IV Appello di Processi Stocastici 2011/12 Cognome:
Laurea Magistrale in Matematica Nome:
10 dicembre 2012 Email:
Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).
Esercizio 1. Siano {Un}n∈N variabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilit`a (Ω, F , P), con distribuzione assolutamente continua su [0, 1] con densit`a
f (t) = 2(1 − t)1[0,1](t).
Definiamo il processo {Xn}n∈N0 ponendo
X0 := p ∈ (0, 1) , Xn+1 := ϑXn2+1
21[0,Xn](Un+1) ,
dove ϑ ∈ R `e un parametro fissato. Indichiamo con Fn := σ(U1, . . . , Un) la filtrazione naturale della successione {Un}n∈N e poniamo F0 := {∅, Ω}.
(a) Si mostri che per ogni x ∈ [0, 1] e per ogni k ∈ N E1[0,x](Uk)
= 2
x −x2
2
.
(b) Si mostri che, se 0 ≤ ϑ ≤ 1/2, allora Xn∈ [0, 1] per ogni n ∈ N0. (c) Si mostri che il processo {Xn}n∈N0 `e una martingala se e solo se ϑ = 12. D’ora in poi si fissi ϑ = 12.
(d) Si mostri che il limite
X∞ := lim
n→∞Xn
esiste q.c. e in L2.
(e) (*) Si mostri che q.c. (X∞− 12X∞2 ) ∈ {0,12} e si deduca che q.c. X∞∈ {0, 1}.
(f) Si concluda che X∞∼ Be(p), ossia P(X∞= 1) = p e P(X∞= 0) = 1 − p.
Soluzione 1. (a) Si ha E1[0,x](Uk)
= P(Uk≤ x) = Z x
0
f (t) dt = Z x
0
2(1 − t) dt = 2
x −x2
2
. (b) Si procede per induzione. Chiaramente X0= p ∈ (0, 1). Si noti che per ϑ ≥ 0
ϑXn2 ≤ Xn+1 := ϑXn2+1
21[0,Xn](Un+1) ≤ ϑXn2+1 2,
perch´e la funzione indicatrice assume i valori 0 e 1. Quindi Xn+12 ≥ 0 per ogni n ∈ N0. Per il passo induttivo, se 0 ≤ Xn≤ 1, allora Xn2≤ 1 e dalla precedente disuguaglianza si ottiene
Xn+1 ≤ ϑXn2+1
2 ≤ ϑ + 1 2 ≤ 1 , perch´e ϑ ≤ 12 per ipotesi.
(c) Per il punto precedente Xn ∈ L1 per ogni n ∈ N0. Inoltre Xn `e Fn-misurabile, come si mostra facilmente per induzione, essendo Xn+1 una funzione (misurabile) di Xn e Un+1. Infine
E(Xn+1|Fn) = ϑXn2 + 1
2E(1[0,Xn](Un+1)|Fn) .
2
Dato che Xn`e Fn-misurabile e Un+1`e indipendente da Fn, possiamo applicare il lemma di congelamento, ottenendo
E(1[0,Xn](Un+1)|Fn) = E(1[0,x](Un+1))
x=Xn = 2
x −x2
2
x=Xn
= 2
Xn−Xn2 2
. Sostituendo nell’espressione precedente, si trova
E(Xn+1|Fn) = ϑXn2 + Xn−Xn2
2 = Xn +
ϑ −1
2
Xn2,
da cui si deduce che se (e solo se) ϑ = 12 il processo {Xn}n∈N0 `e una martingala. Quindi Xn+1 := 1
2
Xn2 + 1[0,Xn](Un+1)
.
(d) Sappiamo che la martingala {Xn}n∈N0 `e uniformemente limitata: 0 ≤ Xn ≤ 1, per ogni n ∈ N0, pertanto `e limitata in L2 e dunque converge q.c. e in L2, per un teorema visto a lezione.
(e) Per definizione (essendo ϑ = 12) Xn+1−1
2Xn2 = 1
21[0,Xn](Un+1) .
Per n → ∞ il membro sinistro converge q.c. verso X∞−12X∞2 . Quindi anche il membro destro q.c. ha limite, che deve necessariamente essere in {0,12}, dato che la funzione indicatrice assume solo i valori 0 e 1. In conclusione X∞−12X∞2 ∈ {0,12} q.c..
Si noti che x −12x2 = 0 se e solo se x = 0 oppure x = 2, mentre x −12x2= 12 se e solo se x = 1. Di conseguenza q.c. X∞∈ {0, 1, 2}. Dato che Xn ∈ [0, 1] per ogni n ∈ N, segue che P(X∞= 2) = 0 e dunque q.c. X∞∈ {0, 1}.
(f) Dato che Xn → X∞ in L2, si ha E(Xn) → E(X∞) e pertanto E(X∞) = E(X0) = p. Per il punto precedente, X∞∈ {0, 1} q.c. e dunque E(X∞) = P(X∞= 1) = p.
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Esercizio 2. Sia f : [0, ∞) → R una funzione continua.
(a) Si mostri che per ogni t ≥ 0 fissato esiste una costante (esplicita) Ct∈ (0, ∞), che dipende da t ma non da f , tale che
Z t 0
f (s) ds
2
≤ Ct Z t
0
f (s)2ds .
Sia ora (Ω, A, {Ft}t∈[0,∞), P) uno spazio di probabilit`a filtrato standard, su cui `e definito un {Ft}t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,∞). Supponiamo che le traiettorie t 7→ Bt(ω) siano continue per ogni ω ∈ Ω. Introduciamo il processo X = {Xt}t∈[0,∞) definito da
Xt :=
Z t
0
Bsds . (b) Si mostri che, per ogni t ≥ 0 fissato, si ha Xt∈ L2.
(c) (*) Si mostri che, per ogni σ-algebra G ⊆ A, vale l’uguaglianza EXt
G
= Z t
0
E[Bs| G] ds [Sugg.: Si ricordi la definizione di speranza condizionale.]
(d) Si mostri che X `e un processo a traiettorie continue e (facoltativo) adattato.
(e) Dopo aver spiegato la relazione
E(Bs|Fu) = Bu1{s≥u}+ Bs1{s<u},
si determini per quali funzioni reali ϕ : [0, ∞) → R il processo M = {Mt}t∈[0,∞) definito da Mt:= ϕ(t)Bt− Xt risulta una martingala.
Soluzione 2. (a) Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Z t
0
f (s) ds = Z t
0
1 · f (s) ds ≤ s
Z t 0
12ds s
Z t 0
f (s)2ds = √ t
s Z t
0
f (s)2ds , ed elevando al quadrato si ottiene la stima cercata con Ct= t.
(b) Per il punto precedente e per il teorema di Fubini-Tonelli E(Xt2) ≤ CtE
Z t 0
B2sds
= Ct Z t
0
E Bs2 ds = Ct Z t
0
s ds = Ctt2
2 < ∞ . (c) Sia A ∈ G. Per definizione di speranza condizionale
E(Bs1A) = E(E[Bs|G] 1A) , per ogni s ≥ 0. Per il teorema di Fubini-Tonelli si ha dunque
E(Xt1A) = E
Z t 0
Bs1Ads
= Z t
0
E(Bs1A) ds
= Z t
0
E(E[Bs|G] 1A) ds = E
Z t 0
E[Bs|G] ds
1A
. Questa relazione mostra che EXt
G `e data dal termine in parentesi tonde nel membro destro, per definizione di speranza condizionale.
(d) Per ogni ω la funzione t 7→ Xt(ω) `e una funzione continua: infatti l’integrale di qualunque funzione localmente integrabile rispetto alla misura di Lebesgue — per esempio, s 7→ Bs(ω)
— `e una funzione continua nell’estremo di integrazione.
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Dato che s 7→ Bs(ω) `e una funzione continua, per ogni ω ∈ Ω, il suo integrale `e il limite delle somme di Riemann:
Xt(ω) = lim
n→∞Xt(n)(ω) := lim
n→∞
1 n
n
X
i=1
Bi−1
n (ω) t n.
Per ogni n ∈ N e t ≥ 0 fissati, ω 7→ Xt(n)(ω) `e chiaramente misurabile rispetto a Ft, essendo combinazione lineare finita di variabili aleatorie Ft-misurabili. Segue che Xt`e Ft-misurabile come limite puntuale di funzioni Ft-misurabili.
(e) Si ha per u < t E(Xt|Fu) =
Z t 0
E(Bs|Fu) ds = Z u
0
Bsds + (t − u)Bu = Xu+ (t − u)Bu, quindi
E(Mt|Fu) = ϕ(t) E(Bt|Fu) − E(Xt|Fu) = ϕ(t)Bu− Xu− (t − u)Bu. Il membro destro coincide con Mu= ϕ(u)Bu− Xu se e solo se
ϕ(t) − ϕ(u) = t − u , per ogni u ≤ t. Scegliendo u = 0 si ottiene
ϕ(t) = ϕ(0) + t , ossia la funzione ϕ deve essere lineare-affine.
