallelo; il condensatore ad essi equivalente ₃ C è in serie col condensatore _|| C . ₁ La capacità totale del sistema è quindi:

( )

C C C

C C C C C

C C C

C 1 C

1 C

1

3 2 1

3 2 1

||

1

||

1 eq

||

1 eq

µ + =

+

= +

= +

→ +

= .

L’energia elettrostatica immagazzinata nei tre condensatori risulta mJ

90 J 09 . 0 V 10 9 F 10 22 CV 1 2

U=1 ²= ⋅ ⁻⁶ ⋅ ⋅ ^{4 2}= =

La carica sul condensatore C è _eq Q=C_eqV=2⋅10⁻⁶F×3⋅10²V=6⋅10⁻⁴C=0.6mC=600µC. Questa è anche la carica sui condensatori in serie C e₁ C . _||

La somma delle cariche Q e ₂ Q dei condensatori ₃ C e ₂ C deve essere uguale a Q; inoltre i due condensatori, essendo in ₃ parallelo, hanno la stessa differenza di potenziale. Quindi

µ + =

=

µ + =

=

= →

= +

= →

= +

C 400 C Q

C Q C

C 200 C Q

C Q C

C Q C Q

Q Q Q V

V

Q Q Q

3 2

3 3

3 2

2 2

3 3 2 2

3 2

3 2

3 2

Infine la differenza di potenziale del condensatore C vale ₁ V

F 200 10 3

C 10 6 C

Q C

V Q ₆⁴

1 1 1

1 =

⋅

= ⋅

=

= ₋⁻

mentre la differenza di potenziale di C e di2 C , che è la stessa, risulta 3

V 100 V V V

V₂ = ₃= − ₁= Esercizio n.3

La densità di carica del filo vale λ = L Q.

Il campo elettrico Ed nel punto O generato dalla carica sulla parte infinitesima dx del filo CD ha componenti (vedi figura):

λ θ

= πε θ

= cos

d dx 4

cos 1 dE

dE ₂

0 x

λ θ

= πε θ

= sin

d dx 4 sin 1 dE

dE ₂

0 y

dove λdx=dqè la carica infinitesima sull’elemento di lunghezza infinitesima dx e

2 2

2 x

8 L 8

d = L + − è il quadrato della distanza tra la carica infinitesima dq ed il punto O.

Inoltre

2 2

8 x L 8 8 L

L d8

L sin

− +

=

=

θ ,

2 2

8 x L 8 8 L

x 8 L d

8 x L cos

− +

= −

= −

θ x

y

A

O

B

C D

E d

x dx

Le componenti E_CD,xed E_CD,ydel campo dovuto alla carica sulla parte CD del filo si ottengono integrando le espressioni di sopra:

=

− +

− πε

= λ θ

− πε +

= λ λ θ

= πε

4 L

0 2

3 2 0 2

4 L

0

2 2

0 4

L

0

2 0 x

,

CD 0

8 x L 8 L

dx ) x 8 L ( cos 32

8 x L 8 L

dx cos 4

d dx 4 E 1

(risultato prevedibile sulla base di considerazioni di simmetria)

L 2

4 8 x

L 8 L

dx 32

sin L 8 x

L 8 L

dx sin 4

d dx 4 E 1

0 4

L

0

4 L

0 2

3 2 0 2

2 2

0 4

L

0

2 0 y

,

CD πε

= λ

− + πε

= λ θ

− πε +

= λ λ θ

= πε

Analogamente per il potenziale nel punto O si ha:

( )

1 ln 2 4 8 y

L dy 32

L 8 x

L 8 L

dx 4

d dx 4 V 1

0 4

L

0

8 L

8

L 2

3 2 0 2

2 0 2

4 L

0 0

CD −

+ πε

= λ πε +

− λ

=

− πε +

= λ λ

= πε

−

Il campo elettrico dell’intero filo in O è la somma vettoriale dei campi elettrici in O generati dalle cariche sui fili AB, BC, CD e DA. Ma, per simmetria, E_DA =−E_BCe E_BA =−E_CD, quindi E_DA+E_BC+E_BA +E_CD =0 Ciascuna delle parti di filo produce in O un potenziale uguale a V . _CD Il potenziale elettrico totale in O è quindi

1 2

1 ln 2 V

4 V V V V V

0 CD DA CD BC AB

O −

+ πε

= λ

= + + +

=

Il lavoro esterno necessario per portare una carica –Q dall’infinito alla posizione O è indipendente dal cammino seguito ed è uguale all’energia potenziale della carica nel punto O:

1 2

1 ln 2 L Q 1 2

1 ln 2 Q QV U

U U W

0 2

0 O

O O

ext −

+

−πε

− = + πε

− λ

=

−

=

=

−

= ∞

Il lavoro fatto dal campo elettrico è uguale ed opposto al lavoro esterno

( )

1 2

1 ln 2 L QV Q

U U U W

0 2 O O

O elettrico

− +

= πε

−

−

=

−

=

−

= _∞

EDA

x y

A

O

B

C

EBC