−−=− ⇒ −=− 3 IRVVIRIRVV =+=+= 32 IIIIII

ESERCIZIO E1:

Il generatore sinusoidale VS è di piccolo segnale. Si determini il punto di lavoro del circuito di figura di figura 1 (4 punti). Si determini il circuito equivalente di piccolo segnale (2 punti). Si determini il guadagno VOUT/VS di piccolo segnale dello stadio (4 punti); se necessario si introducano opportune semplificazioni. Si determini, poi, per quale valore della frequenza angolare del segnale in ingresso generato da VS si ha il massimo valore del modulo del guadagno (2 punti). Sonoassegnati:VDD =10V; VSS=−−5−− V; VT =1V; µµµµnCOX/2=100µµAVµµ ^-2; LM2=LM1 =1µµµµm;WM2 =2WM1 =2µµµµm;Cr=10nF;Lr=10nH;C1=C2=100pF;R1=RD =100KΩΩΩΩ;

RS = 10 KΩΩΩΩ. (Appello −−−− 6 luglio 2009)

Ilcircuitodellafigura1 caratterizza due MOS, a canale N, connessi fra loro per realizzare un amplificatore differenziale polarizzato con doppia alimentazione non simmetrica.

a) Determinazione punto di riposo.

Nei confronti della polarizzazione i condensatori vengono considerarsi modellati tramite il bipolo circuito aperto, mentre l’induttanza viene modellata dal bipolo corto circuito.

Lo schema circuitale relativo alla determinazione del punto di riposo è mostrato in figura 1a.

Tramite l’ispezione diretta si evince che VGS1 =VGS2; infatti applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia individuata dalle tensioni gate−−−−source dei due MOS a canale N e ricordando, inoltre, che IG1 =IG2 =0A, si ottiene la scrittura che di seguito si esplicita:

1 2

2

1 2

1

I

G

R I

G

V

GS

V

GS

R − = −

ovvero:

2 1

1

2 _GS

0

_{GS GS}

GS

V V V

V − = ⇒ =

I due MOS hanno la stessa tensione di soglia VT, presentanolostessovaloredelparametroµµµµnCOX/2 mentre si distinguono per un rapporto larghezza lunghezza di canale pari a (W2/L2) = 2·(W1/L1).

Ne consegue che, avendo la stessa tensione VGS, le correnti di drain ID1 ed ID2 dei due MOS a canale N supposti entrambe saturi, che sono, per tanto, definite dalle relazioni di seguito esplicitate:

1 2

1

) ( )

( )

2 1

1

(

n ox GS T

D

C W L V V

I = µ ⋅ −

1

2

2 ( ) 2

2 ) 1 2 (

1

₂

1 2 1

2

2 GS T n ox GS T D

ox n

D

V V I

L C W V

L V C W

I = µ ⋅ − = µ ⋅ ⋅ − = ⋅

dovranno soddisfare alla condizione

I

_D2

= 2·I

_D1. Per tanto, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo costituito dal morsetto comune ai due source dei MOS, consente di scrivere:

1 1

1 2

1 _{D D}

2

_D

3

_D

D

S

I I I I I

I = + = + =

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia d’ingresso di uno dei due MOS consente di relazionare come segue:

1 2

2

2

_{SS S S 1 G GS SS} 3 _{S D}

GS V R I R I V V R I

V − = − − ⇒ − = −

ovvero, tenendo conto dell’espressione della corrente di drain ID1, si perviene alla scrittura seguente:

M2

VGS1

M1

VSS =5V VDD

R1

RS

IG2 =0 R1

(figura 1a)

VGS2

IS

IG1 =0

−

−

−

− + + + +

ID2

ID1

VDS

M2

VS

M1

VSS

VDD

R1

RS

Cr RD

R1

C1

(figura 1) +++

+

−

−−

− C2

VOUT

LD

2 1

1

( )

2

3 1

₁

2 SS S n ox GS T

GS

V V

L C W R

V

V − = − ⋅ µ ⋅ −

Atteso quanto già dedotto, cioè che

V

_GS1

= V

_GS2

= V

_GS, la relazione da esaminare assume la forma che di seguito si esplicita:

0 )

2 (

3

₂

1

1

⋅

_GS

−

_T

+

_GS

−

_SS

=

ox

S n

V V V V

L C W

R µ

, ed anche:

0 ) (

) (

) 2 (

3

₂

1

1

⋅

_GS

−

_T

+

_GS

−

_T

+

_T

−

_SS

=

ox

S n

V V V V V V

L C W R µ

Posto

V

X

= (V

GS

− − − − V

T

)

e sostituendo i dati forniti dalla traccia si perviene all’equazione di secondo grado che di seguito si riporta:

0 4 3

0 ) 5 1 ( 1

10 100 10

10

3 ⋅ ⋅ ³ ⋅ ⋅ ^{− 6} ⋅ ⋅ V _X ² + V _X + − = ⇒ ⋅ V _X ² + V _X − =

da cui si ottiene:

1 6 ) 7 1 (

3 4 6 ) 7 1 ( 6

7 1 6

48 1 1 6

) 4 3 4 ( 1 1

= +

−

−

=

−

= −

±

= − +

±

= −

⋅

⋅ +

±

= − V

X

La soluzione

V

_X

= (V

_GS

− − − − V

_T

) = − − − −4/3

NON è accettabile poiché implicherebbe che

V

_GS

< V

_T, e anche che VGS <0, imponendo di fatto la condizione di interdizione dei due MOS.

L’unica soluzione accettabile è costituita da VX=1V, dalla quale si evince che:

T GS T

GS T

GS

X

V V V V V V V

V = ( − ) = 1 ⇒ = 1 − = 1 + 1 = 2 ⇒ >

Pertanto, i MOS M1 ed M2, a anale N, sono accesi e si deve, quindi, verificare l’ipotesi assunta del loro funzionamento in zona di saturazione.

Il calcolo delle correnti di drain ID1 e ID2 dei due MOS fornisce quanto di seguito esplicitato:

A V

L V C W

I

_D

µ

_{n ox}

(

_{GS T}

) 100 10 1 ( 2 1 ) 100 µ 2

1

_{2 6 2}

1 1

1

= ⋅ − = ⋅

⁻

⋅ ⋅ − =

A V

L V C W

I

_D

µ

_{n ox}

(

_{GS T}

) 100 10 2 ( 2 1 ) 200 µ 2

1

_{2 6 2}

2 2

2

= ⋅ − = ⋅

⁻

⋅ ⋅ − =

La corrente IS di interesse per la resistenza RS, come in precedenza affermato, è determinata dalla legge di Kirchhoff delle correnti:

A I

I I

I I

I

_S

=

_D1

+

_D2

=

_D1

+ 2

_D1

= 3

_D1

= 3 ⋅ 100 ⋅ 10

⁻⁶

= 300 µ

La verifica dell’effettivo funzionamento in zona di saturazione degli NMOS M1 ed M2 richiede di calcolare le rispettive tensioni drain−−−−source. L’ispezione diretta della figura 1a consente poi di evincere l’immediatezza della posizione VDS1 = VDS2 = VDS.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di uscita di uno qualsiasi dei due MOS a canale N, consente di relazione come di seguito esplicitato:

S S SS DD

DS S

S DS SS

DD

V V R I V V V R I

V + − = ⇒ = + −

, da cui si ottiene:

V V _DS = 10 + 5 − 10 ⋅ 10 ³ ⋅ 300 ⋅ 10 ^{− 6} = 10 + 5 − 3 = 12

Essendo VDS1 = VDS2 = VDS = 12 V, sono verificate le condizioni di saturazione dei due MOS;

infatti, restano soddisfatte le attribuzioni:

1 12 )

1 2 ( )

(

1 1

1

>

_GS

−

_T

⇒

_DS

> − ⇒ >

DS

V V V

V

1 12 )

1 2 ( )

(

_{2 2}

2

>

_GS

−

_T

⇒

_DS

> − ⇒ >

DS

V V V

V

Il punto di riposo dei MOS ,a canale N, M1 ed M2 risulta determinato dai seguenti valori:

NMOS 1 V

_GS1

= 2 V I

_D1

= 100 µ µ µA µ V

_DS1

= 12 V NMOS 2 V

_GS2

= 2 V I

_D2

= 200 µ µ µA µ V

_DS2

= 12 V

La determinazione del parametro incrementale gm relativo ai due MOS è fornita dalla relazione:

1 6

1

1

( ) 2 100 10 1 200

2 2

1 1

1 1

−

−

⋅ = Ω

⋅

⋅

=

−

⋅

=

=

_{n ox GS T}

GS V D

m

V V

L C W dv

g di

GS

µ

1 6

2

2 ( ) 200 10 2 1 400

2 2

2 2

2 2

−

− ⋅ ⋅ = Ω

⋅

=

−

⋅

=

= _{n ox GS T}

GS V D

m V V

L C W dv

g di

GS

µ

b) Determinazione del guadagno di piccolo segnale VOUT/VS.

Il circuito equivalente incrementale o di piccolo segnale, noto come circuito dinamico, rappresenta ilcomportamentoallevariazioniimpostedalgeneratoredipiccolosegnale.Normalmenteèutilizzato per la determinazione del guadagno di tensione AV a centro banda, noto come comportamento alle

medie frequenze, allorché gli elementi reattivi conservativi hanno effetto trascurabile ed il circuito puòritenersicomepuramenteresistivo. Nelcasospecificoinesamesideveosservarechemodellare i condensatori con il bipolo corto circuito e l’induttanza con il bipolo circuito aperto conduce a situazioni circuitali di tipo prettamente degenere;

infattiilgeneratoredipiccolo segnale sarebbe posto in corto circuito, similmente in corto circuito verrebbe a trovarsi il drain del MOS M2.

Ne consegue, che il richiesto calcolo afferente il guadagno di tensione AV = vOUT/vS deve procedere, come evidenziato in figura 1c, come determinazione della funzione di rete H(jωωωω) al variare della pulsazione ωωωωS afferente il segnale prodotto dal generatore vS considerando, quindi, la presenza di tutti gli elementi rattivi conservativi come i condensatori C1, C2 e CR, nonché l’induttanza LR.

Al fine di rendere più agevole e semplificare il calcolo del guadagno di tensione si riduce il circuito di piccolo segnale, come esplicitato nella figura 1c bis, indicando con ZI l’impedenza equivalente del parallelo fra la resistenza R1e l’impedenza capacitiva ZC2 = 1/(jωωωωC2); inoltre, si indichi con ZD

l’impedenza equivalente del carico complessivo in uscita, costituito dal parallelo della resistenza di drain RD, con l’impedenza induttiva ZLR=jωωωLω R e con l’impedenza capacitiva ZCR =1/(jωωωCω R).

g

m2

v

gs2

v

_gs2

vOUT

(figura − 1c bis)

S G2

R1

D2

D1

g

_m1

v

_gs1

v

_gs1

RS

ZD

++ ++

−

−

−

−

G1

v

S

C1

ZI vG1 vS

+ ++ +

−−−

−

g

_m2

v

_gs2

v

_gs2

vOUT

(figura - 1c)

S G2

R1

G1 CR

D2

D1

g

_m1

v

_gs1

v

_gs1

R1 RS

RD

v

_S

C1

C2

LD

Procedendo col calcolo delle impedenze di anzi definite si ottiene:

2 1 1 2

1 2 2

1 2

1

2 1

1 2

[ 1 ( )] 1 1

) (

1

C R j

R C

R j

C j C

j R C

j R

C j R C

R j Z

_I

ω ω

ω ω

ω ω

ω = +

⋅ + + =

 =

 



 





 



 

= 

Analogamente, ricordando che le ammettenze in parallelo si sommano, si ottiene:

R R R D

R R

D L

C R

D j L

L C R

L C j

R j Y

Y Y

Y

D R R

ω

ω ω ω

1 2

1 1

1 −

+

= +

+

= +

+

=

ovvero, in termini di impedenza equivalente di drain, si conclude con la scrittura seguente:

R R

R D

R D D

R R

D

D R L C j L

L R j L Y

C j R j

Z

ω ω

ω ω

ω _ ^ _ ^{= =} _{⋅ − +}



 





 



 

= 

) 1

( 1

1

2

Il segnale di ingresso vS, per effetto dell’impedenza ZI, si riparte fra l’impedenza capacitiva ZC1 e l’impedenza ZI stessa; si ha:

S S

I C

G I

V

R C j R

C j

R C j V R

Z Z V Z

r r

r

+ ⋅ +

= + + ⋅

= [ 1 ( )] [ ( 1 )]

)]

1 ( [

1 2 1

1

1 2 1

1 1

ω ω

ω

da cui, svolgendo i necessari passaggi algebrici, si ottiene:

S S

G

V

C C R j

C R V j

C R j C R j

C R j C

j C R j V R

r r

r

+ ⋅

= + + ⋅

+

+

⋅ ⋅

= +

) (

1 1

) 1

(

1

_{1 1 2}

1 1 1

1 2

1

2 1 1

2 1 1

1

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

Si giunge alla relazione conclusiva con la quale si definisce il parametro ααααV noto come attenuazione di tensione in ingresso e che di seguito si esplicita:

) (

1

_{1 1 2}

1 1

1 1

1

C C R j

C R j V

V Z

Z Z V

V

S G V

I C

I S

G

V

⇒ = = + +

= +

= ω

α ω

α ^r

r r

r

Sempre per ispezione diretta della figura 1c bis, è possibile asserire quanto segue:

D m gs

gs out D m

out

g Z

v v v

Z g

v

₂

2 2

2

⇒ = −

−

=

L’applicazionedellalegge diOhm alla resistenzadisourceRS consente di relazionare come segue:

)

(

_{1 1 2 2}

2 S S m gs m gs

gs

v R g v g v

v = − = − +

, da cui, svolgendo i dovuti passaggi algebrici:

) 1

) ( 1

(

2 1 1

2 1

1 2

2 m S

S m gs

gs gs

S m gs

S

m

g R

R g v

v v R g v

R

g ⋅ = − ⇒ = − +

+

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di ingresso del MOS M1 fornisce la scrittura che di seguito si riporta:

2 1 1 1

2 1

1 2

1

1

0 ( 1 )

_gs

S m

S m G

gs G

gs gs

gs

G

v

R g

R v g

v v v

v v

v ⋅

− +

= +

⇒ =

= +

−

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici, si perviene alla scrittura seguente:

1 1

2 1 2

1 1

2 1

1 1 )

1

1 ( _{gs G}

S m

S m S

m G

gs S

m S

m v v

R g

R g R v g

R v g

R

g ⋅ =

+ +

⇒ +

=

 ⋅







 



 + +

In conclusione si relaziona come segue:

] ) (

1 [

) 1

( ]

) (

1 [

) 1

(

2 1

2 1

1 1

2 1

1 2

S m

m

S m G

gs S gs

m m

G S m

R g

g

R g v

v v R

g g

v R g

⋅ +

+

= +

= ⇒

⋅ +

+

⋅ +

Si è ora in grado di esprimere compiutamente la relazione che definisce il guadagno di tensione; si procede, infatti, osservando la validità della posizione seguente:

S G G gs gs

gs gs

out S

V out

v v v v v

v v

v v

A v

¹

1 1 1

2 2

⋅

⋅

⋅

=

=

, dalla quale, per sostituzione, si ottiene:

V S

m m

S m S

m S m D

m S

v out

R g g

R g R

g R Z g

v g

A v ⋅ α

+ +

⋅ + +

⋅ −

−

=

= [ 1 ( ) ]

) 1

( )

1 (

) (

2 1

2 2

1

2 , ovvero:

V D S m

m

S m m S

v out

Z

R g

g

R g g v

A v ⋅ ⋅ α

⋅ +

= +

= 1 (

_{1 2}

)

2 1

Atteso il risultato conseguito, si deve osservare che la traccia propone, se necessario, di introdurre opportune semplificazioni. A tale riguardo consideriamo quanto di seguito esplicitato:

a) per il campo di frequenze per le quali il valore della reattanza capacitiva XC2 =1/ωωωωC₂ è molto minore della resistenza R1, il loro parallelo tende al valore limite della reattanza capacitiva, sicché l’attenuazione di tensione d’ingresso ααααV tende al suo valore reale massimo ααααV = ½. Si deve, infatti considerare che C1, C2 ed R1 realizzano un filtro passa alto.

b) per il campo di frequenze per le quali il valore della reattanza capacitiva XC2 =1/ωωωωC2 è molto maggiore della resistenza R1, il loro parallelo tende al valore limite della resistenza R1, sicché, essendo C1 = C2, anche reattanza capacitiva XC1 =1/ωωωωC1 è molto maggiore della resistenza R1

per cui l’attenuazione di tensione d’ingresso ααααV tende al suo valore minimo ααααV = 0, in ossequio al fatto che C1, C2 ed R1 realizzano un filtro passa alto.

Pertanto, facendo riferimento a quanto espresso al punto a), si ottiene quanto segue:

s C rad

R R C

5 3 12 2

1 1 2

10 10 100 100

10 1

: 1 =

⋅

>> ⋅

>> ⇒

<< ⇒

∀ ω ω

ω ω

per cui valgono le posizioni seguenti, ricordando anche che

C

₁

= C

₂

= C

:

2 1 ) (

) (

1 1

1

2 1 1

1 1 2

1 1

1 1 1 2

2

=

≅ + +

= +

→ ⇒

 





 





C C R j

C R j C

C R j

R C j C

R j C

j

^V

ω

ω ω

α ω ω

ω

Ne consegue che al fine di migliorare il guadagno di tensione si deve operare per frequenze corrispondenti a pulsazioni ωωω>>10ω ⁵ rad/sec; in tale campo di operatività si ottiene, pertanto:

S m m

D S m m V

S D m m

S m m S

v out

R g g

Z R g Z g

R g g

R g g v

A v

) (

1 2 1 )

(

1

_{1 2}

2 1 2

1 2 1

+ +

⋅ ⋅

=

⋅ + ⋅

= +

= α

c) Determinazione della frequenza angolare relativa al massimo valore del guadagno A_V

Al fine di determinare per quale valore della frequenza del segnale di ingresso generato da vS si ha il massimo valore del modulo del guadagno, si deve osservare, in conformità alla relazione sopra riportata, che il massimo modulo del guadagno di tensione AV si verifica quando risulta massima l’impedenza ZD di carico. Il carico dinamico ZD allocato sul drain del MOS M2 è costituito da un circuito oscillante di tipo parallelo che risuona alla frequenza angolare definita dalla relazione:

R R o

R R o R

o R

o

L C L C

L C 1

1

₂

1

⇒ =

⇒ =

= ω ω

ω ω

Sostituendo i valori proposti dalla traccia si perviene alla seguente determinazione:

s C Mrad

L

_{R R}

o

100

10 10 10

10 1 10

10 10

10

1

1

⁹

2 9 9

9

= = =

⋅

⋅

⋅

=

=

− − −

ω

A tale pulsazione, il circuito risonante ,costituito dal parallelo della reattanza capacitiva XCR con la reattanza induttiva XLR, si comporta come il bipolo circuito aperto offrendo in tal modo la massima impedenza. Ne consegue che alla pulsazione di risonanza ωωωωO, l’impedenza di carico ZD posta sul drain del MOS M2 assume il valore massimo rappresentato dalla resistenza di drain RD.

Inoltre, poiché la pulsazione di risonanza ωωωωO = 100 Mrad/sec è molto maggiore della pulsazione ω

ωω

ω=100Krad/sec alla quale già si può,aragione, ritenere che l’attenuazione di tensione d’ingresso α

αα

αV ha raggiunto il suo valore massimo ααααV = ½, si conclude che il massimo valore del guadagno di tensione è fornito dalla relazione che di seguito si esplicita:

S m m

D S m m S

m m

D S m m

V g g R

R R g g R

g g

Z R g A g

o

) (

1 2 1 )

( 1 2 1

2 1

2 1 2

1 2 1 max

)

( = ⋅ + +

 





 





+ +

⋅ ⋅

=

= ω ω

Sostituendo i valori forniti dalla traccia si ottiene:

3 6

3 3

12

10 10 10

) 400 200

( 1

10 100 10

10 10

400 200 2 1 )

( 1 2 1

2 1

2 1

max

+ + ⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅ + =

⋅ +

= −

−

S m m

D S m m

V g g R

R R g A g

Eseguendo i calcoli si perviene al valore seguente:

714 , 7 5 40 6 1

10 4 10

10 10

600 1

10 100 10

10 10

10 8 2 1

3 6

3 3

12 4

max

= =

+

= ⋅

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

= −

−

A V

Per completezza si riporta in figura 1d la costituzione del circuito equivalente dinamico di piccolo segnale relativo alla frequenza di risonanza ωωωωO.

L’attenuazione in tensione α

α α

αVd’ingressoèdeterminata dal partitore capacitivo di tensione realizzato dai due condensatori uguali C1, C2.

Allapulsazionedirisonanza il drain è caricato dalla sola resistenza RD. Inoltre dato che ααααV = ½ reale, il circuito dinamico di piccolo segnale può considerarsi resistivo.

ESERCIZIO E2:

Nel circuito di figura 2 gli amplificatori operazionali sono ideali a meno della saturazione. L’amplificatore operazionale OP1 è alimentato con doppia alimentazione al valore ±±±V± DD =±±±±10V. Gli amplificatori operazionali OP2 e OP3 vengono alimentati con doppia alimentazione pari a ±±±V± DD = ±±±±20V. Si determini la frequenza di funzionamento dell’oscillatore nonché il duty cycle dell’onda generata (8 punti). Si descriva in modo succinto che cosa accade quando R7 = 50 ΩΩΩΩ (2 punti). Sono dati: R1 = 50 KΩΩΩ; RΩ 2 = 100 KΩΩΩΩ; R3 = R4 = R5 = R6 = 10 KΩΩΩΩ;

R7 = 100 ΩΩΩΩ; CO = 1 µµµµF. (Appello −−−− 6 luglio 2009)

g

_m2

v

_gs2

v

_gs2

vOUT

(figura − 1d)

S G2

R1

D2

D1

g

_m1

v

_gs1

v

_gs1

RS

RD

+++ +

−

−−

−

G1

v

_S

C1

C2 vG1 vS

Si tratta di un circuito che utilizza amplificatori operazionali sia con reazione negativa, sia con reazione positiva. Il blocco individuato dallo amplificatore OP1 realizza il trigger di Schmitt non invertente , mentre il blocco afferente l’amplificatore OP2 caratterizza un amplificatore di tipo differenziale; e infine il blocco dato dal solo amplificatore OP3 realizza la classica e tipica configurazione dell’inseguitore.

Il circuito di figura 2 è così finalizzato alla realizzazione di un generatore, sia di onda triangolare se viene prelevata la tensione ai morsetti del condensatore CO, sia di onda quadra se si preleva il segnale all’uscita del trigger di Schmitt, ovvero dal morsetto Out.

Indicata con VOC la tensione ai morsetti del condensatore CO e con VU la tensione in uscita al blocco differenziale, l’analisi del circuito di figura 2a può essere separatamente applicata ai singoli blocchi tenendo conto dell’eventuale effetto di caricamento che ciascun blocco esercita sul precedente, come mostrato in figura 2b.

Perispezionedirettadellafigura2asievincecheilbloccoinseguitore,realizzato dall’amplificatore OP3,trasferiscesimultaneamentela tensioneVOCaicapidelcondensatoreCOsiaallaresistenza R6, sia alla resistenza R1; si ottiene, pertanto, lo schema circuitale di figura 2b.

Si principia considerando il blocco OP1 e si determinano le due tensioni di soglia VTS e VTI del trigger di Schmitt facendo ricorso al conveniente ed utile Principio della Sovrapposizione degli Effetti; così si considerano operanti una alla volta le sorgenti caratterizzate, sia dalla tensione VOC, sia dalla tensione VOut. Si perviene, pertanto, alla relazione seguente:

2 1 1 2 1

2

R R

V R R R

V

V R ^{oc out}

+ + ⋅ +

= ⋅

+

Supposta l’uscita dell’operazionale OP1 a stato alto, cioè Vout=VOH, lo scatto alto−−−−basso avviene quando la tensione VOC assume il particolare valore, noto come tensione di soglia inferiore VTI, tale da rendere soddisfatta la condizione V⁺=0V; imponendo il soddisfacimento della condizione di anzi esplicitata, ovvero considerato che V⁺=0V quando VOC=VTI, si ottiene la seguente relazione:

2 1 2

1 1 2

1 2 2

1 1 2 1

0 2

R V V R

R R

V R R

R V R R

R V R R R

V

R _OH

OH TI TI

OH

oc ⇒ = −

+

− ⋅ + =

⇒ ⋅ +

+ ⋅ +

= ⋅

Pertanto, sostituendo i dati forniti dalla traccia, si perviene alla conclusione che di seguito si riporta:

− −

− − + + + +

−

−

−

− + + + +

+ + + +

−

−

−

−

(figura−2) R4

R3

R2

R1 R5

R7

R6

CO

Out

3 1 2

− −

− − + + + +

−

− −

− + + + +

+ + + +

−

−

−

−

(figura−2a) R4

R3

R2

R1 R5

R7

R6

CO

Out

3 1 2

VOC

VOC

VOC

VOC

VU

−

−

−

− + + + +

−

−

−

− + + + +

(figura−2b) R4

R3

R2

R1 R5

R7

R6

Out

1 2 VOC

VOC

VOC

VU

V⁺⁺⁺⁺

R V V

V _TI R ^OH 5

100 10 500

100 50

2

1 ⋅ = − ⋅ = − = −

−

=

Supposta l’uscita dell’operazionale OP1 allo stato basso, cioè Vout =VOL, lo scatto basso−−−−alto avviene quando la tensione VOC assume il valore, noto come tensione di soglia superiore VTS, tale da rendere soddisfatta la condizione V⁺ = 0V; imponendo il soddisfacimento della condizione di anzi esplicitata, ovvero considerato che V⁺ = 0V quando VOC = VTS, si ottiene la seguente relazione:

2 1 2

1 1 2

1 2 2

1 1 2 1

0

2

R V V R

R R

V R R

R V R R

R V R R R

V

R

_OL

OL TS TS

OL

oc

⋅

−

⇒ = +

− ⋅ + =

⇒ ⋅ +

+ ⋅ +

= ⋅

Pertanto, sostituendo i dati forniti dalla traccia, si perviene alla conclusione che di seguito si riporta:

R V V

V

_TS

R

^OL

5

100 ) 500 10 100 (

50

2

1

⋅ = − ⋅ − = = +

−

=

In figura 2c viene mostrata la transcaratteristica del trigger di Schmitt non invertente in cui sono evidenziate la tensione di soglia superiore VTS e la tensione di soglia inferiore VTI che caratterizzano l’isteresi Vh =VTS −−−−VTI del dispositivo.

Ilbloccoindividuatodall’amplificatoreoperazionale OP2, come già detto, costituisce un amplificatore differenziale caratterizzato da quattro resistenze di layout R3, R4, R5 e R6 tutte uguali fra. Verifichiamo la natura della configurazione, conducendo l’analisi del dispositivo, che si riporta in figura 2d, mediante l’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Quando si considera agente il solo segnale VOC, ritenendo nullo l’effetto del segnale VOUT, si ottiene la classica configurazione NON invertente nella quale il segnale di input viene addotto al morsetto NON invertente mediante il partitore di tensione resistivo realizzato dalle resistenze R5 ed R6, così come mostrato in figura 2d bis. Si ottiene, pertanto, la relazione seguente:

oc

U V

R R

R R

V R ⋅

⋅ +

 



 

 +

=

6 5

5 3

' 1 4

Quando si considera agente il solo segnale VOUT, anullando l’effetto del segnale VOC, si ottiene la classica configurazione invertente nella quale il segnale all’ingresso viene addotto al morsetto invertente mediante la resistenza R3, così come mostrato in figura 2d ter. Si ottiene, pertanto, la relazione che di seguito si riporta:

VOC

VTS

VTI

VOL=−−−−10V VOH=+10V

VOUT

(figura 2c)

(figura−2d)

− − −

− + + + +

R4

R3

R5

R6

Vout

2

VOC

VU

− −

− − + + + +

R4

R3

R5

R6

Vout=0V

2

VOC

V^’U

(figura 2d bis)

−

−

−

− + + + +

R4

R3

R5

R6

Vout

2

VOC =0V VU”

(figura 2d ter)

V R R V

U"

= −

⁴

⋅

out 3

Il principio della sovrapposizione degli effetti consente di relazionare come segue:

V V V R

R

R

R R V R

R V

U

=

U

+

U

=  +

oc out

  

  ⋅

+ ⋅ − ⋅

' "

1

⁴

3

5

5 6

4 3

Ricordando, come esplicitato dalla traccia, che le quattro resistenze sono tutte uguali e posto che R3 = R4 = R5 = R6 = R = 10 KΩΩΩ, si ottiene quanto segue: Ω

V R

R

R

R R V R

R V V V V V

U

=  +

oc out oc out oc out

  

  ⋅

+ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − = −

1 2 1

2 ( )

Atteso tutto quanto premesso, si consideri di nuovo la figura 2a che, per comodità si riporta come di seguito come figura 2e. Per ispezione diretta si evince che l’inseguitore, realizzato col blocco OP3,

non assorbe corrente, e pertanto, essendo I=0A, si ottiene che la corrente ic(t),checaratterizzeràla

“evoluzione temporale”

della tensione ai morsetti del condensatore, risulta uguale alla corrente I7

che, istante per istante, percorre la resistenza R7. Siapplichi,ora,lalegge di Ohm alla resistenza R7, così da ottenere la relazione di seguito riportata che esprime il fatto che il transitorio del condensatore avviene con alimentazione a corrente costante:

7 7

7

7 7 ( )

)

( R

V R

V V

V R

V V

V R

V I V

t

i _C ^{U oc oc out oc oc} − ^out − ^oc = − ^out

− =

= −

= −

=

Ne segue che la tensione ai morsetti del condensatore evolve linearmente nel tempo secondo una rampa la cui pendenza dipende dal segno della tensione Vout; infatti dalla relazione costitutiva del condensatore si ottiene quanto segue:

∫

∫ ^{= ⋅ ⋅}

⋅ ⇒

⇒ =

⋅

=

t

t

c o t

t c c

c c C

o o

dt t C i

t dv C dt

t t i

dt dv t C dv

t

i 1 ( )

) ) (

) ( ) (

) ( (

0

ovvero, procedendo all’integrazione di entrambe i membri e ricordando altresì il valore ottenuto per la corrente iC(t), si perviene alla relazione:

∫

∫ ^{⋅ ⇒ − = − ⋅ ⋅}

⋅

=

−

t

t out o

o c c

t

t c o o

c c

o o

R dt V t C

v t v dt

t C i

t v t v

7

) 1 ( ) ( )

1 ( ) ( ) (

che in conclusione consente di esplicitare la scrittura di seguito riportata:

) 1 ( ) (

) ( ) ( )

( ) (

7

7 o

o o out

c c

t

o t o out

c

c t t

C R t V

v t v C dt

R t V

v t v

o

−

⋅

−

=

⇒ −

⋅

−

=

− ∫

Si è ora in grado d’effettuare l’analisi complessiva afferente la funzionalità operativa del circuito di

−

−

−

− + + + +

−

−

−

− + + + +

+ + + +

−

−

−

−

(figura−2e) R4

R3

R2

R1 R5

R7

R6

CO

Out

3 1 2

VOC

VOC

VOC

VOC

VU

iC(t) I₇

I=0 Vd

figura 2e. Si supponga infatti che l’uscita del trigger di Schmitt sia a stato basso Vout =VOL =−−10−− V e che il condensatore CO sia inizialmente scarico, cioè VOC =0V; in tale contesto consegue che:

la tensione differenziale del blocco OP1 è negativa, cioè vd <0, il che conferma lo stato basso della tensione di uscita del trigger;

la tensione in uscita al blocco differenziale OP2 è data da VU=−−−−Vout= −−−−VOL =10V;

la tensione vOC(t) ai morsetti del condensatore CO evolve linearmente nel tempo secondo una rampa con pendenza positiva fino a raggiungere la tensione di soglia superiore VTS =5V.

Sia tO =0 secondi l’istante in cui il condensatore, come mostrato in figura 2f, raggiunge la tensione di soglia superiore VTS; in tale istante il trigger di Schmitt commuta dallo stato basso Vout =VOL

allo stato alto VOUT =VOH =10V. e la tensione VOC(tO) ai morsetti del condensatore CO assume il valore VOC(tO)=5V; in tale contesto consegue che:

la tensione differenziale del blocco OP1 è positiva, cioè vd >0 e questo conferma lo stato alto della tensione di uscita del trigger;

la tensione in uscita al blocco differenziale OP2 è data da VU=−−−−Vout= −−V−− OH =−−−−10V;

la tensione vOC(t) ai morsetti del condensatore CO evolve linearmente nel tempo secondo una rampa con pendenza negativa fino a raggiungere la tensione di soglia inferiore VTI =−−−−5V.

Considerando, quindi, l’istante tO =0 secondi come l’istante iniziale per studiare il comportamento del dispositivo di figura 2e, l’utilizzo della relazione (1) correlata ai valori specifici delle grandezze di pertinenza dell’intervallo temporale (tO, t1) consente di relazionare come segue:

) (

) ( )

( )

( )

(

7

7 o

o TS OH

oc o

o o OH

oc

oc t t

C R V V

t v t

C t R t V

v t

v − = − ⋅ − ⇒ = − ⋅ −

All’istantet=t1latensionevOC(t)allearmaturedelcondensatoreCOassumeilvalorecorrispondente alla tensione di soglia inferiore VTI =−−−−5V; pertanto, ricordando che TH =(t1 −−−−tO) resta giustificata la posizione seguente:

H o TS OH

TI o

o TS OH

oc

T

C R V V

V t

C t R V V

t

v = − ⋅ − ⇒ = − ⋅

1 7

1

)

7

( )

(

da cui si ricava il tempo TH in cui l’uscita VOUT permane allo stato alto VOH = 10 V; infatti, si ha:

s T

C V R

V

T V _{o H}

OH TS

H TI 100 10 100 µ

10 5

5 ₆

7 − − ⋅ ⋅ =

−

⇒ =

− ⋅

−

= ⁻

Sia t = t1 secondi l’istante in cui il condensatore, come mostrato in figura 2f, raggiunge la tensione di soglia inferiore VTI; in tale istante il trigger di Schmitt commuta dallo stato alto VOUT =VOH

allo stato basso VOUT=VOL=−10V e la tensione VOC(t1) ai morsetti del condensatore CO assume il valore VOC(t1)=−5V; in tale contesto consegue che:

tO

TH TL

VOH

VOL

t1

t₂ VTI

VTS

t V

_OUT

V

_OC (figura 2f)

T

H

= t

1

− − − − t

O

T

_L

= t

₂

− − − − t

1

T

_O

=T

_H

+ T

_L

f

_O

= 1/T

_O

DC = T

_H

/T

_O

DC% = 100·DC