Siano {Un}n∈N variabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilit`a (Ω, F , P), distribuite uniformemente su [0, 1]

II Appello di Processi Stocastici 2011/12 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

17 luglio 2012 Email:

Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Siano {Un}_n∈N variabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilit`a (Ω, F , P), distribuite uniformemente su [0, 1]. Indichiamo con F_n := σ(U₁, . . . , U_n) la filtrazione naturale della successione {Un}_n∈N e poniamo F0 := {∅, Ω}.

Siano p ∈ (0, 1) e A, B ∈ (0, ∞) parametri fissati. Si ponga

X₀ := p , X_n+1 := A X_n+ B 1_[0,Xn](U_n+1) , (dove 1_[0,x](u) = 1 se u ∈ [0, x] e 1_[0,x](u) = 0 se u 6∈ [0, x].)

(a) Si mostri che il processo {Xn}_n∈N0 `e una martingala se e solo se A + B = 1.

[Sugg.: si noti che si pu`o scrivere 1_[0,Xn](U_n+1) = f (X_n, U_n+1) per un’opportuna funzione f .]

D’ora in avanti supporremo che A + B = 1.

(b) Si mostri che 0 < Xn< 1 per ogni n ∈ N.

(c) Si mostri che il limite

X∞ := lim

n→∞X_n esiste q.c. e in L².

(d) Si mostri che E[(X_n+1− X_n)²] = c E[X_n(1 − X_n)] per un’opportuna costante c > 0, che `e richiesto di determinare.

(e) Si mostri che E[X∞(1 − X∞)] = 0.

(f) (*) Si deduca la legge di X∞.

Soluzione 1. (a) Chiaramente X₀ `e F<sub>0</sub>-misurabile e in L<sup>1</sup> (`e costante). Procedendo per in- duzione, Xn+1 `e una funzione misurabile di Xn e Un+1, che sono v.a. Fn+1-misurabili per ipotesi induttiva e per definizione di F<sub>n+1</sub>, quindi anche X<sub>n+1</sub> `e F_n+1-misurabile. Inoltre

|X_n+1| ≤ A|X_n| + B e dunque, essendo per ipotesi induttiva X_n∈ L¹, anche Xn+1 ∈ L¹. Calcoliamo infine E(X_n+1|F_n). Usando il lemma di congelamento e il fatto che U_n+1 `e indipendente da F_nsi ha che

E(1_[0,Xn](Un+1)|Fn) = E(1_[0,x](Un+1))|x=Xn = P(Un+1 ≤ x)|_x=Xn = x|x=Xn = Xn, dunque

E(X_n+1|F_n) = A E(X_n|F_n) + B E(1_[0,Xn](U_n+1)|F_n) = (A + B)X_n, da cui segue che {X_n}_n∈N0 `e una martingala se e solo se A + B = 1.

(b) Chiaramente X₀ = p ∈ (0, 1). Procedendo per induzione, se X_n∈ (0, 1) allora Xn+1 = A Xn+ B 1_[0,Xn](Un+1) > AXn > 0 ,

Xn+1 = A Xn+ B 1_[0,Xn](Un+1) < AXn+ B < A + B < 1 , ossia X_n+1∈ (0, 1).

(c) Per i punti precedenti {X_n}_n∈N0 `e una martingala uniformemente limitata (|X_n| ≤ 1 per ogni n ∈ N), quindi limitata in L^p per ogni p ∈ [1, ∞). Di conseguenza X∞ := limn→∞Xn

esiste q.c. e in L^p.

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(d) Ricordando che A + B = 1, ossia A − 1 = −B, si ha E[(Xn+1− X_n)²] = E[((A − 1)Xn+ B1_[0,Xn](Un+1))²]

= B²E[X_n²] + B²E[1_[0,Xn](U_n+1)] − 2B²E[X_n1_[0,Xn](U_n+1)] . Per il lemma di congelamento

E[1_[0,Xn](Un+1)|Fn] = E[1_[0,x](Un+1)]|x=Xn = P(Un+1 ≤ x)|_x=Xn = Xn, E[Xn1_[0,Xn](Un+1)|Fn] = E[x1_[0,x](Un+1)]|x=Xn = (x P(Un+1≤ x))|_x=Xn = X_n², quindi

E[1_[0,Xn](Un+1)] = E[E[1_[0,Xn](Un+1)|Fn]] = E[Xn] , E[Xn1_[0,Xn](Un+1)|Fn] = E[E[Xn1_[0,Xn](Un+1)|Fn]] = E[X_n²] , e otteniamo

E[(Xn+1− X_n)²] = B² E[X_n²] + E[Xn] − 2 E[X_n²]

= B²E[Xn(1 − Xn)] . (e) Dato che Xn→ X_∞ q.c. e Xn∈ (0, 1) per ogni n ∈ N per convergenza dominata

E[X∞(1 − X∞)] = lim

n→∞E[Xn(1 − Xn)] .

Per il punto precedente, E[X_n(1 − X_n)] = B⁻²E[(X_n+1 − X_n)²]. Applicando ancora il teorema di convergenza dominata, possiamo dunque concludere che

E[X∞(1 − X∞)] = B⁻² lim

n→∞E[(X_n+1− X_n)²] = B⁻²E[(X∞− X_∞)²] = 0 .

(f) Sappiamo che X_n ∈ (0, 1) per ogni n ∈ N, dunque X∞ = lim_n→∞X_n ∈ [0, 1] q.c. e in particolare X∞(1 − X∞) ≥ 0. Per il punto precedente E[X∞(1 − X∞)] = 0 e dato che il valore atteso di una v.a. positiva `e nullo se e solo se la v.a. `e q.c. nulla, segue che X∞(1 − X∞) = 0 q.c.. Per la regola di annullamento del prodotto, segue che per q.o. ω ∈ Ω si ha X∞(ω) = 0 oppure X∞(ω) = 1. Dunque la legge di X∞`e concentrata in {0, 1}, ossia X∞ ha legge di Bernoulli di parametro incognito q. Tuttavia, essendo X_n→ X_∞in L^p per ogni p ∈ [1, ∞), si deve avere la convergenza delle medie, dunque E(X∞) = E(X0) = p.

Dato che la media di una Bernoulli di parametro q vale q, segue che q = p.

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Esercizio 2. Sia B = {Bt}_t∈[0,∞)un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P). Definiamo due processi C = {Ct}_t∈[0,1], D = {Dt}_t∈[0,1] ponendo

C_t := B_t − t B₁, D_t :=

((1 − t)B_t/(1−t) se t ∈ [0, 1)

0 se t = 1 .

(a) Si mostri che C e D sono entrambi processi gaussiani con media nulla e con la stessa funzione covarianza, che `e richiesto di calcolare.

(b) Si mostri che le variabili aleatorie C_t e D_t sono indipendenti se ¹₂ < t < 1, mentre non lo sono se 0 < t < ¹₂.

(c) Il processo D ha q.c. traiettorie continue?

[Sugg.: per t < 1 si esprima Dtin funzione di Xs:= sB_1/s.]

Soluzione 2. (a) Occorre mostrare che a₁C_t1 + . . . + a_kC_tk `e una variabile aleatoria reale normale per ogni scelta di k ∈ N, a1, . . . , ak∈ R e 0 ≤ t1< . . . < tk≤ 1. Ma

a1Ct1 + . . . + a_kCt_k = a1Bt1 + . . . + a_kBt_k− (a₁t1+ . . . + a_kt_k)B1,

e nel membro destro appare una combinazione lineare di componenti di B, che `e normale perch´e B `e un processo gaussiano. Un discorso del tutto analogo vale per D: ogni combi- nazione lineare di sue componenti si riscrive come combinazione lineare di componenti di B e dunque `e normale.

La verifica che E(Ct) = E(Dt) = 0 `e immediata. Per quanto riguarda la covarianza, per 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 si ha

Cov(C_s, C_t) = Cov(B_s, B_t) − t Cov(B_s, B₁) − s Cov(B₁, B_t) + st Cov(B₁, B₁)

= s − ts − st + st = s(1 − t) , e analogamente, se t < 1,

Cov(D_s, D_t) = (1 − t)(1 − s) Cov(B_s/(1−s), B_t/(1−t)) = (1 − t)(1 − s) s

1 − s = s(1 − t) , mentre per t = 1 la stessa formula vale perch´e D1 = 0 e dunque Cov(Ds, D1) = 0.

(b) Le variabili aleatorie Ct e Dt sono congiuntamente normali: infatti ogni loro combinazione lineare `e una combinazione lineare di componenti di B e dunque `e normale, perch´e B `e un processo gaussiano. Di conseguenza, C_te D_tsono indipendenti se e solo se Cov(C_t, D_t) = 0.

Si osservi che t < t/(1 − t) per ogni t < 1. Inoltre, se t < ¹₂, si ha che t/(1 − t) < 1 e dunque Cov(C_t, D_t) = (1 − t) Cov(B_t, B_t/(1−t)) − t(1 − t) Cov(B₁, B_t/(1−t))

= (1 − t)t − t(1 − t) t

1 − t = t − t²− t² = t(1 − 2t) > 0 , mentre se t > ¹₂ si ha t/(1 − t) > 1 e quindi

Cov(Ct, Dt) = (1 − t) Cov(Bt, B_t/(1−t)) − t(1 − t) Cov(B1, B_t/(1−t))

= (1 − t)t − t(1 − t) = 0 .

(c) Dato che le traiettorie di B sono q.c. continue, segue immediatamente che le traiettorie di D sono q.c. continue in t ∈ [0, 1). Resta solo da verificare la continuit`a in t = 1.

Si pu`o scrivere Dt = tX<sub>(1−t)/t</sub> per ogni t < 1. Ponendo X0 := 0, sappiamo che X = {X<sub>s</sub>}<sub>s∈[0,∞)</sub> `e un moto browniano, dunque q.c. le sue traiettorie sono continue. Dato che (1 − t)/t → 0 per t ↑ 1, segue che lim_t↑1D_t = lim_t↑1tX_(1−t)/t = X₀ = 0 q.c., quindi le traiettorie di D sono q.c. continue anche in t = 1.