Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilità (Ω, F , P), con la seguente legge marginale: P(Xn= 1

I Appello di Processi Stocastici 2011/12 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

21 giugno 2012 Email:

Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Siano {X_n}_n∈N variabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilità (Ω, F , P), con la seguente legge marginale:

P(Xn= 1) = 3

4, P(Xn= −3) = 1 4. Consideriamo la passeggiata aleatoria associata {S_n}_n∈N0, definita da

S₀ := 0 , S_n := S_n−1+ X_n =

n

X

i=1

X_i, ∀n ∈ N , e sia τ il tempo di primo passaggio in 1 del processo S:

τ := inf{n ∈ N0: Sn= 1} .

Indichiamo con F_n := σ(X₁, . . . , X_n) la filtrazione naturale della successione {X_n}_n∈N e poniamo F₀ := {∅, Ω}.

(a) Per ogni costante A ∈ (1, ∞) si calcoli il valore di Q_A:= E(A^Xn) ∈ (1, ∞). Si osservi che Q_A> 1. (Perché Q_Anon dipende da n ∈ N?)

(b) Si mostri che il processo {Z_n}_n∈N0 definito da Zn := A^Sn(QA)⁻ⁿ è una martingala, per ogni A ∈ (1, ∞).

(c) Si mostri che il processo {Z_n^τ := Z_{τ ∧n}}_n∈N0 (dove a ∧ b := min{a, b}) è una martingala.

(d) Si mostri che Z_n^τ ≤ A (Q_A)^{−τ ∧n} per ogni n ∈ N. Si deduca che il limite Z_∞^τ := lim

n→∞Z_n^τ esiste q.c. e in L^p, per ogni p ∈ [1, ∞).

(e) Si mostri che sull’evento {τ < ∞} si ha Z_∞^τ = A (Q_A)^−τ, mentre sull’evento {τ = ∞} si ha Z_∞^τ = 0, per ogni A ∈ (1, ∞). Si deduca che

E[(QA)^−τ1{τ <∞}] = A⁻¹, ∀A ∈ (1, ∞) .

(f) Si mostri che lim_A↓1Q_A= 1 (non è necessario conoscere il valore di Q_A). Si deduca il valore di P(τ < ∞).

Soluzione 1. (a) Il valore di Q_A non dipende da n perché le v.a. X_n hanno la stessa legge.

Inoltre

QA = E(A^X1) = A¹P (X1= 1) + A⁻³ P(X1 = −3) = 3 4A + 1

4A⁻³.

Osservando che Q₁= 1 e che A 7→ QA è strettamente crescente in [1, ∞) (basta calcolare la derivata) si ottiene che Q_A> 1 per A > 1. In alternativa, basta applicare la disuguaglianza di Jensen Q_A = E(A^X1) > A^E(X1) = A⁰ = 1 che è stretta, dal momento che la funzione esponenziale è strettamente convessa e la v.a. X₁ non è q.c. costante.

2

(b) Dato che |X₁| ≤ 3 si ha |S_n| ≤ 3n, dunque S_n è una v.a. limitata. Di conseguenza lo è anche Z_n e quindi Z_n∈ L¹. Dato che S_n è funzione misurabile di X₁, . . . , X_n, segue che S_nè F_n-misurabile; dato che Z_n è funzione misurabile di S_n segue che anche Z_nè F_n-misurabile.

Infine, osservando che per v.a. positive le speranze condizionali sono ben definite, E(Z_n+1|F_n) = Q⁻⁽ⁿ⁺¹⁾_A E(A^SnA^Xn+1|F_n) = Q⁻⁽ⁿ⁺¹⁾_A A^SnE(A^Xn+1|F_n)

= Q⁻⁽ⁿ⁺¹⁾_A A^SnE(A^Xn+1) = Q⁻⁽ⁿ⁺¹⁾_A A^SnQA = Zn, avendo usato il fatto che Z_n è F_n-misurabile e X_n+1 è indipendente da F_n.

(c) Dato che τ è un tempo d’arresto (tempo di primo ingresso di un processo adattato) la martingala arrestata Z^τ è una martingala per un teorema visto a lezione.

(d) Per definizione di τ e per il fatto che S_n+1− S_n= X_n+1≤ 1 per ogni n ∈ N, si ha che Sm≤ 0 per ogni m < τ . D’altro canto per m ≥ τ si ha S_{τ ∧m}= Sτ = 1. In definitiva, Sτ ∧n≤ 1 per ogni n ∈ N. Segue che Zn^τ = Z_{τ ∧n} := A^{Sτ ∧n}(Q_A)^{−τ ∧n} ≤ A (Q_A)^{−τ ∧n}.

Dato che Q_A ≥ 1, dalla stima mostrata segue che 0 ≤ Z_n^τ ≤ A per ogni n ∈ N. In particolare, E(|Z_n^τ|^p) ≤ A^p per ogni n ∈ N, quindi Z^τ è una martingala limitata in L^p per ogni p ∈ [1, ∞) e dunque converge q.c. e in L^p.

(e) Sull’evento {τ < ∞} si ha lim_n→∞τ ∧ n = τ e dunque Z_∞^τ = Zτ = A^Sτ(QA)^−τ = A (QA)^−τ, perché S_τ = 1. Sull’evento {τ = ∞} si ha limn→∞τ ∧n = ∞; dato che 0 ≤ Z_n^τ ≤ A (Q_A)^{−τ ∧n}, ricordando che Q_A> 1 per A > 1, segue che Z_∞^τ = lim_n→∞Z_n^τ = 0. Mettendo insieme questi due casi, possiamo scrivere che Z_∞^τ = A (QA)^−τ1_{{τ <∞}}.

Per il teorema di convergenza di martingale uniformemente integrabili si ha E(Z_∞^τ ) = E(Z₀^τ) = 1, cioè la relazione cercata.

(f) Dato che |X₁| ≤ 3 si ha |A^X1| ≤ A³ e quindi per convergenza dominata lim_A↓1E(A^X1) = E(1) = 1. Passando al limite nella relazione dimostrata nel punto precedente, sempre per convergenza dominata si ottiene P(τ < ∞) = E(1_{{τ <∞}}) = 1.

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Esercizio 2. Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) sono definiti due moti browniani reali indi- pendenti B = {B_t}_t∈[0,∞) e β = {β_t}_t∈[0,∞). Assumiamo per semplicità che B e β siano processi continui (e non solo q.c. continui). Definiamo il processo X = {X_t}_t∈[0,∞) ponendo

Xt :=

(

Bt se t ∈ [0, 1) βt se t ∈ [1, ∞) . (a) Si mostri che X è un processo gaussiano.

(b) Si calcolino E(X_s) e Cov(Xs, Xt) per ogni s, t ∈ [0, ∞). X è un moto browniano?

(c) Si mostri l’uguaglianza di eventi

{la funzione t 7→ X_t è continua} = {B₁ = β₁} . X è un processo continuo?

Soluzione 2. (a) Occorre mostrare che a₁Xt1+. . .+akXtkè una variabile aleatoria reale normale per ogni scelta di k ∈ N, a1, . . . , a_k∈ R e 0 ≤ t1 < . . . < t_k< ∞. Sia ` ∈ {1, . . . , k + 1} tale che t<sub>i</sub> < 1 per i < ` e t_i ≥ 1 per i ≥ `, così che possiamo scrivere

a1Xt1 + . . . + akXtk = a1Bt1+ . . . + a`−1Bt`−1
+ a<sub>`</sub>βt`+ . . . + akβtk
.

(Se ` = 1 o ` = k + 1 significa che una delle due somme nel membro destro non è presente.) Ogni combinazione lineare finita di componenti di B è una v.a. reale normale, perché B è un processo gaussiano; un discorso analogo vale per β. Inoltre ogni combinazione lineare finita di componenti di B è indipendente da ogni combinazione lineare finita di componenti di β, perché i processi B e β sono indipendenti. Dato che la somma di v.a. reali normali indipendenti è normale, segue che a₁X_t1 + . . . + a_kX_tk è una v.a. reale normale. Questo mostra che X è un processo gaussiano.

(b) Dal fatto che B e β sono moti browniani indipendenti segue che E(X_s) = 0 e Cov(Xs, Xt) =

(min{s, t} se s < 1, t ≤ 1 o s ≥ 1, t ≥ 1 0 se s < 1, t ≥ 1 o s ≥ 1, t < 1 .

Dato che Cov(X_1/2, X_3/2) = 0 6= min{¹₂,³₂} segue che X non è un moto browniano.

(c) Sia A := {la funzione t 7→ X_t è continua}. Se ω ∈ A allora t 7→ X_t(ω) è una funzione continua, in particolare

β1(ω) = X1(ω) = lim

t↑1Xt(ω) = B1(ω) , (1)

dunque ω ∈ {B₁ = β₁}. Questo mostra che A ⊆ {B₁ = β₁}. Viceversa, se ω ∈ {B₁ = β₁} allora la relazione (1) mostra che la funzione t 7→ X_t(ω) è continua in t = 1. Dato che tale funzione è continua in [0, 1) ∪ (1, ∞) per ogni ω ∈ Ω, perché i processi β e B sono per ipotesi continui, segue che la funzione t 7→ X_t(ω) è continua in tutto il dominio [0, ∞). Questo mostra che {B₁ = β1} ⊆ A.

Dato che B₁− β₁ è una v.a. assolutamente continua (in effetti ha legge N (0, 2)) segue che P(B1 = β1) = P(B1− β₁ = 0) = 0, dunque q.c. X non è continuo.