Prova scritta di Meccanica Razionale - 14.01.2020

Prova scritta di Meccanica Razionale - 14.01.2020

Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . . C.d.L.: . . . . Anno di Corso: 2 3 altro

FILA 1

Esercizio 1. Nel piano Oxy si consideri un corpo rigido, costituito da: un’asta omogenea OA, di massa m e lunghezza L, inclinata di un angolo α = π/4 rispetto all’asse positivo delle ascisse, un triangolo rettangolo isoscele omogeneo ABC, di massa m/2 e cateto L, e un quadrato omogeneo ODEF , di massa m e lato L/2 (vedi figura). Si chiede di determinare:

1. le coordinate del baricentro G del corpo rigido (punti 3);

2. il momento d’inerzia I

del corpo rigido rispetto all’asse Ox (punti 3);

3. il momento d’inerzia I

del corpo rigido rispetto all’asse Oy (punti 3);

4. il momento d’inerzia I

del corpo rigido rispetto all’asse Oz, ortogonale al piano Oxy (punti 1);

5. il momento d’inerzia I

del corpo rigido rispetto alla retta r di equazione y = x (punti 2).

6. il momento di deviazione I

del corpo rigido (facoltativo) (punti 3).

O

x y

A

B C

D

E F

r

1

Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri una lamina quadrata omogenea e pesante, di massa m e lato √

2L, incernierata senza attrito nell’origine O del riferimento. Sulla lamina oltre alla forza peso agiscono la forza elastica ~ F

= −k(B − B

), con k = mg

αL , (α > 0), e B

proiezione ortogonale di B sull’asse Oy, e la forza ~ F

, parallela ad (A − O) e di modulo costante | ~ F

| = mg, applicata in A.

O

A B

B

C

F ~

x y

Scelto il parametro lagrangiano ϕ = B ˆ Ox

, ϕ ∈ [0, 2π), come indicato in figura, si chiede:

1. determinare la funzione potenziale delle forze attive agenti sulla lamina (punti 3);

2. determinare le configurazioni di equilibrio della lamina in funzione di α (punti 3);

3. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio della lamina in funzione di α (punti 4);

4. calocolare la reazione vincolare esterna all’equilibrio (punti 3);

5. determinare l’energia cinetica della lamina (punti 2);

6. calcolare le pulsazioni principali delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile nel caso in cui α = 6 (punti 3);

7. disegnare il diagramma di fase nel caso in cui α = 6 (punti 2).

Avvertenze:

1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.

2. Durata della prova: 150 minuti.

3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.

2

Soluzioni Esercizio 1

1. coordinate del baricentro:

G((8√ 2 − 3) 30 L ;(2√

2 − 1)

10 L)

2. momento d’inerzia: IOx=13 24mL² 3. momento d’inerzia: IOy=23

24mL² 4. momento d’inerzia: IOz= 3

2mL² 5. momento d’inerzia: Ir= 5

48mL² 6. prodotto d’inerzia: Ixy= −31

48mL² Esercizio 2

1. potenziale U delle forze attive:

U = −mgLsinϕ −2mgL

α cos²ϕ + c 2. quattro posizioni di equilibrio:

ϕ1= π

2, ϕ2=3π

2 , ϕ3= arcsin(α/4) , ϕ4= π − arcsin(α/4) che esistono se 0 < α ≤ 4 3. stabili:

ϕ1 se α < 4 , ϕ2 sempre 4. instabili:

ϕ³,4 dove esistono 5. punto di biforcazione instabile:

α = 4 6. reazione vincolare esterna in O all’equilibrio:

~ΦO(θe) = [2mg α cosϕe−

√2mg

2 (cos ϕe+ sinϕe)]~i + [−

√2mg

2 (sin ϕe− cosϕ^e) + mg]~j da valutare nelle quattro posizioni di equilibrio.

7. energia cinetica:

T = 2 3mL²ϕ˙² 8. pulsazione principale in ϕ²:

ω²= 5g 4L 9. diagramma di fase per α = 6:

ϕ¹ sella ϕ² centro

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