Dimostrazioni del corso di
Meccanica Aerospaziale
Sommario
1) Velocità del moto piano in coordinate polari. ... 2
2) Accelerazione del moto piano in coordinate polari. ... 2
3) Costanza dell’angolo tra tre punti di un corpo rigido. ... 2
4) Uguaglianza delle proiezioni delle velocità. ... 3
5) Formula generale dell’atto di moto di un corpo rigido. ... 3
6) Teorema di Eulero. ... 5
7) Teorema (o costruzione) di Chasles. ... 5
8) Asta rigida che scivola e Teorema di Chasles. ... 6
9) Asta rigida incernierata all’origine. ... 6
10) Equazioni dell’atto di moto di un’asta vincolata ad un carrello con guida rettilinea. ... 7
11) Equazioni dell’atto di moto di un’asta collegato ad un pattino su guida rettilinea e non rettilinea. ... 7
12) Equazione di asta vincolata ad un manicotto verticale. ... 8
13) Disco soggetto ad un vincolo di rotolamento puro (senza strisciamento) su guida rettilinea. ... 8
14) Rotolamento senza strisciamento su guida fissa inclinata. ... 9
15) Rotolamento senza strisciamento su guida mobile. ... 9
16) Cerniera mobile che collega due o tre aste rigide. ... 10
17) Sistema biella manovella. ... 10
18) Vincolo di contatto con strisciamento di un disco rigido su guida fissa. ... 11
19) Disco su guida inclinata con vincolo di contatto con strisciamento. ... 11
20) Asta incernierata che si mantiene a contatto con un lato di una lamina. ... 12
21) Asta rigida a contatto con il vertice di una lamina rettangolare. ... 12
22) Asta rigida vincolata ad un piolo. ... 13
23) Equazioni del moto di un disco incernierato ad un’asta vincolata ad un piolo. ... 13
24) Incastro. ... 14
25) Fili inestendibili e velocità. ... 14
26) Sistema disco-piolo-punto materiale collegati mediante filo inestendibile. ... 15
27) Sistema di dischi collegati da filo inestendibile. ... 15
28) Dischi a contatto collegati da un’asta rigida. ... 16
31) Disco su guida verticale con guida semicircolare mobile. ... 19
32) Due aste con carrelli e cerniera mobile. ... 20
33) Disco e asta con carrello. ... 20
34) Disco con rotolamento senza strisciamento e asta con carrello. ... 21
35) Disco libero con asta con carrello. ... 22
36) Prima equazione cardinale della dinamica. ... 24
37) Centro di massa e quantità di moto del sistema. ... 24
38) Il centro di massa è solidale al corpo rigido. ... 25
39) Proprietà di simmetria. ... 25
40) Formula del trasporto per il momento di una forza. ... 26
41) Momento di una coppia di forze. ... 26
42) Formula del trasporto per il momento delle quantità di moto. ... 26
43) Seconda equazione cardinale della dinamica. ... 27
44) Momento delle quantità di moto rispetto al centro di istantanea rotazione. ... 27
45) Momento delle quantità di moto rispetto al centro di massa. ... 28
46) Formula di Huygens-Steiner. ... 28
47) Teorema dell’energia cinetica. ... 29
48) Energia cinetica e centro d’istantanea rotazione di un corpo rigido piano. ... 30
49) Energia cinetica e centro di massa di un corpo rigido piano. ... 30
50) Teorema di König. ... 31
51) Potenza delle reazioni vincolari nel vincolo di appoggio liscio. ... 31
52) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento su una guida fissa. ... 32
53) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento tra due corpi. ... 32
54) Potenze delle forze interne a un corpo rigido. ... 32
55) Potenza di una coppia di forze applicata ad un corpo rigido piano. ... 33
56) Teorema dell’energia cinetica in forma integrale. ... 33
57) Lavoro di un sistema soggetto a forze posizionali conservative. ... 34
58) Principio di conservazione dell’energia meccanica. ... 34
59) Potenziale della forza peso. ... 34
60) Potenziale di una forza elastica. ... 35
61) Coppia costante applicata ad un corpo rigido piano. ... 35
62) Sistemi equivalenti (Teorema tratto da appunti Abbà). ... 35
63) Invariante scalare e polo del momento. ... 36
64) Invariante nullo e punto in cui si annulla il momento (fatta in classe). ... 36
65) Retta di applicazione della risultante (tratta da Abbà, non fatta in classe, da non fare). 36
66) Invariante scalare di un corpo rigido piano. ... 37
67) Invariante scalare di un sistema di forze parallele. ... 37
68) Centro di forze parallele e momento. ... 38
69) Baricentro e centro di massa. ... 38
70) Relazione simbolica della dinamica. ... 38
71) Equazione simbolica della dinamica. ... 39
72) Equazioni di Lagrange. ... 40
73) Equazioni pure del moto (Dimostrazione del fatto che !" = $" per sistemi soggetti a vincoli olonomi, bilateri e ideali). ... 40
74) Binomi lagrangiani (riscrittura del $"). ... 41
75) Componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive per sistemi soggetti a forze conservative. ... 43
76) Equazioni di Lagrange nel caso conservativo. ... 43
77) Equazioni di Lagrange in prima forma. ... 43
78) Funzione di Hamilton e Lagrangiana. ... 45
79) Hamiltoniana ed energia meccanica, Teorema di Eulero. ... 45
80) Il moto centrale è un moto piano. ... 47
81) Velocità areolare di un punto soggetto a forza centrale. ... 48
82) Problema a due corpi. ... 48
83) Potenziale di una forza centrale che dipende solo dalla distanza. ... 49
84) Calcolo di un moto centrale per quadratura. ... 50
85) Formula di Binet. ... 51
86) Calcolo della traiettoria per un corpo soggetto alla forza gravitazionale. ... 51
87) Determinazione dell’eccentricità. ... 52
88) Leggi di Keplero. ... 53
89) Rimbalzo elastico. ... 54
90) Fionda gravitazionale. ... 55
91) La matrice di rotazione R è una matrice ortogonale. ... 56
92) Unicità della matrice % e formula dell’atto di moto rigido . ... 57
93) La matrice % è antisimmetrica. ... 57
94) Equivalenza tra % ' ( . ... 58
95) Atto di moto rigido di un corpo rigido tridimensionale. ... 58
98) Asse di Mozzi. ... 60
99) Asse di Mozzi e velocità minima. ... 60
100) Formule di Poisson dirette. ... 61
101) Formula di Poisson inversa. ... 61
102) Matrice di rotazione e versori. ... 61
103) Rotazione di un punto rispetto ad un sistema di riferimento fisso. ... 62
104) Composizione di rotazioni espresse nel sistema mobile (formulazione intrinseca o passiva). ... 63
105) Composizioni di rotazioni espresse nel sistema fisso (formulazione estrinseca o attiva). . 63
106) Angoli di Cardano o di Tait-Bryan, schema Z-Y-X. ... 64
107) Teorema di Galileo. ... 66
108) Legge di composizione delle velocità angolari. ... 66
109) Velocità angolare espressa mediante gli angoli Cardano. ... 67
110) Angoli di Eulero, schema Z-X-Z. ... 68
111) Velocità angolare mediante gli angoli di Eulero. ... 69
112) Quantità di moto di un corpo rigido rispetto ad un punto dell’asse di rotazione. ... 70
113) Quantità di moto di un corpo rigido rispetto al centro di massa. ... 71
114) Formula di Huygens-Steiner generalizzata. ... 73
115) Matrice di inerzia, rotazione, diagonalizzazione. ... 74
116) Assi principali di inerzia e simmetria materiale piana. ... 75
117) Assi principali di inerzia e simmetria materiale assiale. ... 76
118) Assi principali di inerzia, momenti principali di inerzia e corpo rigido piano. ... 77
119) Momenti di inerzia per un disco piano omogeneo. ... 77
120) Energia cinetica e asse di rotazione. ... 78
121) Energia cinetica e centro di massa. ... 79
122) Equazioni di Eulero. ... 79
123) Se la velocità angolare è costante nel sistema solidale, lo è anche nel sistema fisso (se ) = * = + = ,, allora ( = -./0120'). ... 81
124) Rotazioni permanenti e assi principali d’inerzia (studio delle rotazioni permanenti). ... 82
125) Stabilità delle rotazioni permanenti. ... 83
126) Moto per inerzia dei corpi rigidi a struttura giroscopica, coni di Poinsot. ... 85
a. Quantità conservate nel moto per inerzia di un corpo a struttura giroscopica. ... 85
b. Il moto per inerzia di un giroscopio è una precessione regolare. ... 87
127) Effetti giroscopici, equazione del giroscopio. ... 90
a. Equazione del giroscopio. ... 90
b. Tenacia degli assi giroscopici. ... 91
c. Tendenza al parallelismo dell’asse del giroscopio con il momento sollecitante. ... 91
128) Giroscopio pesante. ... 93
129) Stabilità all’equilibrio. ... 94
a. Equilibrio (definizione pag. 147). ... 94
b. Principio dei lavori virtuali (pag. 155). ... 94
c. Principio di stazionarietà del potenziale (pag. 180). ... 95
d. Stabilità secondo Lyapunov. ... 95
e. Stabilità alla Lyapunov (versione libro pag. 332). ... 96
f. Criterio di stabilità di Dirichlet. ... 96
g. Teorema di Dirichlet-Lagrange (pag. 333). ... 98
h. Criterio di instabilità (Hagedorn-Taliaferro). ... 99
i. Criterio di instabilità di Hagedorn-Taliaferro (pag. 337). ... 99
130) Piccole oscillazioni dalla posizione di equilibrio e Lagrangiana linearizzata di un sistema olonomo con un grado di libertà soggetto a vincoli perfetti e a forze attive conservative. ... 99
131) Appendice. ... 101
1. Richiami sulle soluzioni di equazioni differenziali di secondo grado a coefficienti costanti. ... 101
1) Velocità del moto piano in coordinate polari.
Supponiamo che P sia un punto del piano di coordinate cartesiane (x,y) e di coordinate polari (4, 6). Allora la velocità del punto P sarà data da
8!
9999⃗ = 4̇4̂ + 46̇6>
Dove 4̂ = ?"# e 6> = @?"# sono due versori.
DIM: Il vettore che collega l’origine al punto P è dato da (A − C) = D@ + EF = D + @E =
4?"# = (4GHI6, 4I@J6), dove abbiamo utilizzato la notazione complessa per la
rappresentazione piana. Ora, per definizione, si ha che la velocità è data da:
8! 9999⃗ = K
KL(A − C) = K
KLM4?"#N =⏞
$%&"'()( $%+ ,&-$-))-
4̇?"#+ 4 K
KL?"# = 4̇?"#+ @46̇?"#
= 4̇?"# + 46̇@?"# = 4̇4̂ + 46̇6>
Dove possiamo notare chiaramente una componente radiale e una componente tangenziale.
2) Accelerazione del moto piano in coordinate polari.
Supponiamo che P sia un punto del piano di coordinate cartesiane (x,y) e di coordinate polari (4, 6). Allora l’accelerazione del punto P sarà data da
P,
9999⃗ = M4̇ − 46̇.N4̂ + M24̇6̇ + 46̈N6>
Dove 4̂ = ?"# e 6> = @?"# sono due versori.
DIM: Per quanto già dimostrato sappiamo che la velocità del punto è data da 89999⃗ = 4̇4̂ +!
46̇6>. Dato che per definizione l’accelerazione d P è la derivata della sua velocità, allora otteniamo che:
P, 9999⃗ = K
KL89999⃗ = 4̇?! "# + @4̇6̇?"#+ @4̇6̇?"#+ @46̈?"# + @.46̇.?"# =
= 4̇?"#+ 2@4̇6̇?"# + @46̈?"#− 46̇.?"# = M4̇ − 46̇.N?"# + M24̇6̇ + 46̈N@?"#
= M4̇ − 46̇.N4̂ + M24̇6̇ + 46̈N6>
Dove 4̇ è la parte puramente radiale, −46̇. è la componente centripeta, 46̈ è l’accelerazione puramente tangenziale e 24̇6̇ è l’accelerazione complementare o di Coriolis.
3) Costanza dell’angolo tra tre punti di un corpo rigido.
Siano A, B, C tre punti qualsiasi appartenenti ad un corpo rigido e sia 6 l’angolo al vertice A del triangolo ABC. Allora tale angolo è costante qualunque sia il moto del corpo rigido.
DIM: Per dimostrare quest’affermazione è sufficiente sfruttare il Teorema di Carnot e le proprietà del corpo rigido. Per il suddetto teorema sappiamo che il quadrato del modulo del segmento BC è dato da:
ST. = US.+ UT.− 2USUTGHI6 Ora, esplicitando rispetto al coseno, si ha che:
cos 6 = ST.− US.− UT.
−2USUT
Ora, dato che AB, AC e BC sono tre coppie di punti appartenenti ad un corpo rigido, si ha
4) Uguaglianza delle proiezioni delle velocità.
Supponiamo che A e B siano due punti qualsiasi di un corpo rigido collegati dal segmento AB. Supponiamo inoltre che il punto A possegga la velocità 89999⃗ e il punto B la velocità 8/ 9999⃗, 0
formanti rispettivamente con il segmento AB gli angoli 6 ? Y. Allora le proiezioni delle due velocità su AB sono uguali, ovvero
8/
9999⃗ ⋅(S − U)
US = 89999⃗ ⋅0 (S − U) US Dove (02/)/0 è il versore dell’asse congiungente i due punti.
Versione 2 (Abbà): Condizione necessaria e sufficiente affinché un atto di moto sia rigido è che per ogni coppia di punti A e B appartenenti al sistema le loro velocità soddisfino la relazione
(89999⃗ − 80 9999⃗) ⋅ (S − U) = 0 /
DIM.1: Dato che stiamo lavorando con un corpo rigido, il modulo AB è costante e quindi abbiamo che
US. = (S − U) ⋅ (S − U) = GHIL Ora deriviamo rispetto al tempo:
K
KLUS. = K
KL[(S − U) ⋅ (S − U)] = K
KL[(S − U)] ⋅ (S − U) + (S − U) ⋅ K
KL[(S − U)] =
= 2 K
KL[(S − U)] ⋅ (S − U) = 2(89999⃗ − 80 9999⃗) ⋅ (S − U)/
= 0 (K?4@8PLP K@ GHILPJL? ? K?4@8PLP K@ ^4HKHLLH) Ora utilizzando la distributività del prodotto scalare otteniamo che
80
9999⃗ ⋅ (S − U) − 89999⃗ ⋅ (S − U) = 0 ⟹ 8/ 9999⃗ ⋅ (S − U) = 8/ 9999⃗ ⋅ (S − U) 0 Da cui segue la tesi.
DIM.2: (Abbà) Se istante per istante il sistema può essere considerato rigido, allora per qualsiasi coppia A e B di punti appartenenti ad esso possiamo scrivere AB = cost. Sarà costante anche il suo quadrato
US. = (S − U) ⋅ (S − U) = GHIL.
Deriviamo la formula qui sopra e otteniamo
(89999⃗ − 80 9999⃗) ⋅ (S − U) = 0 / Dimostrando così la condizione necessaria.
Inoltre se vale la formula enunciata nella tesi (89999⃗ − 80 9999⃗) ⋅ (S − U) =/ K(S − U)
KL ⋅ (S − U) =1 2
K
KL[(S − U) ⋅ (S − U)] = 0 Quindi
(S − U) ⋅ (S − U) = GHIL. ⟹ US. = GHIL. ⟹ US = GHIL.
Dimostrando così la condizione di sufficienza.
5) Formula generale dell’atto di moto di un corpo rigido.
Siano A e B due punti qualsiasi appartenenti al corpo rigido. Siano 89999⃗ ? 8/ 9999⃗ rispettivamente 0 le velocità del punto A e del punto B e sia b99⃗ = 6̇c la velocità angolare del corpo rigido.
Allora si ha
80
9999⃗ = 89999⃗ + b/ 99⃗ ∧ (S − U)
E b99⃗ non dipende dalla coppia di punti scelta, ovvero è costante per ogni coppia.
Versione 2 (Abbà): In ogni istante esiste ed è unico un vettore b99⃗ tale che per ogni coppia di punti A e B solidali al corpo rigido si abbia
80
9999⃗ − 89999⃗ = b/ 99⃗ ∧ (S − U)
DIM: Consideriamo un piano con due punti A e B e sia 6 l’angolo formato da (B-A) con l’asse delle ascisse. Allora posso scrivere le coordinate come (S − U) =
(USGHI6, USI@J6), dove AB è costante per le proprietà del corpo rigido. Derivando nel tempo ottengo:
80− 8/ = (−6̇USI@J6, 6̇USGHI6) Dove abbiamo visto le funzioni GHI6 ? I@J6 come funzioni composte:
K
KLcosθ =dcosθ dθ
K6
KL = −6̇I@J6 ? K
KLsinθ =dsinθ dθ
K6
KL = 6̇GHI6
Ora poniamo b99⃗ = 6̇c dove k è il versore della terna ortonormale uscente dal foglio (ovvero quello corrispondente all’asse z). Svolgiamo dunque il prodotto vettoriale che compare nella formula:
b99⃗ ∧ (S − U) = 6̇c ∧ (USGHI6@ + USI@J6F) = 6̇USGHI6(c ∧ @) + 6̇USI@J6(c ∧ F) Dalle relazioni fondamentali tra i versori della terna ortonormale, sappiamo che @ ∧ F = c, F ∧ c = @ ? c ∧ @ = F, da cui otteniamo che:
b99⃗ ∧ (S − U) = −6̇USI@J6@ + 6̇USGHI6F
Che è esattamene lo stesso risultato ottenuto in precedenza. Ora, dato che le due espressioni sono uguali possiamo uguagliarle ottenendo la tesi:
80− 8/ = b99⃗ ∧ (S − U) ⟹ 89999⃗ = 80 9999⃗ + b/ 99⃗ ∧ (S − U)
Ora dobbiamo dimostrare che la velocità angolare così definita è uguale per tutte le coppie di punti, ovvero dobbiamo dimostrare che, data una seconda coppia qualsiasi di punti C e D tale che (D – C) forma l’angolo Y con l’asse delle ascisse, si ha Ẏ = 6̇. Per fare ciò
eseguiamo la costruzione mostrata in figura, dove congiungiamo C con A e H è il punto di intersezione tra il prolungamento di CD e la retta passante per A parallela all’asse delle ascisse.
Ora, per la somma degli angoli interni di un triangolo si ha che i + j − 6 + Y = k E, derivando rispetto al tempo, otteniamo che
i̇ + j̇ − 6̇ + Ẏ = 0
Ma per le proprietà del corpo rigido, gli angoli i ? j sono costanti nel tempo e quindi la
6) Teorema di Eulero.
Un corpo rigido piano che non trasla (ovvero che possiede velocità angolare b99⃗ ≠ 0), ruota Versione 2 (Libro pag. 36): Un sistema in moto rigido piano ha atto di moto traslatorio o rotatorio.
Versione 3 (Abbà): Un atto di moto rigido piano è rotatorio o traslatorio.
DIM.1: Dato che per ipotesi il corpo non trasla, abbiamo 6̇ ≠ 0. Quindi, per la definizione di atto di moto rotatorio, dobbiamo dimostrare che esiste un punto C che abbia velocità nulla. Grazie alla formula generale dell’atto di moto del corpo rigido, sappiamo che:
8/
9999⃗ = 89999⃗ + b4 99⃗ ∧ (U − T) = b99⃗ ∧ (U − T)
Dunque, per dimostrare l’esistenza di C, dobbiamo trovare il vettore (A – C). Procediamo moltiplicando vettorialmente la velocità angolare ad entrambi i membri:
b99⃗ ∧ Mb99⃗ ∧ (U − T)N = b99⃗ ∧ 89999⃗ /
Dalle relazioni fondamentali sappiamo che P⃗ ∧ Mm9⃗ ∧ G⃗N = (P⃗ ⋅ G⃗)m9⃗ − MP⃗ ⋅ m9⃗NG⃗, quindi otteniamo che
[b99⃗ ⋅ (U − T)]b99⃗ − b.(U − T) = b99⃗ ∧ 89999⃗ /
Ma, poiché omega e il vettore (A – C) sono perpendicolari tra loro, il prodotto scalare fra parentesi quadre è nullo. Infine, esplicitando per (A – C), ottengo la tesi:
(T − U) =b99⃗ ∧ 89999⃗/ b.
Abbiamo quindi dimostrato l’esistenza del punto C. Possiamo anche calcolarne le coordinate: supponendo 89999⃗ = D/ /@ + E/F, abbiamo che b99⃗ ∧ 89999⃗ = −6̇Ė/ /@ + 6̇Ḋ/F. Inoltre sappiamo che vale anche la relazione (T − U) = (D4− D/)@ + (E4− E/)F, da cui segue che, dividendo per il modulo al quadrato di omega, le coordinate di C sono:
D4 = D/−Ė/
6̇ E4 = E/+Ḋ/ 6̇
DIM.2: (Abbà) Se b99⃗ = 0 ⟹ 89999⃗ = 8/ 9999⃗ e l’atto di moto è traslatorio. 0
Se l’atto di moto non è traslatorio b99⃗ ≠ 0 e l’equazione vettoriale 89999⃗ = b/ 99⃗ ∧ (U − n) ammette soluzione, quindi esiste in ogni istante un punto H che ha velocità nulla. Infatti moltiplicando vettorialmente per b99⃗:
b99⃗ ∧ Mb99⃗ ∧ (U − n)N = b99⃗ ∧ 89999⃗ /
Essendo 89999⃗ ⊥ b/ 99⃗, risulta che b99⃗ ∧ 89999⃗ è parallelo al piano direttore. Ricordando le proprietà /
del doppio prodotto vettoriale
b99⃗ ∧ Mb99⃗ ∧ (U − n)N = b.(n − U)
Quindi esiste, istante per istante, un punto H nel piano direttore, avente velocità nulla e la cui posizione è data dal vettore
(n − U) =b ∧ 8/ b.
Tale punto è chiamato centro d’istantanea rotazione ed è l’intersezione dell’asse di istantanea rotazione con il piano direttore.
7) Teorema (o costruzione) di Chasles.
Siano A e B due punti appartenenti a un sistema durante un moto rigido piano. Se in un
e B si incontrano in un solo punto H, esso è il centro d’istantanea rotazione dell’atto di moto (pag. 36).
DIM.1: Applichiamo la formula generale dell’atto di moto rigido. Dal momento che il moto è istantaneamente rotatorio, sappiamo che esiste un centro d’istantanea rotazione C tale che 8⃗4 = 0. Quindi: 8⃗/ = b99⃗ ∧ (U − T). Ora sappiamo che, per le proprietà del prodotto vettoriale, il vettore 8⃗/ è perpendicolare sia a omega sia a (A – C), ovvero 8⃗/ ⊥ b99⃗ e 8⃗/ ⊥ (U − T). Quindi il punto C cercato sarà sicuramente sulla perpendicolare al vettore velocità del punto A. Eseguendo un ragionamento analogo per il punto B, troviamo che il CIR deve sicuramente essere il punto di intersezione tra le rette perpendicolari alle due velocità (supponendo che queste ovviamente non siano parallele).
DIM.2: Osserviamo che l’esistenza di un unico punto d’incontro delle perpendicolari a 8⃗(U) e 8⃗(S) implica che le due velocità non siano parallele, e quindi che l’atto di moto sia
rotatorio, come conseguenza del Teorema di Eulero. Allora detto C il centro di istantanea rotazione, alla luce della (2.37) avremo che 8⃗/ = b99⃗ ∧ (U − T) e 8⃗0 = b99⃗ ∧ (S − T). A causa della definizione di prodotto vettore, ciò implica che (A – C) e (B – C) siano perpendicolari, rispettivamente, a 8⃗(U) e 8⃗(S). Il punto C si trova quindi sia sulla retta perpendicolare a 8⃗(U) e passante per A, sia sulla retta perpendicolare a 8⃗(S) e passante per B. Ma allora C è l’intersezione di queste due rette e deve coincidere con H.
8) Asta rigida che scivola e Teorema di Chasles.
Consideriamo un’asta rigida appoggiata per un estremo al pavimento e per l’altro al muro che scivola senza mai separarsi da questi. Allora i vari centri di istantanea rotazione descrivono un arco di circonferenza con centro l’origine.
DIM: Indichiamo con A il punto in cui l’asta è vincolata alla parete (asse y) e con B il punto in cui è vincolata al pavimento (asse x). Nel punto A, dato che l’asta è vincolata a scorrere lungo l’asse delle ordinate, la velocità sarà puramente verticale e quindi la retta
perpendicolare a tale vettore sarà parallela all’asse delle ascisse. Nel punto B, invece, la velocità sarà parallela all’asse x, e quindi la retta ortogonale a tale vettore sarà parallela all’asse y. Dunque, il centro d’istantanea rotazione si troverà su uno dei vertici del
rettangolo che ha per diagonale l’asta rigida (che supporremo di lunghezza L). La diagonale secondaria del rettangolo, che ha come estremi l’origine O e il centro di istantanea
rotazione C, avrà sempre lunghezza L man mano che l’asta scivola in quanto quest’ultima è un corpo rigido e quindi per definizione non può accorciarsi o deformarsi. Inoltre, la
diagonale secondaria avrà sempre un estremo nell’origine O, in quanto l’asta stessa è vincolata a scorrere lungo gli assi e non può distaccarsi da essi. Quindi, dato che C ha distanza costante dall’origine, spostandosi traccia il luogo dei punti che corrisponde ad un arco di circonferenza di raggio L e centro O (vedi pag. 81 per riferimenti grafici).
9) Asta rigida incernierata all’origine.
Un’asta rigida di lunghezza L collegata ad una cerniera fissa nell’origine ha le seguenti equazioni di moto agli estremi:
pD/(L) = qGHIM6(L)N
e p Ḋ/(L) = −q6̇(L) sinM6(L)N
DIM: Fissare un’asta rigida ad una cerniera, che è un vincolo olonomo, fisso, bilatero ed esterno, equivale ad imporre le seguenti equazioni di vincolo:
rD5 = 0 E5 = 0
Si noti che, dato che le equazioni di vincolo sono due, vengono rimossi due gradi di libertà al corpo rigido, che quindi avrà come unico grado di libertà l’angolo 6(L) dipendente dal tempo. Dato che l’asta è rigida e di lunghezza L, l’estremo A si troverà sempre a distanza L dall’origine degli assi O e quindi le coordinate cartesiane di tale punto saranno:
pD/(L) = qGHIM6(L)N E/(L) = qI@JM6(L)N
Ora, derivando rispetto al tempo e notando che GHIM6(L)N e s@JM6(L)N sono funzioni composte, otteniamo le velocità lungo l’asse x e lungo l’asse y dell’estremo A:
p Ḋ/(L) = −q6̇(L) sinM6(L)N Ė/(L) = q6̇(L) cosM6(L)N
10) Equazioni dell’atto di moto di un’asta vincolata ad un carrello con guida rettilinea.
Per la guida rettilinea, si ha che l’equazione di vincolo del carrello è E/ = 0
Dalla quale possiamo capire che è un vincolo olonomo esterno che toglie un solo grado di libertà (in quanto l’asta è libera di ruotare intorno al punto in cui è connessa al carrello).
Quindi avremo che le coordinate libere saranno due (D/ ? 6) e, chiamando D/ l’ascissa del carrello, L la lunghezza dell’asta, 6 l’angolo di rotazione dell’asta e D0 l’estremo superiore dell’asta, avremo che:
rD0 = D/+ q cos 6 E0= q sin 6
Derivando tali equazioni nel tempo, otteniamo le velocità dell’estremo B:
pḊ0= Ḋ/ − q6̇ sin 6 Ė0 = q6̇ cos 6
Se invece consideriamo il punto C dell’asta a distanza S dall’estremo vincolato, otterremo:
rD4 = D/+ s cos 6
E4 = s sin 6 ? pḊ4 = Ḋ/− s6̇ sin 6 Ė4 = s6̇ cos 6
NB: Il carrello può essere unilatero o bilatero. Quello unilatero ammette le traslazioni in verticale rispetto ad una guida fissa (può perdere l’appoggio con la guida), mentre quello bilatero è costretto a viaggiare lungo una guida fissa senza perdita di contatto. Per i nostri fini, studieremo solo carrelli bilateri e, in caso di carrelli unilateri, li studieremo come se fossero bilateri supponendo che il contatto venga sempre mantenuto e verificando a posteriori tale ipotesi. Inoltre l’asta vincolata al carrello è libera di ruotare, quindi il sistema ha due gradi di libertà.
11) Equazioni dell’atto di moto di un’asta collegato ad un pattino su guida rettilinea e non rettilinea.
Dato che l’ordinata del pattino è costante e che l’angolo di rotazione dell’asta è fisso, tale vincolo toglie due gradi di libertà e vi sarà una sola coordinata libera. Le equazioni di vincolo sono, chiamando E/ l’ordinata del pattino:
r6 = 66 E/ = 0
Scegliamo ora l’ordinata D/ del pattino come coordinata libera. Chiamando B il punto estremo dell’asta ed essendo L la lunghezza di questa, otterremo le seguenti equazioni:
rD0 = D/+ q cos 66 E0 = q sin 66
Dove si ricordi che 66 è una coordinata imposta in quanto è costante e non varia nel tempo. Derivando nel tempo, otteniamo le velocità del punto B:
rḊ0 = Ḋ/ Ė0 = 0
Ora invece consideriamo la guida non rettilinea. Denominando j l’angolo tra la tangente alla guida e l’orizzontale (angolo che può variare nel tempo), otterremo:
rD0 = D/+ q cos(66+ j) E0 = q sin(66+ j)
Si noti che j ? E/ NON sono coordinate libere perché dipendono da D/, quindi il numero di gradi di libertà è lo stesso del caso con guida rettilinea.
12) Equazione di asta vincolata ad un manicotto verticale.
Iniziamo notando che, dato che le rotazioni dell’asta non sono consentite e dato che è consentita la traslazione solo in direzione del manicotto, il sistema analizzato presenta un solo grado di libertà. Possiamo dunque scegliere come unica coordinata libera l’ordinata E/ dell’estremo inferiore dell’asta e, detta L la lunghezza dell’asta e B l’estremo superiore di questa, otterremo le seguenti equazioni:
rE0= E/+ q D0 = 0
Ora, derivando nel tempo, otteniamo le velocità del punto B:
rĖ0 = Ė/ Ḋ0 = 0
NB: In generale con un manicotto il corpo rigido può solo traslare nella direzione parallela al manicotto e il punto in cui è fissato il manicotto è, appunto, fisso. Non sono ammesse le rotazioni e non sono ammesse le perdite di contatto con il manicotto. Il corpo può solo traslare nella direzione imposta dal manicotto.
13) Disco soggetto ad un vincolo di rotolamento puro (senza strisciamento) su guida rettilinea.
Sia C il punto di contatto del disco di raggio R e centro A con la guida rettilinea. Affinché si abbia il rotolamento senza strisciamento, è necessario che sia verificata la seguente condizione:
8⃗4 = 0
Tale vincolo, anche se è presente la velocità, può essere ridotto ad un vincolo olonomo nel caso disco che rotola su una guida (mentre per un disco che rotola liberamente nel piano è un vincolo anolonomo). Scegliamo dunque come coordinate le coordinate del centro A e l’angolo di rotazione 6 in senso antiorario. Siccome il disco è un corpo rigido, possiamo applicare la formula generale dell’atto di moto:
8⃗/ = 8⃗4+ b99⃗ ∧ (U − T) = b99⃗ ∧ (U − T) GHJ b99⃗ = 6̇c Ora, riscrivendo in termini di coordinate e versori, abbiamo che:
Ḋ/@ + Ė/F = 6̇c ∧ tF = −t6̇@
rḊ/ = −t6̇
Ė/ = 0
Da una equazione vettoriale siamo passati a delle equazioni scalari e possiamo integrare nel tempo, ottenendo:
rD/ = −t6 + GHILPJL?
E/ = GHILPJL?
Ora sistemiamo le costanti di integrazione. E/ sarà sicuramente uguale a R, in quando il centro A si trova a distanza costante R dalla guida (che è rettilinea) in quanto il corpo è rigido. La costante nella prima equazione invece può essere annullata scegliendo delle opportune condizioni iniziali, ovvero allineando D/ con l’asse y (D/,"8"9"(+% = 0) e scegliendo 6"8"9"(+% = 0. Quindi le equazioni qui sopra diventano:
rD/ = −t6 E/ = t
Si noti inoltre che, prendendo 6 positivo in senso antiorario, la prima equazione diventa D/ = t6 in quanto ora, per la regola della vite, la velocità angolare omega ha segno
opposto rispetto a quella precedente, ovvero risulta b99⃗ = −6̇c. Da ciò segue che il prodotto vettoriale nella formula generale di atto di moto di corpo rigido dà come risultato t6@ e non −t6@. Quindi il segno in tale equazione dipende da come si orienta l’angolo di rotazione e da come si dispongono gli assi cartesiani. Infine notiamo che il vincolo di rotolamento senza strisciamento su guida rettilinea toglie due gradi di libertà al sistema (l’angolo theta è l’unica coordinata libera).
NB: Se il rotolamento avviene su guida fissa, il punto di contatto è il centro d’istantanea rotazione, mentre se la guida è mobile, si trova sulla retta verticale per A e H per il teorema di Chasles ma non posso dire esattamente dove.
14) Rotolamento senza strisciamento su guida fissa inclinata.
Consideriamo una guida fissa inclinata che scende verso x positive. Sia S la distanza percorsa dal punto di contatto tra disco e guida scendendo lungo la guida e prendiamo 6 positivo in senso orario. Otteniamo:
ṡ = ±t6̇
Per 6̇ positivo (ovvero per angoli che crescono e disco che rotola verso il basso), ṡ è
positivo (ovvero il disco, se l’angolo aumenta, procede verso S positive). Quindi il segno che stiamo cercando sarà positivo:
ṡ = t6̇
15) Rotolamento senza strisciamento su guida mobile.
Supponiamo di avere un disco rigido appoggiato su una piattaforma libera di muoversi lungo una guida rettilinea. Sia A il centro del disco e siano H e K i punti di contatto
rispettivamente del disco e della piattaforma. Il vincolo senza strisciamento si generalizza imponendo la seguente condizione:
8⃗: = 8⃗; Possiamo rielaborare la condizione di vincolo come:
8⃗/ = 8⃗: + b99⃗ ∧ (U − n) Che, riscritto in termini di coordinate e versori, risulta essere:
Ḋ/@ + Ė/F = 8⃗: + 6̇c ∧ tF
Dove il vettore (A – H) è sempre parallelo all’asse y e di modulo costante pari al raggio. Si noti inoltre che abbiamo scelto 6 come positivo in senso antiorario. Dato che la
piattaforma trasla, tutti i suoi punti avranno la stessa velocità parallela all’asse delle ascisse e che dunque sarà data da
8⃗; = Ḋ@
Dunque per la condizione di vincolo avremo che 8⃗; = 8⃗: = Ḋ@ e, sostituendo, otteniamo:
Ḋ/@ + Ė/F = Ḋ@ + 6̇c ∧ tF = Ḋ@ − t6̇@ = (Ḋ − t6̇)@
Da cui si ottiene il sistema:
rḊ/ = Ḋ − t6̇
Ė/ = 0
Integrando nel tempo e sistemando le costanti di integrazioni come già visto precedentemente, si ricavano le seguenti equazioni:
rD/ = D − t6 E/ = t Dove x è l’ascissa della piattaforma.
16) Cerniera mobile che collega due o tre aste rigide.
Supponiamo di avere due aste rigide AH e BK collegate ad un estremo da una cerniera mobile. Supponendo che H e K siano gli estremi uniti, il vincolo sarà che:
n = v
Ovvero i punti H e K devono sempre rimanere a contatto, anche se non ci sono restrizioni sulle rotazioni delle due aste. Tale vincolo è olonomo, in quanto corrisponde al seguente vincolo sulle coordinate piane:
wD: = D; E: = E;
Dunque tale vincolo toglie due gradi di libertà al sistema. Considerando che un sistema rigido piano formato da due aste ha sei gradi di libertà (tre più tre), lo stesso sistema con la cerniera mobile avrà quattro gradi di libertà.
Equivalentemente, per una cerniera mobile che collega tre aste nei loro estremi H,K e L, il vincolo sarà
wn = v n = q Che, scritto in termini di coordinate, diventa:
x
D: = D; E: = E; D: = D<
E: = E<
Possiamo quindi constatare che è un vincolo olonomo che toglie quattro gradi di libertà al sistema. Dunque, considerando che un sistema formato da tre aste ha nove gradi di libertà (tre più tre più tre), con una cerniera mobile i gradi di libertà saranno cinque (le due
coordinate della cerniera e i tre angoli fra le aste).
17) Sistema biella manovella.
Consideriamo un sistema formato da due aste rigide di lunghezza L. Supponiamo che un’asta sia vincolata da una cerniera fissa in un estremo, che le due aste siano vincolate tra di loro da una cerniera mobile e che la seconda asta sia vincolata nell’estremo rimanente ad un carrello che scorre su una guida rettilinea. Si noti innanzitutto che dato che le due aste hanno lunghezza uguale, gli angoli che le due aste formano con l’orizzontale saranno uguali e saranno 6. Se non avessi vincoli, il sistema avrebbe sei gradi di libertà. La cerniera
(ovvero una sola coordinata libera). Scegliamo l’angolo 6 come coordinata libera del sistema. La posizione e la velocità del carrello saranno:
rD0 = q cos 6 + q cos 6 = 2q cos 6
E0 = 0 ? rḊ0 = −2q6̇ sin 6 Ė0 = 0
Se invece consideriamo la velocità e la posizione del punto di contatto A tra le due aste (ovvero dove sono collegate dalla cerniera mobile):
rD/ = q cos 6
E/ = q sin 6 ? p
Ḋ/ = −q6̇ sin 6 Ė/ = q6̇ cos 6
Se ancora consideriamo la posizione del punto medio G della seconda asta AB, otteniamo:
xD= = q GHI6 +q
2cos 6 =3
2q cos 6 E= = q
2sin 6
? xḊ= = −3
2 q6̇ sin 6 Ė= = q
2q6̇ cos 6
Si noti che abbiamo ricavato tali equazioni puramente dalla geometria del problema (vedere disegno degli appunti della lezione quattro del 22/09/2020).
18) Vincolo di contatto con strisciamento di un disco rigido su guida fissa.
Supponiamo di avere un disco rigido a contatto con una guida rettilinea fissa nel punto A.
Supponiamo inoltre che il contatto venga sempre mantenuto. Allora il punto di velocità può avere velocità non nulla 8⃗/, ma essa dovrà sempre essere in direzione tangente alla guida. Oltre alla direzione tangente, inoltre, posso individuare una direzione normale alla guida che è perpendicolare a quella tangente. Quindi l’equazione di vincolo per un disco rigido su una guida fissa affinché il contatto venga mantenuto sarà:
8⃗/⋅ Jz = 0
Ciò significa che se il disco avesse velocità verticale verso l’alto, si staccherebbe dal piano d’appoggio, mentre se avesse velocità orizzontale verso il basso penetrerebbe nella guida.
19) Disco su guida inclinata con vincolo di contatto con strisciamento.
Supponiamo ora che il disco si trovi su una guida inclinata costituita da una lamina mobile libera di traslare orizzontalmente. Siano A e B i punti di contatto tra i due corpi,
rispettivamente appartenenti al disco e alla lamina. Allora la condizione di contatto senza strisciamento sarà data da:
8⃗/ ⋅ Jz = 8⃗0⋅ Jz
Ovvero le velocità in direzione normale devono coincidere, mentre non si fanno richieste sulla direzione tangente della velocità.
NB.1: Quella riportata sopra è un’equazione scalare concernente le velocità e quindi non è detto che sia riconducibile ad un vincolo olonomo.
NB.2: L’equazione di vincolo qua sopra è valida anche in caso di due corpi rigidi (curvilinei) a contatto tra loro con strisciamento. L’unica condizione da porre è che i due corpi rigidi siano lisci, ovvero che posseggano tutte le proprietà di differenziabilità dell’analisi
matematica. Se la curva che descrive il contorno è derivabile nel punto di contatto allora la superficie è liscia ed esiste la direzione tangente.
NB.3: Se il punto di contatto è tra un corpo liscio e un corpo irregolare (e.g. estremo di un’asta rigida che poggia sul lato di una lamina, punto medio di un’asta rigida che poggia su un vertice di una lamina rettangolare piana) la direzione tangente è determinata dal corpo
liscio (e.g. nel primo caso è data dalla superficie della lamina, mentre nel secondo caso la direzione tangente è data dall’asta che poggia sul vertice). Se invece entrambi i corpi sono lisci, la direzione tangente è in comune. Se ancora i due corpi sono entrambi irregolari (e.g.
estremo di un’asta che poggia sul vertice interno di un contenitore), non è possibile determinare la direzione tangente e quindi il vincolo non è imponibile.
NB.4: La scelta del verso del versore normale Jz è assolutamente arbitraria.
20) Asta incernierata che si mantiene a contatto con un lato di una lamina.
Supponiamo di avere un’asta rigida OA di lunghezza L che è incernierata all’origine con una cerniera fissa. Siano A e B i punti di contatto tra l’asta e una lamina mobile e sia x l’ascissa del punto B. Se il sistema fosse libero, ci sarebbero sei gradi di libertà, ma la cerniera fissa ne toglie due, la lamina che scorre su guida piana ne toglie altri due e poi c’è un appoggio che, se riducibile a olonomo, toglie un grado di libertà. Quindi c’è un’unica coordinata libera (il numero di gradi di libertà è determinabile anche per una strada alternativa: si blocca una possibile coordinata libera e si analizza se il sistema si muova. In caso di risposta affermativa, si procede a bloccare altre coordinate finché il sistema non si fermi e il
numero di coordinate bloccate rappresenta il numero di coordinate libere; se invece il sistema si ferma alla prima coordinata, si ha un solo grado di libertà). La condizione di contatto sarà:
8⃗/ ⋅ Jz = 8⃗0⋅ Jz
In questo caso il versore tangente è dato dal lato della lamina che è perfettamente verticale, quindi il versore normale coinciderà con il versore i della terna cartesiana:
8⃗/⋅ @ = 8⃗0⋅ @
Dato che la lamina può solo traslare, si avrà sicuramente che la velocità del punto B sarà:
8⃗0 = Ḋ@
Consideriamo ora invece il punto A:
(U − C) = q cos 6 @ + q sin 6 F Derivando nel tempo, otteniamo la sua velocità:
8⃗/ = −q6̇ sin 6 @ + q6̇ cos 6 F Quindi la proiezione di tale velocità sul versore normale sarà:
8⃗/⋅ Jz = 8⃗/⋅ @ = −q6̇ sin 6 Quindi in definitiva avrò, per la condizione di vincolo:
Ḋ = −q6̇ sin 6 ⟹{
"8)%>&- 8%+ )%?,-
D = q cos 6 + GHIL.
Dove la costante può essere tranquillamente annullata notando che come condizione iniziale si ha che per 6 =@., D = 0. Dunque abbiamo scoperto che il vincolo è olonomo in questo caso e toglie un grado di libertà.
NB: 6 non può assumere qualunque valore perché il sistema non lo consente. Ci sono delle configurazioni di confine che sono due valori estremi e vanno studiate separatamente.
21) Asta rigida a contatto con il vertice di una lamina rettangolare.
Sia OD un’asta rigida incernierata nell’origine O che poggia sul vertice di una lamina
rettangolare di lato verticale P. Siano U ≠ |, S i punti di contatto rispettivamente dell’asta e della lamina (si noti che B coincide con il vertice del suddetto dispositivo, dato che l’asta
del lato verticale su cui si trova B e x l’ascissa del punto B. Possiamo notare che il triangolo OCB è rettangolo e quindi:
tan 6 =P
E il problema è risolto perché abbiamo trovato la coordinata x in funzione della coordinata D 6. Ora, esplicitando e derivando, possiamo trovare la velocità:
D = P ⋅ GHL•(6) ⟹ Ḋ = − P6̇
sin.6
NB: se servisse, in questo caso la tangente sarebbe data dalla direzione dell’asta, in quanto è l’unica superficie liscia: infatti il vertice della lamina è un punto di non derivabilità.
22) Asta rigida vincolata ad un piolo.
Il piolo è un vincolo unilatero in quanto in generale non impedisce il distacco, ma per i nostri fini possiamo studiarlo come bilatero supponendo che il contatto venga sempre mantenuto. Quindi possiamo vederlo come un vincolo di contatto con strisciamento.
Quindi, in generale, il vincolo sarà:
8⃗/ ⋅ Jz = 8⃗0⋅ Jz
In cui la direzione tangente viene individuata dall’asta in quanto il piolo è semplicemente un punto e non può essere derivato. Notiamo ora che il piolo è un vincolo fisso, quindi la sua velocità 8⃗0 sarà nulla. Dunque il vincolo diventa:
8⃗/⋅ Jz = 0
Si noti però che tale vincolo non impedisce all’asta di ruotare attorno al piolo e che sono ammesse solo le traslazioni parallele all’asta stessa. Dunque il piolo toglie un solo grado di libertà.
23) Equazioni del moto di un disco incernierato ad un’asta vincolata ad un piolo.
Supponiamo di avere un disco rigido libero di rotolare senza strisciamento su una guida rettilinea fissa il cui centro O è vincolato mediante una cerniera mobile all’estremo di un’asta rigida. Supponiamo inoltre che quest’asta sia vincolata a rimanere a contatto con un piolo posizionato nel punto H. Siano 6 ? Y gli angoli di rotazione rispettivamente dell’asta e del disco e supponiamo che Y sia positivo orario. Ci proponiamo di trovare la relazione che lega questi due angoli. Iniziamo notando che, se blocchiamo l’angolo di rotazione del disco, il sistema rimane immobile a causa del vincolo di contatto con il piolo che non può venire meno e quindi si avrà un solo grado di libertà. Inoltre il vincolo del disco è un vincolo di rotolamento puro (senza strisciamento), quindi avremo D = tY, con x ascissa del centro del disco fissando come origine il punto H in cui è posto il piolo (ovvero è la distanza orizzontale del centro del disco dal piolo, vedere disegno della lezione cinque del 23/09/2020). Ora consideriamo il triangolo HKO, dove K è il punto di contatto tra il disco e la guida rettilinea. Tale triangolo è rettangolo e quindi:
tan 6 =t D = t
tY= 1 Y
Abbiamo così individuato la relazione che lega i due angoli. Ora, esplicitando e derivando nel tempo, otteniamo:
Y = GHL•(6) ⟹ Ẏ = − 6̇
sin.6
Tale risultato si può ottenere anche per via analitica senza operare deduzioni geometriche.
Consideriamo l’equazione generale dell’atto di moto rigido:
Dove L̂ e Jz sono, rispettivamente, i versori tangente e normale all’asta rigida, 8⃗5 è la velocità del centro del disco e 8⃗: è la velocità del punto di contatto tra l’asta e il piolo. Si notti che a secondo membro compare il versore normale in quanto 6̇c ∧ CnL̂ = Cn6̇Jz.
Ora proietto l’equazione ottenuta su Jz (ovvero eseguo il prodotto scalare) e ottengo:
8⃗5@ ⋅ Jz = Cn6̇ (1)
Il prodotto scalare tra i due versori risulta essere @ ⋅ Jz = cos Ä@.+ 6Å = − sin 6. Ora abbiamo che OK, dove O è il centro del disco e K il punto di contatto tra il disco e la guida, ha modulo costante di valore R (il raggio del disco). Sfruttando le proprietà trigonometriche sul triangolo OHK, si ottiene:
t
Cn= sin 6 ⟹ Cn = t sin 6 Inserendo quest’ultimo risultato ottenuto in (1) otteniamo:
−tẎ sin 6 = t6̇
sin 6 ⟹ Ẏ = − 6̇
sin.6
Che è esattamente la stessa relazione ottenuta prima per via geometrica.
24) Incastro.
Il vincolo d’incastro toglie tutti i possibili gradi di libertà di un sistema piano, in quando le coordinate del punto in cui il corpo rigido è fissato sono costanti e non sono consentite né rotazioni né traslazioni (D/, E/ GHILPJL@, 6 = 66).
25) Fili inestendibili e velocità.
Consideriamo un filo inestendibile, ovvero tale che la lunghezza di filo tra due punti
appartenenti a tale vincolo rimanga costante nel tempo, e aggiungiamo l’ipotesi aggiuntiva che il filo, venendo sfilato, non cambi forma. Siano P e Q due punti qualsiasi del filo. Allora i moduli delle loro velocità sono legati dalla seguente relazione:
8! = 8B ∀A, É ∈ Ö@ÜH
DIM: Iniziamo considerando il punto P. Dato che il filo mantiene la propria forma inalterata e che quest’ultima è la traiettoria di tale punto, avremo che la velocità di P sarà sempre tangente al filo, ovvero:
8⃗! = İ!L̂! "8 ?-$C+-
áààààààâ 8! = |İ!||L̂!| = |İ!|
Dove L̂! è il versore tangente al filo in P e İ! è la derivata nel tempo della coordinata curvilinea percorsa da P. Analogamente per il punto Q si ha:
8⃗B = İBL̂B "8 ?-$C+-
áààààààâ 8B = ãİBããL̂Bã = ãİBã
Ora possiamo affermare che la lunghezza di filo q!B tra i punti P e Q è costante e, all’istante t, la possiamo indicare come:
q!B(L) = IB(L) − I!(L)
Se ora valutiamo la medesima lunghezza in un istante successivo (L + KL), otteniamo che:
q!B(L + KL) = IB(L + KL) − I!(L + KL)
Notiamo che, per l’ipotesi fatta, durante questa variazione temporale il filo avrà mantenuto la propria forma costante. Infine, per la proprietà del filo inestendibile, possiamo porre:
q!B(L + KL) = q!B(L)
IB(L + KL) − IB(L)
KL =I!(L + KL) − I!(L)
Si noti che, se consideriamo il limite per KL → 0, otteniamo la definizione di derivata nel KL tempo e quindi:
İB = İ!
Abbiamo così dimostrato che i moduli delle due velocità coincidono.
NB.1: Solitamente il filo inestendibile toglie un grado di libertà al sistema, ma è sempre meglio usare il “sistema del bloccaggio” per calcolare i gradi di libertà in presenza di fili.
NB.2: Il filo inestendibile non è un corpo rigido perché ha più gradi di liberta rispetto ad un corpo rigido, quindi lo considereremo semplicemente come un vincolo di dimensioni trascurabili.
26) Sistema disco-piolo-punto materiale collegati mediante filo inestendibile.
Consideriamo il seguente sistema rappresentato in figura:
Abbiamo un disco di raggio R che presenta un vincolo di rotolamento puro lungo una guida rettilinea fissa in C. Esso presenta, avvolto attorno alla sua periferia, un filo inestendibile che si distacca in H e che prosegue in direzione orizzontale fino ad un piolo, dove poi scende in verticale. Supponiamo che in H vi sia rotolamento senza strisciamento.
All’estremità del filo è attaccata una massa schematizzata con un punto materiale K. Ci proponiamo di trovare 8⃗D in funzione di 6, 6̇, angolo di rotazione del disco positivo in senso orario.
Innanzitutto, ipotizziamo che la masse presenti nel sistema non possano oscillare e che il filo mantenga inalterata la propria forma. Allora per le proprietà del filo inestendibile, abbiamo che:
8: = 8;
Ora, siccome in H abbiamo un vincolo di puro rotolamento, avremo che la velocità in H del filo sarà vettorialmente uguale alla velocità del disco in H. Sempre per i vincoli posti al sistema, sappiamo che C sarà il centro d’istantanea rotazione del disco, quindi possiamo calcolare la velocità in H come:
8⃗: = Tn6̇ç̂ = 2t6̇ç̂
Quindi otteniamo:
8; = 8: = 2t6̇
27) Sistema di dischi collegati da filo inestendibile.
Consideriamo il seguente sistema rappresentato in figura:
Abbiamo un disco di raggio R e di angolo di rotazione 6 incernierato nel suo centro O a una cerniera fissa. Attorno alla sua periferia è avvolto un filo inestendibile che si distacca nel punto A del disco e prosegue verticalmente fino al punto B di un secondo disco di raggio r, centro E e angolo di rotazione Y. Il filo continua ad avvolgersi attorno a questo disco fino a distaccarsi di nuovo nel punto C e prosegue verticalmente fino al punto D, in cui è vincolato con un chiodo fisso. Imponiamo inoltre dei vincoli di rotolamento senza strisciamento in A, B e C. Ci proponiamo di determinare il rapporto tra le velocità angolari.
Innanzitutto notiamo che il sistema presenta un unico grado di libertà: infatti se
blocchiamo l’angolo 6, il tratto AB di filo rimane fermo perché il disco non può ruotare.
Inoltre i punti B e C del disco di raggio r avranno velocità nulla e quando un corpo possiede due punti distinti a velocità nulla, allora anch’esso è fermo. Quindi il sistema è
completamente immobile e abbiamo un’unica coordinata libera.
Ora per le proprietà del filo inestendibile abbiamo che 8/ = 80 e 84 = 8E = 0 in quanto il punto D è immobile e vincolato al soffitto (si noti però che 84 ≠ 80 perché la forma del filo cambia attorno alla periferia del disco). Applichiamo dunque la formula generale dell’atto di moto di un corpo rigido:
8⃗/ = 8⃗5+ b99⃗(F)∧ (U − C)
⟹ 8/ = t6̇
Dove, si noti, il segno positivo è dovuto al fatto che abbiamo orientato l’asse y verso il basso. Ora analizziamo l’atto di moto del secondo disco:
8⃗4 = 8⃗0+ b99⃗(&)∧ (T − S)
Ma 8⃗4 = 0 perché è il centro d’istantanea rotazione del disco. Quindi:
0 = 80é̂ ± Ẏ24é̂
Ora dobbiamo determinare il segno. Prendiamo il disco piccolo ed eliminiamo tutti i vincoli:
la formula dell’atto di moto rigido deve valere a prescindere dall’atto di moto in cui si trova il disco (e quindi a prescindere dai vincoli), quindi scelgo arbitrariamente 80= 0 e vedo cosa succede a C. Se il disco ruota con Ẏ positivo, il punto C si porta verso il basso ovvero verso y positive. Quindi il segno da scegliere sarà quello positivo (e sarà tale anche per il sistema vincolato):
0 = 80é̂ + Ẏ24é̂
0 = t6̇ + Ẏ24 6̇ = −2Ẏ4
Il segno negativo ci dice che le velocità angolari dei due dischi sono in verso opposto: se il t disco R rotolerà in senso orario, quello r rotolerà in senso antiorario.
Consideriamo il sistema in figura:
Esso è formato da un disco di raggio R incernierato nel centro B e avente angolo di
rotazione è, un disco di raggio r con una cerniera mobile nel centro A e angolo di rotazione Y e un’asta rigida che collega i due centri e avente angolo di rotazione 6 rispetto
all’orizzontale. I due dischi rotolano tra di loro con un vincolo di puro rotolamento.
Iniziamo determinando i gradi di libertà: se blocco è, il disco R è bloccato ma r può rotolare comunque mantenendo il vincolo di puro rotolamento, quindi il sistema ha almeno due coordinate libere. Se blocco anche Y, il sistema è completamente immobile e quindi il sistema ha due gradi di libertà. Notiamo che, però, se procediamo col metodo classico dei conti otteniamo un risultato diverso: (3 + 3 + 3) − 2 (G?4J@?4P Ö@IIP) −
2 (G?4J@?4P êHm@Ü? @J S ^?4 K@IGH) − 2 (G?4J@?4P êHm@Ü? @J S ^?4 PILP) − 2 (8@JGHÜH K@ 4HLPÜê?JLH) = 1. Ciò è dovuto al fatto che il sistema è ipervincolato, ovvero è un sistema in cui l’insieme dei moti possibili rimane inalterato anche eliminando o riducendo alcuni dei vincoli presenti. Per precedere correttamente col calcolo, dovremmo considerare solo i due dischi senza l’asta: (3 + 3) − 2 (G?4J@?4P Ö@IIP) −
2 (G?4J@?4P êHm@Ü?) = 2, che è il risultato corretto. In generale, con i sistemi ipervincolati è meglio usare il metodo del bloccaggio.
Ora posso calcolare 8: sia come punto del disco R sia come punto del disco r:
8⃗: = tè̇L̂ GHJ L̂ 8?4IH4? LPJ•?JL? @J Ö@•ë4P Consideriamo ora l’altro disco:
8⃗: = 8⃗/ + b99⃗(&)∧ (n − U)
8:L̂ = 8/L̂ ± Ẏ4L̂
Ora determiniamo il segno. Considero il disco piccolo isolato senza vincoli, blocco il punto A (8/ = 0) e lo metto in rotazione. Per Y positivo, la velocità di H è diretta in verso opposto al versore tangente, quindi il segno sarà negativo.
8:L̂ = 8/L̂ − Ẏ4L̂
Ora eguaglio le due espressioni trovate per 8⃗:: tè̇ = 8/− Ẏ4
Notiamo che A appartiene anche all’asta e quindi la sua velocità è uguale alla velocità angolare dell’asta per la distanza tra A e B:
8/ = (t + 4)6̇
Dunque otteniamo:
tè̇ = (t + 4)6̇ − Ẏ4 Possiamo anche integrare nel tempo e ottenere:
tè = (t + 4)6 − Y4 29) Dischi internamente a contatto.
Esso è formato da un disco esterno di raggio R e angolo di rotazione è, incernierato nel centro B e a contatto al suo interno con un disco di raggio r mediante un vincolo di rotolamento puro nel punto H. Quest’ultimo ha angolo di rotazione Y e una cerniera mobile in A. I due centri B e A sono collegati da un’asta rigida con angolo di rotazione 6. Ci proponiamo di trovare la relazione tra le velocità angolari come nell’esercizio (28). Come prima abbiamo:
p 8⃗: = tè̇L̂
8⃗: = 8⃗/+ b99⃗(&) ∧ (n − U) = 8/± 4Ẏ
Ora determiniamo il segno. Come prima considero il disco isolato imponendo 8/ = 0 e imprimo una rotazione positiva. Noto che 8⃗: è diretto nello stesso verso del versore tangente, quindi il segno sarà positivo: 8: = 8/+ 4Ẏ. Come prima, 8/ equivale alla lunghezza dell’asta per la sua velocità angolare (in quanto B è il CIR dell’asta):
8/ = (t − 4)6̇
Quindi, eguagliando le due espressioni per 8:, ottengo:
tè̇ = (t − 4)6̇ + 4Ẏ
30) Cuscinetti a sfera.
Consideriamo il seguente sistema rappresentato in figura:
Esso rappresenta un cuscinetto a sfera schematizzato nel piano. Il sistema è costituito da un anello esterno fisso, da un disco di raggio R vincolato con una cerniera fissa nel centro B (che coincide con il centro dell’anello) e da un disco di raggio r vincolato ad una cerniera mobile nel centro A. I dischi di raggio R e r hanno rispettivamente angolo di rotazione è positivo orario e Y positivo orario. Inoltre il disco di raggio minore è vincolato a rotolare senza strisciare in H e K. Ci proponiamo di determinare il rapporto tra è ? Y.
Iniziamo innanzitutto notando che il sistema ha un grado di libertà in meno rispetto a quello dell’esercizio (29) e quindi avrà una sola coordinata libera. La formula tè̇ =
(t + 4)6̇ − Ẏ4 dell’esercizio (28), che è analogo a questo, deve valere indipendentemente dall’anello fisso. Ma ora, dato che quest’ultimo è presente, dobbiamo aggiungere il vincolo di rotolamento in K:
8; = 0 Ricaviamo dunque tale velocità:
8⃗; = 8⃗/ + b99⃗(&)∧ (v − U)
⟹ 8; = 8/± 4Ẏ
Determiniamo il segno: considero il disco r isolato e blocco il punto A. Se Ẏ è positivo, allora 8; si muove nel verso positivo del vettore tangente, quindi dobbiamo mettere il
6̇ = − 4 t + 4Ẏ
Ora sostituisco e ottengo:
tè̇ = −24Ẏ ⟹ è̇ = −24Ẏ
t 31) Disco su guida verticale con guida semicircolare mobile.
Consideriamo il sistema schematizzato in figura:
Esso è costituito da una lamina con profilo semicircolare di raggio R vincolata a traslare orizzontalmente lungo una guida rettilinea; sulla lamina rotola senza strisciamento un disco di raggio r che presenta un carrello nel centro A che lo costringe a muoversi solo
verticalmente. Ci proponiamo di esprimere la velocità della lamina e del carrello in funzione di Y ? Ẏ.
Iniziamo notando che il sistema presenta un solo grado di libertà: se blocchiamo la lamina, dato che il punto A è sulla guida verticale, il disco non può ruotare. Dunque il sistema è immobile e abbiamo un’unica coordinata libera. Questa configurazione è molto simile a quella dell’esercizio (29): chiamiamo è l’angolo di rotazione della lamina e 6 l’angolo di rotazione che la congiungente dei punti A e B forma con la verticale. Possiamo riscrivere la velocità come prima:
tè̇ = (t − 4)6̇ + 4Ẏ
Ora, dato che è è cosante (la lamina non ruota), la sua derivata è nulla. Quindi:
6̇ = − 4Ẏ
t − 4 Inoltre, per quanto riguarda il punto A, possiamo dire:
rD/ = D0+ (t − 4) sin 6 E/ = E0− (t − 4) cos 6 Derivando nel tempo:
pḊ/ = Ḋ0+ (t − 4)6̇ cos 6 Ė/ = Ė0+ (t − 4)6̇ sin 6 Ma A può solo traslare verticalmente, quindi:
Ḋ/ = Ḋ0+ (t − 4)6̇ cos 6 = 0
⟹ Ḋ0 = −(t − 4)6̇ cos 6 = (t − 4) 4Ẏ
t − 4cos Ä− 4Y t − 4Å = = 4Ẏ cos Ä 4Y
t − 4Å
E abbiamo così ricavato la velocità della lamina. Ricaviamo infine la velocità verticale di A, riconoscendo che la lamina trasla solo orizzontalmente e che quindi Ė0= 0:
Ė/ = (t − 4)6̇ sin 6 = −(t − 4) 4Ẏ
sin Ä− 4Y Å
= 4Ẏ sin Ä 4Y t − 4Å 32) Due aste con carrelli e cerniera mobile.
Consideriamo il sistema illustrato in figura:
Esso è costituito due aste, entrambe di lunghezza L, con un estremo comune C vincolato da una cerniera mobile. Inoltre sia in A sia in B è presente un carrello costretto a muoversi su una guida rettilinea orizzontale. Sia infine 6 l’angolo di rotazione di entrambe le aste (il triangolo è sempre isoscele) e sia P un piolo che si trova ad un’altezza di <.. Ci proponiamo di calcolare 8/ ? 80 in funzione di 6 ? 6̇.
Iniziamo innanzitutto determinando i gradi di libertà: se blocco l’angolo di rotazione, il punto B non può più muoversi altrimenti perderebbe il contatto con il piolo e neanche AC potrebbe muoversi in quanto l’angolo è fissato. Dunque vi è una sola coordinata libera.
Sia ora O la proiezione di P sull’asse orizzontale e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con origine in O. Considerando il triangolo BOP, notiamo che:
tan 6 =q 2
1
Ma, per come è stato fissato il sistema di riferimento, possiamo dire che: CS CS = D0 ? D0 = q
2 tan 6 = q 2cot 6
Se deriviamo l’espressione appena trovata nel tempo, otteniamo la velocità 80 del carrello in B:
Ḋ0= −q 2
6̇
sin.6 ⟹ 8⃗0 = Ḋ0ç̂
Determiniamo ora la velocità di A. Notiamo che US = 2q cos 6
Inoltre, per come abbiamo posto il sistema di riferimento, possiamo scrivere:
US = D0− D/ E dunque
D/ = D0− 2q cos 6 =q
2cot 6 − 2q cos 6 Ora derivando nel tempo otteniamo la velocità di A:
Ḋ/ = −q 2
6̇
sin.6+ 2q6̇ cos 6 ⟹ 8⃗/ = Ḋ/ç̂
33) Disco e asta con carrello.
Consideriamo il sistema in figura:
