Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Acceleratori

Lezione 10

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Acceleratori

•  Gli acceleratoti sono, insieme ai rivelatori, una delle componenti essenziali per la sperimentazione in fisica nucleare e subnucleare.

–  Per esplorare dimensioni x, è necessario avere sonde con lunghezza d’onda λ=ħ/p<x –  L’acceleratore attuale più potente, Large Hadron Collider, p~1 TeV/c, x~10^-4 fm

•  I grandi acceleratori sono delle infrastrutture collocate in laboratori che fungono da centri ricerca aperti a più esperimenti.

•  La fisica degli acceleratori è una settore di ricerca ormai completamente autonomo e con applicazioni ben al di là della fisica subatomica.

•  Toccheremo solo alcuni aspetti:

–  L’accelerazione ad alta energia richiede campi elettromagnetici variabili:

ciclotrone e sincrotrone

–  Perché si possa produrre un fascio di particelle è necessario che il meccanismo di accelerazione sia “stabile”:

stabilità di fase e oscillazioni di betatrone

–  Negli esperimenti particelle di un fascio possono venire fatte interagire con un bersaglio o con un altro fascio:

esperimenti a bersaglio fisso o collisori.

–  Concetto di luminosità

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Acceleratori elettrostatici

•  Gli acceleratori più semplici si basano su una differenza di potenziale elettrostatica.

•  Sono limitati ad energie di ~10 MeV

–  massima differenza di potenziale elettrostatico che si riesce a mantenere.

•  Cockroft-Walton

•  Van der Graaf

•  Tandem

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 10 A. Andreazza - a.a. 2015/16

3

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Moto in un campo magnetico

•  L’equazione del moto di una particella carica in un campo magnetico è

•  in relatività ristretta la quantità di moto si può scrivere come pc = ε v/c con

–  ε l’energia della particella –  v la sua velocità

•  l’equazione del moto diventa

•  moltiplicando per v si ottiene ( v è perpendicolare a dv e a v×B )

•  ritroviamo il risultato che il campo magnetico non fa lavoro e l’energia si conserva

•  l’equazione del moto diventa pertanto

•  cioè la velocità precessa con velocità angolare Ω_v

•  se v è perpendicolare a B la traiettoria della particella è una circonferenza per- corsa in un tempo T = 2π/Ω_v

–  nel caso non relativistico: T=cost.

–  nel caso relativistico: T=1/γ

•  Per trovare il raggio della circonferenza

•  esprimendo il momento in GeV, il raggio in metri e il campo magnetico in Tesla

dp

dt = e v × B

dp dt = 1

c² dε

dt v + ε c²

dv

dt = e v × B

dε dt = 0

dv

dt = v × Ω_v Ω_v = eB ε ^c

2

2πR

T = v → R = vT 2π ⁼

v Ω_v R = vε

eBc² βε = pc R = p eB

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Ciclotrone

•  Incrementi graduali dell’energia attraverso multipli passaggi attraverso la stessa differenza di potenziale.

5

Lawrence con il primo ciclotrone, 1932

•  Campo magnetico per forzare traiettorie cicliche.

•  Potenziale risonante:

–  frequenza di ciclotrone

•  Adatto per velocità non relativistiche:

–  richiede frequenza variabile ~1/γ

–  Costo del magnete ~R²~p² V (t) = cos(Ω_vt)

Ω_v = eB m_e

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Sincrotrone

•  Cavità a radiofrequenza

forniscono il campo elettrico accelerante:

–  E = 1-10 MV/m –  f = 100-500 MHz

–  Tempo necessario per percorrere l’anello deve essere un multiplo esatto del periodo di oscillazione del campo elettrico T=1/f.

–  acceleratore sincrono

•  Raggio di curvatura definito per costruzione:

–  il campo magnetico prodotto dai dipoli varia seguen- do l’energia del fascio.

•  Sezioni rette tra gli archi per

inserire rivelatori o linee di fascio.

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Sincrotrone: LHC

7

Cavità acceleratrici LHC Magneti LHC

15 m

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Sincrotrone: LEAR

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CERN accelerator complex

9

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Sincrotrone

•  Consideriamo come esempio LHC:

–  Frequenza delle cavità:

f=400.8 MHz,

periodo 1/f=2.495×10^-9 s

–  Circonferenza: C=26.659 km, periodo di rotazione

T=C/c=88.92 ×10^-6 s

–  In un giro la cavità effettua un numero di oscillazioni:

T⋅f = 88.92×10^-6 s 400.8×10⁶ s^-1= 35641

–  Per un energia dei fasci di 7 TeV serve un campo magnetico:

B=p / 0.3 R = 7×10³ 2π/0.3 C = 5.5 T

–  I fasci possono circolare anche per 12 ore: 0.48 ×10⁹ rivoluzioni

La stabilità è un aspetto critico!

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Sincrotrone

•  Traiettoria di riferimento:

–  particella sincrona

–  moto esattamente circolare

–  con periodo giusto rispetto all’RF

•  Stabilità rispetto a divergenza e posizione

–  Oscillazioni di betatrone

•  Stabilità rispetto alla sincronia con RF

–  Stabilità di fase

11

S

S N

N

x z

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Oscillazione di betatrone

•  Le particelle di un fascio hanno una loro divergenza:

–  Lasciate propagare liberamente, tenderebbero ad allargarsi.

–  Devo mantenerle focalizzate.

•  Lenti magnetiche:

–  Magneti quadrupolari

–  Campo magnetico crescente con la distanza dall’orbita di equilibrio:

–  Danno un impulso tanto maggiore quanto più la particella è lontana dall’orbita di equilibrio

–  Problema:

•  Se convergente in una direzione, divergente nell’altra.

•  Vanno sempre a coppie:

convergente+divergente = convergente

–  Le particelle compiono oscillazioni attorno all’orbita di equilibrio:

•  Queste oscillazioni trasversali sono dette oscillazioni di betatrone.

B_x

y S

S

N N

x

y

B_y

x

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Oscillazioni di betatrone

•  Per fare un’analisi più quantitativa del processo, introduciamo nel piano

trasverso le coordinate curvilinee:

•  ℓ = lunghezza lungo la traiettoria di riferimento della particella sincrona, corrispondene al valore nominale di p e R nel campo dipolare B.

•  Per tale traiettoria:

•  Per una particella su una traiettoria passante per il punto

•  se sente solo il campo di dipolo B, avrà dopo una distanza L coordinate:

•  In forma matriciale:

•  Stesso procedimento possiamo fare per la y

13

ℓ

x x′=ℓ⋅dx/dℓ

x

!x = dx dℓ

x = 0 !x = 0

x(ℓ = 0) = x0 "x(ℓ = 0) = "x₀

x(ℓ = L) = x0 + L"x₀ "x(ℓ = L) = "x0

x(L)

!x(L)

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ = 1 L 0 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ x(0)

!x(0)

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

y

y′=ℓ⋅dy/dℓ

ℓ

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Oscillazioni di betatrone

•  Una particella che passa ad un distanza x dal centro di un quadrupolo, sente un campo magnetico proporzionale a x:

•  e percorrendo il quadrupolo di lunghezza piccola^(*) d riceve un impulso trasverso:

•  che corrisponde ad una variazione:

•  Al passaggio attraverso il quadrupolo abbiamo:

S

N N

x

y

B_y

x

(*) piccola: sulla lunghezza d del quadrupolo possiamo trascurare la divergenza d!x

B_y = dB_y dx x

Δp_x = F_xΔt = − qvB

(

_y

)

⁽^{d / v}⁾^{= −qB}^y^{d = −qx} ^dB_dx^y ^d

Δ!x = Δp_x

p = −x dB_y dx

d p

x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

=

x_before

!x_before − x_beforeqdB_y dx

d p

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

=

1 0

−qdB_y dx

d p 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

B_x

y v~v_ℓ

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Oscillazioni di betatrone

•  Ripetendo lo stesso discorso per la componente y:

•  che corrisponde ad una variazione:

•  Per un quadrupolo abbiamo

•  e possiamo definire una lunghezza focale:

15

S

N N

x

y

B_y

x

(*) piccola: sulla lunghezza d del quadrupolo possiamo trascurare la divergenza d!x

Δp_y = F_yΔt = qvB( _x)(^{d / v}) = qBxd = qydB_x dy d

Δ!y = Δp_y

p = yqdB_x dy

d p y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

after

=

y_before

!y_before + y_beforeqdB_x dy

d p

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

=

1 0

qdB_x dy

d p 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟ y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

before

B_x

y v~v_ℓ

dB_x

dy = dB_y dx

f = p

q dB

(

_y / dx

)

^d

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Oscillazioni di betatrone

•  Se f>0 allora il quadrupolo risulta focalizzante in x e defocalizzante in y:

x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

= 1 0

−1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

x 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟⎯^quadruplo⎯⎯⎯→ 1 0

−1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ x 0

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = x

−x / f

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

f

y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

after

= 1 0

1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ y

!y

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

before

y 0

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟⎯^quadruplo⎯⎯⎯→ 1 0 1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ y 0

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ = y y / f

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

f

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Oscillazioni di betatrone

•  Combinando quadrupoli con diversa orientazione in una cella insieme a dei dipoli:

–  Focus+Drift+Defocus+Drift

•  Matrice di trasformazione:

•  Risolvendo l’equazione agli autovalori si ottiene che, per L<2f, gli autovalori sono:

•  Gli autovettori cambiano solo di una fase:

oscillazioni stabili

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x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

= 1 L

0 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1 0 1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ 1 L 0 1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1 0

−1 f 1

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

after

=

1 − L

f − L²

f² 2L + L² f

− L

f² 1 + L f

⎛

⎝

⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟

⎟⎟

⎟⎟ x

!x

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

before

λ_± = − 1 − L² 2 f²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ± i L²

f² 1 − L² 4 f ²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ λ_± ² = 1

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Betatrone

•  Il Betatrone è un acceleratore per elettroni di moderata

energia.

•  La forza elettromotrice è

generata facendo variare il flusso nel campo magnetico tra i poli del magnete.

•  Effetto focalizzante del campo magnetico ai bordi.

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Stabilità di fase

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•  Una particella circola con energia costante se, quando passa per la cavità a radio-frequenza RF, trova un campo elettrico che compensa l’energia persa in un giro.

•  Il periodo deve essere un multiplo del periodo dell’RF:

•  Una particella più energetica:

–  Raggio R maggiore –  Impiega più tempo –  Arriva più tardi

–  Sente un campo inferiore: perde energia

•  Una particella meno energetica:

–  Raggio R minore –  Impiega meno tempo –  Arriva più presto

–  Sente un campo maggiore: guadagna energia

•  L’orbita di equilibrio è stabile!

RF

T₀ = 2π R₀

c = 2π

0.3Bc p₀ = N 1 f

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Radiazione di sincrotrone

•  Particelle cariche in moto circolare uniforme subiscono un accelerazione centripeta:

•  La potenza emessa da una carica accelerata è data dalla formula di Lienard-Larmor:

•  Se la particolarizziamo al caso di moto circolare:

•  In particolare l’energia persa in un giro è:

•  Questa energia compensata con quella fornita dalla RF

Esempio:

•  LEP (Large Electron-Positron collider) era un acceleratore per elettroni

nello stesso tunnel di LHC: R=4.2 km

•  Ha prodotto fasci fino ad un’energia di 100 GeV:

–  γ=2×10⁵

•  Energia persa per giro:

a = v² R

a

c = !β = β²^c R

P = e²

6πε₀cγ⁶ β^!"² − ! β ×β!"

( )

²

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

P = e²

6πε₀^cγ⁶_⎡⎣1 − β²_⎤⎦β^!"²

a⊥v

= e²

6πε₀^cγ⁴β^!"²

1/γ²

= e²

6πε₀cγ⁴ β⁴^c²

R² = e² 6πε₀

p m

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

4 c R²

ΔE = P2πR

c = e² 3ε₀^R

p m

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

ΔE = 4π

3 α^!c R γ⁴

= 4π 3

1 137

200 MeV ⋅10⁻¹⁵m

4.3 ×10³m (2 ×10⁵)⁴

= 22.8 ×10² MeV = 2.3GeV

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Radiazione di sincrotrone

•  La potenza richiesta alle cavità RF pone dei limiti alla costruzionie di acceleratori di elettroni di grande energia.

•  Piuttosto applicazione di acceleratori dedicati alla produzione di luce di sincrotrone:

–  sorgenti X intense e collimate

21

!ω = 4 5 3

!c R γ³

Linac Booster

Sale

sperimentali

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Bersaglio fisso e collisori

•  Gli acceleratori vengono utilizzati con due modalità di funzionamento

–  fascio estratto: esperimenti a bersaglio fisso –  collider: collisione di fasci

•  La modalità con fascio estratto è la più semplice da utilizzare

•  La differenza principale fra le due modalità è la massima energia disponibile per produrre nuove particelle

–  fondamentale nella scoperta di nuovi fenomeni

•  Vediamo qual’è l’energia minima che deve avere un protone per produrre una particella di massa M_X

–  In una collisione di un protone fascio con un nucleone bersaglio si ha

–  dove N′ è un nucleone o insieme di nucleoni, necessario alla conservazione di numeri quantici (carica, numero barionico,…)

–  dalla cinematica

•  La soglia per la produzione corrisponde al valore di s per il quale nel centro di massa la particelle N′ e la particella X sono a riposo

p + N → ʹN + X

s = p

(

_p + p_N

)

² ^{= p}( Nʹ + p_X )²

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Bersaglio fisso e collisori

23

•  Il valore di s corrispondente è

•  Per un esperimento a bersaglio fisso si ha

–  l’energia minima per la produzione della massa M_X è pertanto

•  Per un esperimento con fasci in collisione simmetrici, si ha

–  N=p e E_N=E_p:

–  l’energia minima per la produzione della massa M_X è pertanto

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Luminosità

•  In un collisore due fasci di particelle sono fatti circolare in direzione

opposta e fatti collidere in opportune regiore (punti di intersezione) dove sono installati i rivelatori

•  I fasci sono raggruppati in pacchetti (bunch):

–  n₁ e n₂ sono il numero di particelle nei bunch dei due fasci di area (sezione) S –  La frequenza delle collisioni dei due bunches è ^f

•  Se σ è la sezione d’urto di un dato processo, il numero di eventi di quel processo prodotti al secondo è

•  Si definisce Luminosità

•  Si misura in cm^-2s^-1

•  In un dato esperimento il numero di eventi prodotti è

dN

dt = n₁f n₂ S σ

L = n₁f n₂ S

•  dN/dt = I n_Td σ

•  I = intensità del fascio dell’acceleratore

•  n_Td = densità superficiale del bersaglio