UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA SCUOLA POLITECNICA FISICA GENERALE Sede di La Spezia prova scritta del 20 Febbraio 2019
Mostrare i passaggi principali in modo conciso, leggibile, con i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI) ed espressi con due cifre significative. Gli elaborati che presenteranno risultati non giustificati non formalmente corretti e/o in una grafia non comprensibile non saranno corretti.
ME1
Una molla di costante k e massa trascurabile è compressa di ∆x fra due corpi di massa m ed M inizialmente in quiete (Fig. 1). Al tempo t=0 si elimina il vincolo che la tiene compressa lasciandola libera di espandersi.
Conseguentemente i due corpi da cui era compressa vengono lanciati in direzione + e – rispettivamente.
a) Quali sono le quantità che si conservano tra prima e dopo il rilascio del sistema masse-molla? Sapendo che immediatamente dopo il rilascio la massa M parte con velocità + si calcoli di quanto era compressa inizialmente la molla e la velocità della massa m dopo il rilascio.
b) Successivamente al rilascio, la massa M prosegue il suo moto su un piano scabro di coefficiente di attrito μd mentre la massa m prosegue il moto su un piano privo di attrito.
Quanto vale lo spazio percorso dalle masse m e M dopo un tempo ∆t dal rilascio?
[Dati: = 100 ; = 4 ; = 2500 / ; ∆ = 1.5 ;
= 0.1; = 0.75 / ]
Figura 1
ME2
Un'asta sottile di massa m e lunghezza L è incernierata in O ad una parete (vedi Fig. 2) in modo da poter ruotare attorno all'asse z (uscente dal foglio). Una Forza ⃗ inclinata di rispetto all'asse x in figura tiene la sbarra orizzontalmente in equilibrio statico. Si calcoli:
a) la distanza da O a cui deve esser applicata la forza ⃗ affinché l'asta sia in equilibrio;
b) le componenti ed il modulo della reazione vincolare al perno O.
c) La forza F viene rimossa. Si calcoli l'accelerazione angolare con cui inizia a muoversi il centro di massa
dell'asta. Quanto valgono l'accelerazione tangenziale e centripeta del centro di massa dell'asta nell'istante iniziale?
[Dati: = 1 ; L=50 cm; ⃗ = 7.0 ; = 60 ° ].
Figura 2
Em2
Si consideri un guscio metallico inizialmente scarico, di raggio interno R1, raggio esterno R2 ed altezza L (vedi Fig. 3).
Si supponga ora di inserire nel guscio un filo di spessore infinitesimo uniformemente carico con densità di carica e, successivamente, di trasferire sul guscio metallico la carica !".
Trascurando effetti di bordo (L>>R1,R2), si calcoli:
a) Il campo elettrico nel punto r=R1/2;
b) la densità di carica superficiale sulla superficie interna del guscio conduttore;
c) la densità di carica sulla superficie esterna del guscio conduttore.
[Dati: R2=2R1; R1=1cm; !" = −8.0 ∙ 10&'( ; L=1m;
) = 5.0 ∙ 10&'(/ ] Figura 3
Em 2
Tre conduttori di sezione infinitesima sono disposti come mostrato in figura 4. Per i cavi 1 e 3 il verso della corrente è uscente dal piano x-y, mentre per il cavo 2 è entrante.
Si calcoli:
a) intensità e verso del campo magnetico totale generato dai cavi 1 e 2 nei punti del cavo 3;
b) la forza totale per unità di lunghezza che i cavi 1 e 2 esercitano sul cavo 3.
[Dati: a =1 cm; *+=,-* ; *,= *-= * = 10 . ]
Figura 4
k
m M
q /
0 1
2
3 4
x y
i1
a a
i3 i2
R1 R2
1
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA FISICA GENERALE I - Sede di La Spezia –Prova del 20/02/2019
SOLUZIONI
I valori intermedi non saranno arrotondati, i valori finali saranno arrotondati a 2 cifre significative. Nelle soluzioni useremo
= 9.81 / +, G=6.673·10-11 m3/(kg·s2), 67= 8.85 ∙ 10&,+ / e µ7 = 1.26 ∙ 10&9 :/ . ME1
a)
Approssimiamo i corpi come se fossero puntiformi e consideriamo il sistema formato dai 2 corpi (la molla ha massa trascurabile e quindi fornisce solo un contributo energetico ma non dà alcun contributo a quantità che dipendono dalla massa).
Prima del rilascio della molla e subito dopo tale istante si conservano l’energia e la quantità di moto del sistema poiché non vi sono né forze esterne dissipative né forze esterne impulsive. Non essendoci variazioni di quota, solo l’energia cinetica dei corpi è coinvolta ed inizialmente il sistema ha un’energia interna immagazzinata nella molla.
Pertanto si possono usare la conservazione dell'energia meccanica e della quantità di moto lungo x:
;< = ;= → ,+ ∆ +=,+ ++,+ + → ,
+ ∆ +=,+ ? ++ 4 +@ =,+ ?16 ++ 4 +@ =+7+ + AB⃗< = AB⃗= → 0 = + → = −DC = −4 = −3.0 /
Poiché M =4 m
∆ += 20 + ovvero ∆ = F20DG = 0.021 b)
Subito dopo il rilascio della molla, la massa M inizia a muoversi sul piano scabro. L'eq. Di Newton proiettata sugli assi , I risulta:
J −K = L
− = 0 con K = da cui L = −
Dopo un tempo ∆ la massa M avrà percorso uno spazio paria ∆MC= ∆ −,+ ∆ +≈ 0.02175 ≈ 0.022 La massa dopo esser stata lanciata dalla molla si muove sul piano senza attrito, pertanto si muove di moto rettilineo uniforme : ∆MD= ∆ = −4.5 ovvero si troverà a 4.5 m a sinistra del punto in cui si trovava prima del rilascio della molla.
2 ME2
L’asta è sottoposta alla forza peso applicata al CM ed alla forza F. Per l’equilibrio devono essere soddisfatte le 2 eq.cardinali della dinamica dei sistemi:
Prima eq. Cardinale della dinamica:
x: cos + R" = 0
y: sen + RU− = 0
Seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi scritta rispetto ad un polo coincidente con O:
z: − VW+X + Y sen = 0 a)
dall'equazione dei momenti si ottiene Y =+[ \]^ _DZW ≈ 0.4044 ≈ 0.40 b)
Dalla prima equazione cardinale della dinamica si ottiene:
R"= − cos ≈ −3.5
RU = + − sen ≈ +3.744 ≈ 3.7 RB⃗ = FR"++ RU+≈ 5.1255 ≈ 5.1 c)
Seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi scritta rispetto ad un polo coincidente con O:
z: − VW+X = `a a = − VW+XbDZ
cWd= −-Z+W ≈ −29.41995eKfd ≈ −29eKfd
Poiché il CM non si muove ancora, l’accelerazione centripeta è nulla. L'accelerazione è quindi solo tangenziale:
Lg = −a VW+X ≈ −7.355 / +≈ −7.4 / + dove il segno meno indica che è rivolta verso il basso.
Osservazione: la scelta del polo O è particolarmente vantaggiosa perché annulla il momento della reazione vincolare riducendo i calcoli. Se avessimo preso il CM dell’asta infatti le equazioni sarebbero:
Prima eq. Cardinale della dinamica:
x: cos + R" = 0
y: sen + RU− = 0 RU = − sen
Seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi scritta rispetto ad un polo coincidente con il CM:
z: − VW+XRU+ ?Y −W+@ sen = 0 − VW+X ? − sen @ + ?Y −W+@ sen = 0 − VW+X + VW+X sen + Y sen − ?W+@ sen = 0− VW+X + Y sen = 0 Y =[ \]^ _VhdXDZ =+[ \]^ _WDZ
Em1)
a)
Applicando il teorema di Gauss ad una superficie gaussiana costituita da un cilindro concentrico di raggio r<R1, si ottiene:
r< R1 :
∮ ;B⃗ ⋅ YΣB⃗l =mon
p
q /
0 1
2
3 q r
4 st
R1 R2
3
u ;B⃗ ⋅ YΣB⃗
l = v ;B⃗ ⋅ YΣB⃗
wKf!_<y= + v ;B⃗ ⋅ YΣB⃗
wKf!_fz{ + v ;B⃗ ⋅ YΣB⃗
WKg. = v ;YΣ
WKg. = ; v YΣ
WKg. = 2|}~; = 67l=)~
67 Osservando che:
(i) i due integrali sulle superfici di base non danno contributo (il campo elettrico è ortogonale al vettore normale alla superficie);
(ii) l'integrale sulla superficie laterale: il campo elettrico è parallelo e concorde con il versore normale alla superficie quindi il prodotto scalare vale Ed. Inoltre, visto che la distribuzione di carica è uniforme, il modulo di E è costante a distanza fissata dal filo carico. Quindi l'integrale esteso alla superficie laterale vale 2|}~;.
2|}; =o•
p → ;?}@ =o •
p+€e → ;B⃗?}@ =+€o•
pe•e
→ ; V} =‚+ƒX =€o•
p‚ƒ≈ 179.751 ∙ 10- „D ≈ 1.8 ∙ 10… „D b)
Il guscio metallico è inizialmente scarico.
(iii) Per effetto dell'induzione la presenza del filo indefinito provoca una separazione di carica per cui sulla superficie interna del guscio si affaccia una carica †ƒ = −)~: infatti utilizzando una superficie gaussiana questa volta di raggio R1<r<R2 la superficie si trova dentro il guscio conduttore ed in equilibrio elettrostatico ;?}@ = 0 e quindi la carica complessiva dentro deve essere nulla; L è la lunghezza del guscio e per trascurare effetti di bordo ~ ≫ R,,+.
(iv) Sulla parete esterna del guscio si accumulerà una carica pari a : †
d = +)~: infatti utilizzando una superficie gaussiana
questa volta di raggio r>R2 la superficie si trova fuori dal guscio conduttore e la carica complessiva dentro è
l = +)~ − )~ + )~ = +)~, il guscio conduttore non contribuisce essendo neutro e si osservi che la neutralità iniziale del guscio è preservata proprio perché sulle due superfici si accumula una carica di segno opposto. Anche in questo caso per trascurare effetti di bordo ~ ≫ }.
Successivamente si suppone di caricare il guscio con un eccesso di carica !" che si distribuirà solo sulla superficie esterna del guscio stesso [questo lo si può trovare effettuando lo stesso ragionamento e calcolo del punto (iii)]. Pertanto si avrà:
la carica affacciata sulla superficie interna non cambia: †ƒ = −)~ ≈ −5.0 ∙ 10&'( Quindi la densità superficiale di carica affacciata sulla superficie interna vale:
ˆ†ƒ = −+€‚•W
ƒW= −+€‚•
ƒ≈ −7.95775 10&‰ ŠDd≈ −8.0 10&‰ ŠDd c)
La carica totale affacciata sulla superficie esterna è: †d = !"+ )~ ≈ −3.0 ∙ 10&'(
Pertanto, la densità superficiale di carica presente sulla superficie esterna del guscio cilindrico vale:
ˆ†d =‹•W‹m+€‚ Œ•
dW ≈ −2.387 ∙ 10&‰ ŠDd≈ −2.4 10&‰ ŠDd Em2)
a)
Come premessa, ricordiamo che Il campo generato da un filo percorso da una corrente * uscente dal foglio(lungo +z) è quello mostrato in figura ovvero tangente alla linea di forza centrata sul filo e con rotazione dettata dalla regola della mano destra e modulo Ž?}@ =+€e•p<.
4
I campi magnetici generati dai cavi 1 e 2 nei punti del cavo 3 risultano uguali a:
ŽB⃗,?L, 0@ =+€?+K@•p<ƒ ?0, +1@ e ŽB⃗+?L, 0@ =+€?K@•p<d ?0,−1@
Con *+ =,-* e *,= *-= *
Il campo totale prodotto dai fili 1 e 2 in un generico punto sul semiasse positivo delle x vale:
ŽB⃗g•g? , 0, ‘@ = ŽB⃗,? , 0, ‘@ + ŽB⃗+? , 0, ‘@ =+€?K‹"@•p<ƒ ?0, +1, z@ ++€?"@•p<d ?0, −1, z@ =•+€p<V0,K‹", −-", , ‘X x,zℝ (Questo risultato generico ci facilita il calcolo della terza domanda).
ŽB⃗g•g? , 0, ‘@ =•+€p<V0, +"&K
-"?K‹"@, ‘X x,zℝ
ŽB⃗g•g? = L, 0, ‘@ =•+€p<V0,9K, , ‘X =,+€K•p< ?0, +1, z@ = ?3.33 ∙ 10&…@ ‘̂ • zℝ Oppure in modo più diretto:
ŽB⃗g•g?L, 0, ‘@ = ŽB⃗,?L, 0, ‘@ + ŽB⃗+?L, 0, ‘@ =+€?+K@•p<ƒ ?0, +1, z@ ++€?K@•p<d ?0,−1, z@ =+€K•p<V0,,+−,-, ‘X zℝ ŽB⃗g•g?L, 0, ‘@ =,+€K•p< ?0, +1, z@ = ?3.33 ∙ 10&…@ ‘̂ • zℝ
b)
La forza per unità di lunghezza agente su di un generico filo percorso dalla corrente *- passante in un punto generico x ed uscente dal foglio (+‘̂) vale:
FB⃗
—? , 0,0@ = *-•-× ŽB⃗™š™? , 0,0@ = *-‘̂ × › 7* 2| œ
1 L + −
1
3 •ž I = 7
*+ 2| œ
1 L + −
1
3 • ‘̂ × I = 7
*+ 2| œ
1 L + −
1
3 • ?− @
ŸBB⃗? , 0,0@ =•+€p<d ¡K‹", −-",¢ ?− @
La forza per unità di lunghezza agente sul cavo 3 nella posizione ?L, 0, ‘@ risulta quindi uguale a:
ŸBB⃗? = L, 0, ‘@ =•+€p<d ¡K‹", −-",¢
"£K ?− @ =,+€K•p<d ?− @ ≈ ?−3.333 ∙ 10&¤@ / ≈ ?−3.3 ∙ 10&¤@ / Oppure in modo più diretto:
ŸBB⃗= *-•-× ŽB⃗™š™?L, 0, ‘@ = *-‘̂ ×,+€K•p< I =,+€K•p<d ‘̂ × I =,+€K•p<d ?− @ ≈ ?−3.3 ∙ 10&¤@ /
Dove •- è il versore che indica la direzione della corrente che fluisce nel cavo 3 (lungo +z): •B⃗-= ?0, 0, +1@
In modulo della forza per unità di lunghezza vale pertanto: FB⃗/— ≈ 3.3 10&¤ ¥¦
