Studiare la possibilità, iniziando da alcuni esempi di decomporre sugli interi il polinomio x4 + m, con m intero e positivo. É quasi immediato che m deve essere un quadrato perfetto: m=n2 . Congetturare la forma che deve avere n e dimostrare la congettura.
Introduciamo la funzione
Semplificata in:
Dai dati di tale matrice si potrebbe ipotizzare che per n=2*22n si ottiene la scomposizione in fattori, infatti la funzione:
sviluppata fornisce la fattorizzazione per ogni n considerato:
Proviamo a decomporre il binomio nel caso in cui n=2*32n , si ha:
Dalle prove fatte potremmo congetturare che m=2*n2i ; dimostriamo adesso tale congettura.
Consideriamo la seguente identità x4+m2=(x2+m)2-2mx2 ; l'espressione a secondo membro diventa una differenza di quadrati se 2m= k2 e ciò è possibile, nell'ambito dei naturali, solo per m uguale al doppio di un quadrato perfetto.
La funzione che permette di calcolare in DERIVE lo sviluppo del binomio considerato, per m intero e positivo, è dunque del tipo:
al variare di n ed i (la scelta di far variare i ed n tra 1 e 5 è, ovviamente, a titolo di esempio).
