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1 − x then, since f is a nonnegative concave function with f(0

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Academic year: 2021

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Problem 11133

(American Mathematical Monthly, Vol.112, February 2005) Proposed by P. Bracken (USA).

Letf be a nonnegative, continuous, concave function on [0, 1] with f (0) = 1. Prove that 2

Z 1 0

x2f (x) dx + 1 12 ≤

Z 1 0

f (x) dx

2 .

Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.

Let l(x) = 1 − x then, since f is a nonnegative concave function with f(0) = 1, f (x) ≥ f(0) + (f(1) − f(0))x = 1 + f(1)x − x ≥ l(x) for x ∈ [0, 1].

Moreover, it is easy to see that 2

Z 1 0

x2l(x) dx + 1 12 =

Z 1 0

l(x) dx

2 . Therefore, by letting g(x) = f (x) − l(x), it suffices to prove

2 Z 1

0

x2g(x) dx ≤

Z 1 0

f (x) dx

2

Z 1 0

l(x) dx

2

=

Z 1 0

g(x) dx

 Z 1 0

(g(x) + 2l(x)) dx



=

Z 1 0

g(x) dx

2 +

Z 1 0

g(x) dx, that is

Z 1 0

(2x2− 1)g(x) dx ≤

Z 1 0

g(x) dx

2 .

The proof is complete as soon as we show that the left-hand side is nonpositive, that is Z 1

a

(2x2− 1)g(x) dx ≤ Z a

0 (1 − 2x2)g(x) dx where a = 1/√

2 ∈ [0, 1]. Since g is a nonnegative continuous concave function with g(0) = 0 then g(x) ≥ mx for x ∈ [0, a] with m =g(a)a

and

g(x) ≤ mx + q for x ∈ [0, 1]

where y = mx + q is a tangent line to the graph of g at (a, g(a)). Now Z 1

a

(2x2− 1)g(x) dx ≤ Z 1

a

(2x2− 1)(mx + q) dx = m 8 + (√

2 − 1)q 3. On the other hand,

Z a

0 (1 − 2x2)g(x) dx ≥ Z a

0 (1 − 2x2)mx dx = m 8 . Now ma = g(a) = ma + q which implies that m− m =√

2q and our inequality holds as soon as (√

2 − 1)q

3 ≤m− m

8 =

√2q 8 which is true because q ≥ g(0) = 0 and 8 > 5√

2 ≈ 7.07. 

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