Una coppia costante applicata ad un corpo rigido piano ammette il seguente potenziale:
¨ = ±T6
Dove C è il modulo del momento della coppia e 6 è l’angolo di rotazione del corpo.
DIM: Per il teorema dell’energia cinetica in forma integrale abbiamo che Δ¢ = q = Δ¨.
Derivando rispetto al tempo otteniamo:
K¢
KL = Π =K¨
Dove l’uguaglianza centrale segue dal teorema dell’energia cinetica in forma differenziale. KL Quindi se la forza è conservativa, la derivata del potenziale coincide con la potenza e quindi possiamo dire che:
Π = ±T6̇ =K¨
Dato che la coppia è costante (T = GHIL), integrando nel tempo si ottiene che: KL
¨ = ±T6 62) Sistemi equivalenti (Teorema tratto da appunti Abbà).
Due sistemi di forze ö ? ö′ sono equivalenti se e solo se hanno uguale risultante ed ugual momento rispetto ad uno stesso punto.
DIM: Poiché le operazioni invariantive di composizione e scorrimento non alterano risultante e momento, l’uguaglianza di risultante e momento è condizione necessaria di equivalenza. Infatti:
a) Composizione e Scomposizione:
Se ó⃗ = ó⃗J + ó⃗. è immediato vedere che il risultante t9⃗ è lo stesso in entrambi i casi, mentre il momento rispetto al polo O:
ï99⃗5= (A − C) ∧ ó⃗J+ (A − C) ∧ ó⃗. = (A − C) ∧ Mó⃗J+ ó⃗.N = (A − C) ∧ ó⃗
Quindi i due momenti coincidono.
b) Scorrimento:
È evidente che se facciamo scorrere una forza lungo la sua retta d’azione, il risultante rimane lo stesso. Per il momento rispetto al polo O si ha:
ï99⃗5 = (A − C) ∧ ó⃗ = [(A − É) + (É − C)] ∧ ó⃗ =
= (A − É) ∧ ó⃗ + (É − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
⟹ (A − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
Dove il prodotto vettore (A − É) ∧ ó⃗ è nullo perché P e Q appartengono alla stessa retta di applicazione di ó⃗ e quindi (A − É) ∥ ó⃗.
Inoltre la condizione è anche sufficiente per le proprietà sul trasporto di una forza da un punto ad un altro e sulla somma di coppie di forze.
63) Invariante scalare e polo del momento.
L’invariante scalare di un sistema di forze è indipendente dal polo rispetto al quale si calcola il momento.
DIM: Sia ù = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 l’invariante scalare di un sistema di forze qualunque calcolato rispetto ad un generico polo O. Consideriamo ora l’invariante I’ calcolato rispetto al polo O’:
ùO = t9⃗ ⋅ ï99⃗5!
ÖH4êëÜP K?Ü L4PI^H4LH
= t9⃗ ⋅ ßï99⃗5+ t9⃗ ∧ (CO− C)® =
= t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ t9⃗ ⋅ ßt9⃗ ∧ (CO − C)® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ (CO− C) ⋅ ßt9⃗ ∧ t9⃗® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 = ù Quindi I = I’ come volevasi dimostrare.
64) Invariante nullo e punto in cui si annulla il momento (fatta in classe).
Supponiamo che un sistema di forze ö abbia invariante scalare nullo (ù = 0). Allora la seguente formula individua il punto rispetto al quale il momento si annulla:
(C∫ − C) =t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. Dove O indica il vecchio polo.
DIM: Dimostriamo che tale formula è vera. Il momento rispetto a C∫ si ottiene con la formula del trasporto:
ï99⃗5P = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ (C∫ − C) = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ ∑t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. ∏ =
= ï99⃗5+ 1
t.ßMt9⃗ ⋅ ï99⃗5Nt9⃗ − t.ï99⃗5® = ï99⃗5− ï99⃗5 = 0
⟹ ï99⃗5P = 0
Se ù = 0 ? t9⃗ ≠ 0, esiste un asse, detto retta di applicazione della risultante, di equazione (C − U) = t9⃗ ∧ ï99⃗/
t. + ªt9⃗
DIM: Il fatto che l’invariante scalare sia nullo può essere dovuto al fatto che esiste almeno un punto rispetto a cui il momento risultante ï99⃗ o è nullo o è un vettore ortogonale alla risultante t9⃗.
In questo secondo caso, dalla formula di trasporto dei momenti:
ï99⃗B = ï99⃗5+ (C − É) ∧ t9⃗
Esisterà almeno un punto O rispetto a cui il momento ï99⃗5 = 0 in modo che ï99⃗B ⊥ t9⃗, e si ricade quindi nel primo caso.
Si vuole allora determinare il punto O rispetto a cui il momento risultante della sollecitazione sia nullo e che soddisfa la relazione:
ï99⃗B = (C − É) ∧ t9⃗
Per risolvere tale equazione vettoriale si moltiplichino vettorialmente per t9⃗ ambo i membri dell’equazione
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ∧ ß(C − É) ∧ t9⃗®
Applicando le proprietà del doppio prodotto vettoriale:
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ⋅ t9⃗(C − É) − t9⃗ ⋅ (C − É)t9⃗
Si ottiene
(C − É) =t9⃗ ∧ ï99⃗B
t. +t9⃗ ⋅ (C − É) t. t9⃗
Che è l’equazione parametrica di una retta avente direzione parallela al risultante t9⃗; tale retta, luogo dei punti rispetto a cui il momento risultante è nullo, costituisce la retta di applicazione del risultante della sollecitazione agente sul corpo rigido.
66) Invariante scalare di un corpo rigido piano.
L’invariante scalare di un corpo rigido piano soggetto unicamente a forze che giacciono nello stesso piano del corpo è sempre nullo.
DIM: Supponiamo che tutte le forze appartengano al piano in cui si muove il corpo rigido.
Allora il momento risultante:
ï99⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ó⃗"
"
È ortogonale a tale piano per le proprietà del prodotto vettoriale. Ovviamente, dato che tutte le forze appartengono al piano, il risultante
t9⃗ = ñ ó⃗"
"
Apparterà anch’esso al piano. Quindi, per le proprietà del prodotto scalare, si ha che l’invariante scalare è nullo e quindi esiste un punto rispetto a cui il momento è nullo.
67) Invariante scalare di un sistema di forze parallele.
Un sistema di forze parallele ha invariante scalare nullo.
DIM: Se la risultante delle forze è nulla, ricadiamo nel caso banale e si ha ovviamente che I=0.
Ora supponiamo che t9⃗ ≠ 0 e valutiamo I. Il momento, se le forze sono tutte dirette lungo la direzione c> come da definizione di sistema di forze parallele, sarà dato da:
ï99⃗5 = ñ(A" − C) ∧ ó⃗"
"
= ñ(A"− C) ∧ ó"c>
"
= ñ ó"(A" − C) ∧ c>
"
Il membro di destra del prodotto vettoriale non dipende dall’indice, quindi si ha che:
ñ ó"(A"− C) ∧ c>
"
= üñ ó"(A"− C)
"
† ∧ c>
Per le proprietà del prodotto vettoriale, si evince che il momento è necessariamente perpendicolare al versore c>, mentre t9⃗ ∥ c>. Quindi, per le proprietà del prodotto scalare, si ha che:
ù = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 = 0 68) Centro di forze parallele e momento.
Il momento di un sistema di forze parallele rispetto al centro delle forze parallele è nullo, il quale è individuato dal vettore:
(T − C) =∑ ó" "(A" − C) t
DIM: Calcoliamo il momento rispetto a C, supponendo che le forze siano dirette lungo la direzione c>:
ï99⃗4 = ñ(A" − T) ∧ ó⃗"
"
= ñ(A"− T) ∧ ó"c>
"
= üñ ó"(A" − T)
"
† ∧ c>
Per come è stato definito C, il membro tra parentesi quadre è nullo. Infatti:
(T − T) =∑ ó" "(A" − T)
t = 0 ⟹ ñ ó"(A"− T)
"
= 0 Quindi segue che:
ï99⃗4 = 0.
69) Baricentro e centro di massa.
Per un corpo rigido si ha che baricentro e centro di massa coincidono.
DIM: Per definizione il baricentro G è il centro delle forze parallele della forza peso, la quale è espressa come ó⃗ = −ê•c>. Quindi, sostituendo nella formula ricavata in (68):
(ò − C) =∑ ó" "(A" − C)
t =∑ −ê" "•(A" − C)
−ê• = ∑ ê" "(A"− C)
ê
Il risultato appena ottenuto coincide esattamente con la definizione di centro di massa, quindi il baricentro e il centro di massa di un corpo rigido coincidono.
70) Relazione simbolica della dinamica.
Sia {(A", ê"), @ = 1, … , J} un sistema di unti materiali liberi oppure sottoposti a vincoli ideali. Sia inoltre øMA", ó⃗"N, @ = 1, … , J¿ il sistema di forze attive agenti sul sistema. Allora per ogni insieme di spostamenti virtuali {(A", ¡A"), @ = 1, … , J} ammessi dai vincoli vale la seguente relazione simbolica della dinamica:
(N.B: Il teorema pag. 315 del libro dice una cosa noi diversa: noi qui ci proponiamo semplicemente di ricavarla).
DIM: Consideriamo la relazione fondamentale della dinamica per un sistema sottoposto sia a forze attive sia a forze reattive esplicate da vincoli ideali:
ê"P⃗" = ó⃗"+ Φ999⃗" ∀A": @ = 1, … , J
Moltiplichiamo scalarmente entrambi i membri per lo spostamento virtuale ¡A" e sommiamo su tutti i punti:
ñ ê"P⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
= ñMó⃗" + Φ999⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= − ñ Φ999⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
Dato che stiamo considerando un sistema meccanico sottoposto a vincoli ideali, proprio per la definizione di questi ultimi si ha che:
ñ Φ999⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
≥ 0 ⟹ − ñ Φ999⃗" ⋅ ¡A"
8
"QJ
≤ 0 E quindi otteniamo:
∑8"QJMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ¡A" ≤ 0.
71) Equazione simbolica della dinamica.
Sia {(A", ê"), @ = 1, … , J} un sistema di unti materiali liberi oppure sottoposti a vincoli ideali bilateri. Sia inoltre øMA", ó⃗"N, @ = 1, … , J¿ il sistema di forze attive agenti sul sistema.
Allora per ogni insieme di spostamenti virtuali {(A", ¡A"), @ = 1, … , J} ammessi dai vincoli vale la seguente equazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
DIM: Dato che il sistema è sottoposto a vincoli ideali, vale sicuramente la relazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
≤ 0
La quale vale per ogni spostamento virtuale ammesso dai vincoli a cui è sottoposto il sistema. Inoltre, dato che il sistema è soggetto a vincoli bilateri, si ha che ogni spostamento infinitesimo ¡É" = −¡A" è a sua volta uno spostamento virtuale (ovvero tutti i suoi
spostamenti virtuali sono reversibili), quindi deve anche valere:
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ¡É"
8
"QJ
≤ 0
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ (−¡A")
8
"QJ
≤ 0
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
≥ 0
Ma dunque, dato che l’espressione ∑ Mó⃗8"QJ " − ê"P⃗"N ⋅ ¡A" deve essere
contemporaneamente non negativa e non positiva, si deve avere necessariamente che:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
72) Equazioni di Lagrange.
Sia ö un sistema soggetto a vincoli olonomi, ideali e bilateri con n gradi di libertà. Allora si ha che:
DIM: Dato che il sistema è sottoposto a vincoli ideali e bilateri, è verificata l’equazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
Però, dato che il sistema è olonomo, possiamo riscrivere lo spostamento virtuale:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
Dato che le somme sono finite, possiamo commutarle ottenendo:
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ñÆA"
73) Equazioni pure del moto (Dimostrazione del fatto che !S = $S per sistemi soggetti a vincoli olonomi, bilateri e ideali).
L’equazione simbolica della dinamica è equivalente alle seguenti N equazioni tra loro indipendenti:
ÉD = ´; ∀c = 1, … , ≈
Dove N è il numero dei gradi di libertà del sistema soggetto a vincoli ideali, olonomi e bilateri considerato.
(N.B: Questo equivale a dimostrare che le componenti lagrangiane devono eguagliarsi, sul quaderno alla lezione 14 del 27/10/2020 abbiamo fatto la dimostrazione simile per N=2).
DIM: La sufficienza è evidente. Infatti, se ogni ÉD risulta essere uguale al rispettivo ´D, evidentemente ogni addendo della somma ∑8DQJ(ÉD− ´D)¡ƒD sarà nullo per ogni scelta degli spostamenti virtuali, e nulla sarà anche la loro somma.
Per dimostrare invece la necessità delle equazioni, dobbiamo utilizzare la libertà che abbiamo di scegliere a piacere gli spostamenti virtuali delle coordinate libere (tale libertà è dovuta al fatto che per definizione le coordinate libere di un sistema sono indipendenti tra loro e quindi possono essere variate a piacere). Scegliamo ad arbitrio una coordinata libera (sia essa, per esempio, la k-esima) e consideriamo il seguente insieme di spostamenti virtuali:
¡ƒDT ≠ 0 ? ¡ƒD ^?4 H•J@ c ≠ c∆
Stiamo quindi spostando solo la c∆ − ?I@êP coordinata libera. La somma ∑8DQJ(ÉD− ´D) ⋅
¡ƒD = 0 deve valere per ogni scelta degli spostamenti virtuali, e quindi anche per quella appena descritta. Essendo nulli tutti i ¡ƒD (meno quello c∆ − ?I@êH), la somma si semplifica e diventa:
ñ(ÉD− ´D)¡ƒD
8
DQJ
= (ÉDT− ´DT)¡ƒDT = 0 GHJ ¡ƒDT ≠ 0
Il che porta a concludere ÉDT = ´DT. L’arbitrarietà della scelta di c∆ implica che in realtà ÉD=
´D per ogni c = 1, … , J.
74) Binomi lagrangiani (riscrittura del $S).
Sia T l’energia cinetica di un sistema olonomo di coordinate libere {ƒJ, … , ƒ8} soggetto a vincoli ideali e bilateri. Allora le componenti lagrangiane dell’opposto delle forze d’inerzia soddisfano la seguente identità:
´D = K KLìÆ¢
ƃ̇Dî − Æ¢
ƃD ∀c = 1, … , J
Le quantità a membro destro di tale identità vengono chiamate binomi lagrangiani.
DIM: Partiamo dalla definizione di componenti lagrangiane dell’opposto delle forze d’inerzia:
Come diretta conseguenza della regola di derivazione del prodotto di due funzioni, vale la seguente identità:
Consideriamo dunque il primo addendo:
ñ ê" K
KLì8⃗"⋅ ÆA"
ƃDî
R
"QJ
In quanto il sistema considerato è olonomo, vale la seguente identità:
ÆA"
ƃD = Æ8⃗"
ƃ̇D
Tale identità segue dalla definizione di velocità effettiva, la quale è esprimibile come:
8⃗" = ñÆA" I “coefficienti” UVU!"
# e U!U)" sono funzioni di (ƒJ, … , ƒ8, L) ma non di (ƒ̇J, … , ƒ̇8) perché il
sistema è olonomo, quindi le 8⃗" sono funzioni lineari di ƒ̇D e posso riscrivere:
8⃗" = PDƒ̇D+ m
Quindi, derivando parzialmente rispetto a ƒD, otteniamo l’identità:
ÆA" Ora consideriamo il secondo addendo del ´D:
ñ ê"8⃗" ⋅ K
Abbiamo che per i sistemi olonomi vale la seguente identità:
K KLìÆA"
ƃDî = Æ ÆƒDìKA"
KLî Ovvero è possibile commutare le derivate. Infatti:
K E da ciò si vede che le due espressioni coincidono. Dunque, sostituendo:
ñ ê"8⃗"⋅ K
75) Componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive per sistemi soggetti a forze conservative.
Sia ö un sistema olonomo soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative che ammettono un potenziale U. Allora le componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive si possono scrivere come:
ÉD = ƨ
ƃD
DIM: Dato che le forze attive sono conservative, esse per definizione ammettono un potenziale U tale che:
ó⃗ = ∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî Sempre per definizione, abbiamo che:
ÉD = ó⃗ ⋅ ÆA
Quindi, sostituendo le espressioni di UF e della derivata parziale di P, otteniamo:
ÉD= ó⃗ ⋅ ÆA 76) Equazioni di Lagrange nel caso conservativo.
Per un sistema olonomo soggetto a vincoli ideali e bilateri e sottoposto all’azione di forze attive conservative, le equazioni di Lagrange si possono riscrivere nella forma:
K KLìÆℒ
ƃ̇Dî − Æℒ ƃD = 0 Dove ℒ = ¢ + ¨ è detta funzione Lagrangiana o Lagrangiana.
DIM: Partendo dalle equazioni di Lagrange, abbiamo che:
K KLìÆ¢
ƃ̇Dî − Æ¢
ƃD = ÉD
Ma il sistema è soggetto a forze conservative che ammettono un potenziale U, quindi:
K
Dato che il potenziale non dipende dalle velocità, le derivate di T+U rispetto alle ƒ̇D coincidono con le rispettive derivate dell’energia cinetica, ovvero possiamo scrivere:
Æ¢
ƃ̇D =Æ(¢ + ¨) ƃ̇D Quindi otteniamo la tesi:
K 77) Equazioni di Lagrange in prima forma.
Consideriamo un sistema ö soggetto a vincoli ideali, olonomi e bilateri con n gradi di libertà. Prendiamo in considerazione r coordinate del sistema DJ, … , D& con 4 > J (ovvero in numero superiore ai gradi di libertà). Tali coordinate saranno legate tra loro da s
relazioni di vincolo:
YX(DJ, … , D&, L) = 0 ℎ = 1, … , I
Con J = 4 − I. Ora, dato che i vincoli sono ideali, olonomi e bilateri, abbiamo:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
R
"QJ
= 0
Nella quale compare lo spostamento virtuale ¡A", che può essere a sua volta riscritto come:
In questo caso però, a differenza delle equazioni della seconda forma, le coordinate non sono indipendenti tra di loro e quindi non è detto che la somma si annulli ponendo ÉD =
´D per ogni k. La somma però risulta nulla se poniamo ÉD− ´D = ñ ªXÆYX
ÆDD
A
Dove ªX ∈ ℝ sono i cosiddetti moltiplicatori di Lagrange. XQJ
Dimostriamo che tale affermazione è vera:
ñ(ÉD− ´D)¡DD
Quindi il termine tra parentesi tonde nella precedente equazione è nullo, ovvero si ha che, ponendo ÉD− ´D = ∑ ªXUYUZ$
#
AXQJ , la somma ∑&DQJ(ÉD− ´D)¡DD si annulla e la dimostrazione è conclusa.
In definitiva otteniamo un sistema I + 4 equazioni in I + 4 incognite dato da r equazioni di Lagrange e s equazioni di vincolo:
K
78) Funzione di Hamilton e Lagrangiana.
Sia ö un sistema olonomo di coordinate libere {ƒJ, … , ƒ8} soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative. Allora la derivata temporale della funzione di Hamilton definita come
ℋ = ñ ^Dƒ̇D
8
DQJ
− ℒ
È legata alla dipendenza esplicita della lagrangiana dal tempo, ovverosia:
Kℋ
KL = −Æℒ ÆL
DIM: Deriviamo totalmente rispetto al tempo la funzione di Hamilton sfruttando la regola di derivazione del prodotto di funzioni:
Kℋ
Ora sviluppiamo la derivata totale della Lagrangiana considerando che è una funzione composta in più variabili, ciascuna dipendente dal tempo:
ℒ(ƒD, ƒ̇D, L) ⟹ Kℒ Ora analizziamo il primo dei tre addendi: dato che il sistema è olonomo e soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative, sappiamo dalle equazioni di Lagrange in II forma che:
E infine, sostituendo nella formula che esprime la derivata dell’Hamiltoniana:
Kℋ
Da quest’ultimo risultato segue inoltre che, se la lagrangiana non dipende esplicitamente ÆL dal tempo ÄUℒU) = 0Å, allora l’hamiltoniana è un integrale primo del moto detto Integrale Generalizzato dell’Energia.
79) Hamiltoniana ed energia meccanica, Teorema di Eulero.
Consideriamo un sistema ö olonomo di n coordinate libere, con vincoli ideali e bilateri e soggetto a forze conservative. Se i vincoli esterni a cui è sottoposto il sistema sono fissi, allora la funzione di Hamilton coincide con l’energia meccanica:
n ≡ Ø = ¢ − ¨
DIM: Per dimostrare questo teorema, è sufficiente dimostrare la veridicità dell’identità:
ñ ^Dƒ̇D
8
= 2¢
Infatti, se vale questa, dalla definizione di Hamiltoniana possiamo dire:
ℋ = ñ ^Dƒ̇D
8
DQJ
− ℒ = 2¢ − (¢ − ¨) = ¢ + ¨ = Ø
Dimostriamo dunque l’identità. In generale, la definizione di energia cinetica è:
¢ = ñ1 2ê"8".
R
"QJ
E abbiamo che per i sistemi olonomi la velocità è esprimibile come:
8⃗" = KA"(ƒJ, … , ƒ8, L)
E, dal momento che i vincoli esterni sono fissi, possiamo immediatamente dire che U!U)" = 0, ovvero:
8⃗" = ñÆA"
ƃDƒ̇D
8
Sostituendo dunque tale espressione della velocità nella formula dell’energia cinetica DQJ
otteniamo:
Possiamo ora risistemare le somme ottenendo:
¢ =1
Dato che le velocità lagrangiane non dipendono dall’indice i ma solo dall’indice k e dall’indice j, possiamo riscrivere il termine ∑ ê"UVU!"
#⋅UVU!"
Ovvero abbiamo sostituito la sommatoria con una generica funzione dipendente dagli indici j,k e dalle coordinate libere. Dunque abbiamo, in forma più compatta:
¢ =1
2ñ ñ PWD(ƒJ, … , ƒ8)ƒ̇Dƒ̇W
8
DQJ 8
Dunque T è una funzione delle sole ƒWQJD e ƒ̇D. Consideriamo ora la definizione di funzione omogenea: una funzione Ö: ℝ? → ℝ si dice omogenea di grado j se:
Ö(ªDJ, ªD., … , ªD8) = ª\Ö(DJ, D., … , D8)
Possiamo quindi notare che T è una funzione omogenea di secondo grado nelle variabili ƒ̇D, infatti si ha:
Dunque ad essa si applica il teorema di Eulero per una funzione omogenea di secondo grado, secondo il quale una per una funzione omogenea di secondo grado e differenziabile (vedi pag. 328) vale l’identità:
ñ ÆÖ
ÆDDDD
8
DQJ
= 2Ö
Prima di procedere, dimostriamo il teorema di Eulero: deriviamo la funzione Ö(ªDJ, ªD., … , ªD8) rispetto alla variabile ª:
Se valutiamo tale derivata per ª = 1, otteniamo: DQJ
KÖ(ªDJ, ªD., … , ªD8) teorema di Eulero per una funzione omogenea di secondo grado:
ñ ÆÖ
ÆDDDD
8
DQJ
= 2Ö(DJ, D., … , D8)
Applicando dunque il risultato appena ottenuto all’energia cinetica T, abbiamo che:
2¢ = ñ Æ¢
Dove nella prima riga possiamo sommare il potenziale U a T in tutta tranquillità poiché esso non dipende dalle velocità delle coordinate libere, ma solo dalle coordinate libere stesse (e quindi la sua derivata rispetto alla velocità è nulla). Quindi abbiamo ottenuto il risultato che ci siamo prefissati di raggiungere all’inizio della dimostrazione e quindi, se i vincoli sono fissi, si ha:
n ≡ Ø = ¢ − ¨ 80) Il moto centrale è un moto piano.
Il moto di un punto P soggetto ad una forza centrale avviene sempre in un piano.
DIM: Consideriamo il seguente prodotto vettoriale, dove (A − C) è il vettore posizione del punto P soggetto alla forza centrale ó⃗ e 8⃗ è la velocità dello stesso:
(A − C) ∧ 8⃗
Si può affermare che tale prodotto è costante nel tempo: infatti se valutiamo la sua derivata otteniamo:
K
KL[(A − C) ∧ 8⃗] = 8⃗ ∧ 8⃗ + (A − C) ∧K8⃗
KL = (A − C) ∧ P⃗ = (A − C) ∧ ó⃗
ê = 0 Dove l’ultimo prodotto vettore è nullo in quanto, per definizione, la forza è centrale e quindi è sempre diretta come la congiungente tra il punto P e il punto fisso O. Se
chiamiamo G⃗ tale vettore, dato che la sua derivata è nulla, possiamo affermare che esso è costante in modulo e direzione e quindi, per le proprietà del prodotto scalare, (A − C) è sempre contenuto nel piano avente G⃗ come vettore direttore. Quindi il moto è piano.
Inoltre, considerando la velocità di P in coordinate polari, si ha che:
G⃗ = (A − C) ∧ 8⃗ = 44̂ ∧ M4̇4̂ + 46̇6>N = 4.6̇c>
G = 4.6̇
81) Velocità areolare di un punto soggetto a forza centrale.
La velocità areolare di un punto soggetto ad una forza centrale ó⃗ è costante ed è uguale a:
— = 1 24.ã6̇ã
DIM: Consideriamo lo spostamento del punto materiale P per un tempo infinitesimo dt, ovvero dalla posizione A = A(L) alla posizione AO = A(L + KL). Tale spostamento sarà dato da 8⃗KL. Calcoliamo inoltre il seguente prodotto vettoriale:
(A − C) ∧ (AO− C) = (A − C) ∧ [(AO− A) + (A − C)] =
= (A − C) ∧ (AO− A) + (A − C) ∧ (A − C) = (A − C) ∧ (AO− A)
= (A − C) ∧ 8⃗KL
Ma, per quanto detto nella dimostrazione (80), si ha che (A − C) ∧ 8⃗ = G⃗. Quindi:
(A − C) ∧ 8⃗KL = G⃗KL = 4.6̇KL
Inoltre, se chiamiamo dA l’area infinitesima triangolare spazzata dal vettore posizione di P nel suo spostamento infinitesimo, abbiamo, per le proprietà del prodotto vettoriale:
|(A − C) ∧ (AO− C)| = 2KU 4.ã6̇ãKL = 2KU
KU KL =1
24.ã6̇ã
Per KL → 0, il rapporto $/$) rappresenta la velocità areolare e quindi infine otteniamo che:
— = 1 24.ã6̇ã
Formula che vale per tutti i moti centrali, tra cui anche le orbite dei pianeti.
82) Problema a due corpi.
Per problema dei due corpi si intende lo studio del moto di due punti materiali AJ, A. di masse êJ, ê. interagenti tra di loro ma altrimenti isolati, analizzato nel sistema di riferimento non inerziale che trasla con origine in uno dei due punti.
Iniziamo scrivendo la legge fondamentale della dinamica per ciascuno dei due punti:
ó⃗ = êJP⃗J ? − ó⃗ = ê.P⃗.
Si noti che, per il principio di azione e reazione, le due forze sono uguali in modulo e direzione e opposte in verso, quindi in riferimento al centro di massa del sistema si ha:
KÉ9⃗
KL = t9⃗(^) = ó⃗ − ó⃗ = 0
P⃗J = ó⃗
êJ ? P⃗. =−ó⃗
ê. Ora, sottraendo le due accelerazioni tra di loro, otteniamo che:
P⃗J− P⃗. = ó⃗ ì 1 êJ + 1
ê.î
Detto 4⃗ il vettore che individua la posizione del punto AJ di massa êJ, si ha che la differenza tra le due accelerazioni corrisponde alla derivata seconda di 4⃗, ovvero:
4⃗̈ = ó⃗ ì 1 êJ+ 1
ê.î Quindi, in definitiva:
ó⃗ = “4⃗̈
Dove “ = Ä?J
&+?J
'Å =??&?'
&_?' è detta massa ridotta del sistema ed è sempre minore di
ciascuna delle due masse, mentre assume valore massimo pari a `a quando êJ = ê., con ï = êJ+ ê..
Quindi lo studio del moto di AJ 4@I^?LLH P A. equivale a studiare il moto centrale di un punto avente la massa ridotta del sistema soggetto ad una forza centrale con centro in A. e modulo pari a quello della forza di interazione tra i due corpi.
83) Potenziale di una forza centrale che dipende solo dalla distanza.
Sia P un punto materiale soggetto ad una forza centrale ó⃗(4) che dipende solo dalla distanza di P dal punto fisso O e non dall’angolo 6. Allora ó⃗(4) è conservativa e il suo potenziale è dato da:
¨(4) = ™ ó(”)K”
&
&(
Definito a meno di una costante additiva.
DIM: Consideriamo il lavoro infinitesimo compiuto da ó⃗(4) = ó(4)4̂ per uno spostamento infinitesimo qualsiasi del punto materiale P:
¡q = ó⃗ ⋅ ¡A = ó(4)4̂ ⋅ ¡A
Lo spostamento infinitesimo di P può essere scritto, in coordinate polari, come:
¡A = ¡44̂ + 4¡66>
Quindi otteniamo:
¡q = ó⃗ ⋅ ¡A = ó(4)4̂ ⋅ M¡44̂ + 4¡66>N 6> ⊥ 4̂
= ó(4)¡4 E, integrando questa relazione infinitesima, troviamo il lavoro finito:
q = ™ ó(”)K”
&
&( = ¨(4)
Poiché tale lavoro dipende unicamente dagli estremi del percorso (raggio iniziale e raggio finale) per qualunque traiettoria e non dal percorso in sé, la forza centrale è conservativa e il lavoro stesso coincide con il potenziale il quale a sua volta è dipendente unicamente dalla distanza dal centro del moto. Inoltre, dato che il potenziale è definito a meno di una
costante, possiamo ignorare la costante di integrazione ¨(46).
Possiamo anche mostrare che il gradiente di tale potenziale coincide con la forza centrale ó(4). Innanzitutto notiamo che il gradiente in coordinate polari piane di una funzione Ö è
∇Ö =ÆÖ Æ44̂ +1
4 ÆÖ Æ66>
Quindi, considerando il potenziale definito come nella tesi:
¨(4) = ™ ó(”)K”&
&(
Otteniamo che:
∇¨ =ƨ
Æ44̂ +1 4
ƨ
Æ66>¨ K@^?JK? IHÜH KP 4
= ó(4)4̂ = ó⃗(4) Come volevasi dimostrare.
NB: le dimostrazioni dalla 84 alla 88 fanno parte della lezione 17 del 24/12/20. Di quella lezione NON sono da sapere la dimostrazione della terza legge di Keplero e come ricavare il valore dell’eccentricità (vedi nota a fine lezione 17 per ulteriori
informazioni).
84) Calcolo di un moto centrale per quadratura.
Il calcolo di un moto centrale si può ridurre ad una semplice quadratura, ovvero alla risoluzione di un integrale invece di un’equazione differenziale. Dato che la forza centrale, se dipende solo dalla distanza, è conservativa, vale il principio di conservazione dell’energia meccanica totale e quindi possiamo scrivere:
Ø = ¢ − ¨ = GHIL.
Considerando che la velocità in coordinate polari di un punto soggetto a un moto centrale è data da:
8⃗ = 4̇4̂ + 46̇6>
Otteniamo che:
Otteniamo che: