Consideriamo un sistema ö olonomo di n coordinate libere, con vincoli ideali e bilateri e soggetto a forze conservative. Se i vincoli esterni a cui è sottoposto il sistema sono fissi, allora la funzione di Hamilton coincide con l’energia meccanica:
n ≡ Ø = ¢ − ¨
DIM: Per dimostrare questo teorema, è sufficiente dimostrare la veridicità dell’identità:
ñ ^Dƒ̇D
8
= 2¢
Infatti, se vale questa, dalla definizione di Hamiltoniana possiamo dire:
ℋ = ñ ^Dƒ̇D
8
DQJ
− ℒ = 2¢ − (¢ − ¨) = ¢ + ¨ = Ø
Dimostriamo dunque l’identità. In generale, la definizione di energia cinetica è:
¢ = ñ1 2ê"8".
R
"QJ
E abbiamo che per i sistemi olonomi la velocità è esprimibile come:
8⃗" = KA"(ƒJ, … , ƒ8, L)
E, dal momento che i vincoli esterni sono fissi, possiamo immediatamente dire che U!U)" = 0, ovvero:
8⃗" = ñÆA"
ƃDƒ̇D
8
Sostituendo dunque tale espressione della velocità nella formula dell’energia cinetica DQJ
otteniamo:
Possiamo ora risistemare le somme ottenendo:
¢ =1
Dato che le velocità lagrangiane non dipendono dall’indice i ma solo dall’indice k e dall’indice j, possiamo riscrivere il termine ∑ ê"UVU!"
#⋅UVU!"
Ovvero abbiamo sostituito la sommatoria con una generica funzione dipendente dagli indici j,k e dalle coordinate libere. Dunque abbiamo, in forma più compatta:
¢ =1
2ñ ñ PWD(ƒJ, … , ƒ8)ƒ̇Dƒ̇W
8
DQJ 8
Dunque T è una funzione delle sole ƒWQJD e ƒ̇D. Consideriamo ora la definizione di funzione omogenea: una funzione Ö: ℝ? → ℝ si dice omogenea di grado j se:
Ö(ªDJ, ªD., … , ªD8) = ª\Ö(DJ, D., … , D8)
Possiamo quindi notare che T è una funzione omogenea di secondo grado nelle variabili ƒ̇D, infatti si ha:
Dunque ad essa si applica il teorema di Eulero per una funzione omogenea di secondo grado, secondo il quale una per una funzione omogenea di secondo grado e differenziabile (vedi pag. 328) vale l’identità:
ñ ÆÖ
ÆDDDD
8
DQJ
= 2Ö
Prima di procedere, dimostriamo il teorema di Eulero: deriviamo la funzione Ö(ªDJ, ªD., … , ªD8) rispetto alla variabile ª:
Se valutiamo tale derivata per ª = 1, otteniamo: DQJ
KÖ(ªDJ, ªD., … , ªD8) teorema di Eulero per una funzione omogenea di secondo grado:
ñ ÆÖ
ÆDDDD
8
DQJ
= 2Ö(DJ, D., … , D8)
Applicando dunque il risultato appena ottenuto all’energia cinetica T, abbiamo che:
2¢ = ñ Æ¢
Dove nella prima riga possiamo sommare il potenziale U a T in tutta tranquillità poiché esso non dipende dalle velocità delle coordinate libere, ma solo dalle coordinate libere stesse (e quindi la sua derivata rispetto alla velocità è nulla). Quindi abbiamo ottenuto il risultato che ci siamo prefissati di raggiungere all’inizio della dimostrazione e quindi, se i vincoli sono fissi, si ha:
n ≡ Ø = ¢ − ¨ 80) Il moto centrale è un moto piano.
Il moto di un punto P soggetto ad una forza centrale avviene sempre in un piano.
DIM: Consideriamo il seguente prodotto vettoriale, dove (A − C) è il vettore posizione del punto P soggetto alla forza centrale ó⃗ e 8⃗ è la velocità dello stesso:
(A − C) ∧ 8⃗
Si può affermare che tale prodotto è costante nel tempo: infatti se valutiamo la sua derivata otteniamo:
K
KL[(A − C) ∧ 8⃗] = 8⃗ ∧ 8⃗ + (A − C) ∧K8⃗
KL = (A − C) ∧ P⃗ = (A − C) ∧ ó⃗
ê = 0 Dove l’ultimo prodotto vettore è nullo in quanto, per definizione, la forza è centrale e quindi è sempre diretta come la congiungente tra il punto P e il punto fisso O. Se
chiamiamo G⃗ tale vettore, dato che la sua derivata è nulla, possiamo affermare che esso è costante in modulo e direzione e quindi, per le proprietà del prodotto scalare, (A − C) è sempre contenuto nel piano avente G⃗ come vettore direttore. Quindi il moto è piano.
Inoltre, considerando la velocità di P in coordinate polari, si ha che:
G⃗ = (A − C) ∧ 8⃗ = 44̂ ∧ M4̇4̂ + 46̇6>N = 4.6̇c>
G = 4.6̇
81) Velocità areolare di un punto soggetto a forza centrale.
La velocità areolare di un punto soggetto ad una forza centrale ó⃗ è costante ed è uguale a:
— = 1 24.ã6̇ã
DIM: Consideriamo lo spostamento del punto materiale P per un tempo infinitesimo dt, ovvero dalla posizione A = A(L) alla posizione AO = A(L + KL). Tale spostamento sarà dato da 8⃗KL. Calcoliamo inoltre il seguente prodotto vettoriale:
(A − C) ∧ (AO− C) = (A − C) ∧ [(AO− A) + (A − C)] =
= (A − C) ∧ (AO− A) + (A − C) ∧ (A − C) = (A − C) ∧ (AO− A)
= (A − C) ∧ 8⃗KL
Ma, per quanto detto nella dimostrazione (80), si ha che (A − C) ∧ 8⃗ = G⃗. Quindi:
(A − C) ∧ 8⃗KL = G⃗KL = 4.6̇KL
Inoltre, se chiamiamo dA l’area infinitesima triangolare spazzata dal vettore posizione di P nel suo spostamento infinitesimo, abbiamo, per le proprietà del prodotto vettoriale:
|(A − C) ∧ (AO− C)| = 2KU 4.ã6̇ãKL = 2KU
KU KL =1
24.ã6̇ã
Per KL → 0, il rapporto $/$) rappresenta la velocità areolare e quindi infine otteniamo che:
— = 1 24.ã6̇ã
Formula che vale per tutti i moti centrali, tra cui anche le orbite dei pianeti.
82) Problema a due corpi.
Per problema dei due corpi si intende lo studio del moto di due punti materiali AJ, A. di masse êJ, ê. interagenti tra di loro ma altrimenti isolati, analizzato nel sistema di riferimento non inerziale che trasla con origine in uno dei due punti.
Iniziamo scrivendo la legge fondamentale della dinamica per ciascuno dei due punti:
ó⃗ = êJP⃗J ? − ó⃗ = ê.P⃗.
Si noti che, per il principio di azione e reazione, le due forze sono uguali in modulo e direzione e opposte in verso, quindi in riferimento al centro di massa del sistema si ha:
KÉ9⃗
KL = t9⃗(^) = ó⃗ − ó⃗ = 0
P⃗J = ó⃗
êJ ? P⃗. =−ó⃗
ê. Ora, sottraendo le due accelerazioni tra di loro, otteniamo che:
P⃗J− P⃗. = ó⃗ ì 1 êJ + 1
ê.î
Detto 4⃗ il vettore che individua la posizione del punto AJ di massa êJ, si ha che la differenza tra le due accelerazioni corrisponde alla derivata seconda di 4⃗, ovvero:
4⃗̈ = ó⃗ ì 1 êJ+ 1
ê.î Quindi, in definitiva:
ó⃗ = “4⃗̈
Dove “ = Ä?J
&+?J
'Å =??&?'
&_?' è detta massa ridotta del sistema ed è sempre minore di
ciascuna delle due masse, mentre assume valore massimo pari a `a quando êJ = ê., con ï = êJ+ ê..
Quindi lo studio del moto di AJ 4@I^?LLH P A. equivale a studiare il moto centrale di un punto avente la massa ridotta del sistema soggetto ad una forza centrale con centro in A. e modulo pari a quello della forza di interazione tra i due corpi.
83) Potenziale di una forza centrale che dipende solo dalla distanza.
Sia P un punto materiale soggetto ad una forza centrale ó⃗(4) che dipende solo dalla distanza di P dal punto fisso O e non dall’angolo 6. Allora ó⃗(4) è conservativa e il suo potenziale è dato da:
¨(4) = ™ ó(”)K”
&
&(
Definito a meno di una costante additiva.
DIM: Consideriamo il lavoro infinitesimo compiuto da ó⃗(4) = ó(4)4̂ per uno spostamento infinitesimo qualsiasi del punto materiale P:
¡q = ó⃗ ⋅ ¡A = ó(4)4̂ ⋅ ¡A
Lo spostamento infinitesimo di P può essere scritto, in coordinate polari, come:
¡A = ¡44̂ + 4¡66>
Quindi otteniamo:
¡q = ó⃗ ⋅ ¡A = ó(4)4̂ ⋅ M¡44̂ + 4¡66>N 6> ⊥ 4̂
= ó(4)¡4 E, integrando questa relazione infinitesima, troviamo il lavoro finito:
q = ™ ó(”)K”
&
&( = ¨(4)
Poiché tale lavoro dipende unicamente dagli estremi del percorso (raggio iniziale e raggio finale) per qualunque traiettoria e non dal percorso in sé, la forza centrale è conservativa e il lavoro stesso coincide con il potenziale il quale a sua volta è dipendente unicamente dalla distanza dal centro del moto. Inoltre, dato che il potenziale è definito a meno di una
costante, possiamo ignorare la costante di integrazione ¨(46).
Possiamo anche mostrare che il gradiente di tale potenziale coincide con la forza centrale ó(4). Innanzitutto notiamo che il gradiente in coordinate polari piane di una funzione Ö è
∇Ö =ÆÖ Æ44̂ +1
4 ÆÖ Æ66>
Quindi, considerando il potenziale definito come nella tesi:
¨(4) = ™ ó(”)K”&
&(
Otteniamo che:
∇¨ =ƨ
Æ44̂ +1 4
ƨ
Æ66>¨ K@^?JK? IHÜH KP 4
= ó(4)4̂ = ó⃗(4) Come volevasi dimostrare.
NB: le dimostrazioni dalla 84 alla 88 fanno parte della lezione 17 del 24/12/20. Di quella lezione NON sono da sapere la dimostrazione della terza legge di Keplero e come ricavare il valore dell’eccentricità (vedi nota a fine lezione 17 per ulteriori
informazioni).
84) Calcolo di un moto centrale per quadratura.
Il calcolo di un moto centrale si può ridurre ad una semplice quadratura, ovvero alla risoluzione di un integrale invece di un’equazione differenziale. Dato che la forza centrale, se dipende solo dalla distanza, è conservativa, vale il principio di conservazione dell’energia meccanica totale e quindi possiamo scrivere:
Ø = ¢ − ¨ = GHIL.
Considerando che la velocità in coordinate polari di un punto soggetto a un moto centrale è data da:
8⃗ = 4̇4̂ + 46̇6>
Otteniamo che:
Ø =1
2êM4̇.+ 4.6̇.N − ¨(4) =1
2ê4̇.+1
2ê4.G.
4a− ¨(4) =
=1
2ê4̇.+1 2êG.
4.− ¨(4)
Introduciamo ora la definizione di potenziale efficace:
¨‘(4) = ¨(4) −êG. 24. Da cui ricaviamo infine:
Ø =1
2ê4̇.− ¨‘(4) E quindi, esplicitando rispetto a 4̇:
4̇ = K4
KL = ±’2[Ø − ¨‘(4)]
ê
⟹ K4
÷2[Ø − ¨‘(4)]
ê
= ±KL Da cui infine otteniamo la cosiddetta quadratura:
™ KI
÷2[Ø − ¨‘(I)]
&
&(
= ±(L − L6)
85) Formula di Binet.
L’accelerazione radiale di un punto P soggetto ad un moto centrale è data da:
P& = −G.
4.◊K.Ä1 K64Å. +1
4ÿ
DIM: Consideriamo l’accelerazione radiale di un punto in coordinate polari. Essa è definita come:
P& = 4̈ − 46̇.
Se consideriamo il seguente prodotto, otteniamo immediatamente il secondo addendo:
−G. 4.
1
4= −4a6̇.
4b = −46̇.
Ora consideriamo la derivata di r, che può essere vista come una funzione composta 4M6(L)N: Ora, derivando una seconda volta r, otteniamo che:
4̈ =K4̇
Quindi, sostituendo nella definizione di accelerazione radiale, otteniamo la tesi:
P& = −G.
4.◊K.Ä1 K64Å. +1
4ÿ
86) Calcolo della traiettoria per un corpo soggetto alla forza gravitazionale.
Consideriamo due punti materiali di massa êJ, ê. che interagiscono tra di loro mediante la forza gravitazionale:
ó⃗ = −òêJê. 4. 4̂
Per determinare la traiettoria, consideriamo il problema dei due corpi associato:
ó⃗ = êP⃗& GHJ ê = êJê. êJ + ê.
Dove l’accelerazione è puramente radiale in quanto il moto è centrale. Quindi, considerando l’accelerazione in coordinate polari abbiamo che:
−òêJê.
4. = êM4̈ − 46̇.N = ê ∑4̈ −4G. 4a∏ Ora, utilizzando la formula di Binet, abbiamo che:
−òêJê.
4. = −êG.
4.◊K.Ä1 K64Å. +1
4ÿ
Effettuiamo dunque un cambio di variabili ponendo ë = J& ottenendo:
òêJê. = êG.ŸK.(ë) K6. + ë⁄
ëOO+ ë =òêJê. êG.
Ora definiamo il parametro ^ = Ä=??L&?''Å2J. L’equazione differenziale diventa quindi:
ëOO+ ë =1
^ Essa è un’equazione differenziale del tipo
ëOO+ b.ë = P La cui soluzione può essere scritta in due modi:
ë = U cos(b6) + S sin(b6) + P b. H^^ë4?
ë = UOcos(6 − 66) + P b. Quindi, ponendo b. = 1 ? P =J,, otteniamo:
ë = UOcos(6) +1
^
Dove abbiamo posto 66 nullo in quanto esso indica l’angolo iniziale rispetto ad un asse di riferimento arbitrario che noi possiamo opportunamente scegliere in modo tale che 66 = 0. Ora definiamo l’eccentricità e come ? = UO^. Sostituendo dunque si ha:
ë =?
^cos(6) +1
^ 1
4 =1
^(? cos(6) + 1)
4 = ^
1 + ? cos(6)
Questa è l’equazione parametrica di una conica (circonferenza, ellisse, parabole o
iperbole), quindi la traiettoria di un corpo soggetto alla forza gravitazionale è sempre una conica. Inoltre possiamo dire che ? ≥ 0, perché, anche se trovassimo un valore di e negativo, potremmo considerare l’angolo Y = 6 + k ottenendo:
^
1 − ? cos(Y) = ^
1 + ?′ cos(6) GHJ ?O ≥ 0 In particolare abbiamo i seguenti casi:
x
? = 0 G@4GHJÖ?4?JõP 0 < ? < 1 ?ÜÜ@II?
? = 1 ^P4PmHÜP
? > 1 @^?4mHÜ?
Si consideri infine che e dipende dalle condizioni iniziali mediante c, in quanto G. = 4"8a6̇"8. . 87) Determinazione dell’eccentricità.
Consideriamo un corpo che interagisce con un altro corpo mediante la forza di attrazione gravitazionale e che si muove secondo una delle orbite determinate nel punto (85).
Vogliamo trovare il valore di e. Consideriamo quindi la configurazione del corpo al perielio:
esso è il punto più vicino al centro del moto, quindi avremo che:
4̇ = K4 K6
K6 KL = 0
In quanto tale punto, avendo raggio minimo, è un punto di minimo per la funzione 4(6) e quindi è un punto stazionario (ha derivata nulla). Quindi, per ottenere il raggio minimo, consideriamo il valore massimo del coseno (1):
Ø = −¨‘(4cde ) = − ∑òêJê.
4?"8 − êG.
24?"8 . ∏ Risolviamo dunque tale equazione per ë?"8= &J
)"* :
êG.ë?"8. − òêJê.ë?"8− Ø = 0
ë?"8. −2òêJê.
êG. ë?"8− 2Ø
êG. = 0 ë?"8. −2
^ë?"8− 2Ø
êG. = 0
⟹ ë?"8 = 1
^± ’1
^. + 2Ø êG. Ma sappiamo che &J
)"* = J_%
, , quindi:
1 + ?
^ = 1
^± ’1
^.+ 2Ø êG.
?
^ = ±’1
^.+ 2Ø
êG. êP ? ≥ 0
⟹ ? = ’1 +2Ø^.
êG. = ’1 + 2ØêG. ò.êJ.ê.. Ora, in generale per ogni r, abbiamo che:
Ø = 1
2ê4̇. −òêJê.
4 +êG. 24. Quindi, sostituendo, otteniamo che:
? = ‹1 +Äê4̇.−2òêJê.
4 + ê4.6̇.Å 4a6̇.ê ò.êJ.ê..
Dove ê =??&?'
&_?' rappresenta la massa ridotta del sistema.
88) Leggi di Keplero.
In riferimento al sistema solare, valgono le tre seguenti leggi di Keplero:
1) Le orbite dei pianeti sono delle ellissi in cui il sole è uno dei due fuochi.
2) Il vettore posizione del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, ovvero la velocità areolare è costante.
3) Il rapporto f(',, dove ¢ è il periodo di rivoluzione del pianeta e P il semiasse maggiore, è costante ed è lo stesso per tutti i pianeti.
DIM: I punti (1) e (2) sono già stati dimostrati in precedenza, quindi ci occuperemo di dimostrare unicamente il punto (3). Se consideriamo l’area dell’intera ellisse orbitale, la quale viene compiuta in un tempo pari a T, otteniamo che:
— =kPm Ma noi sappiamo anche che — = 2G, quindi: ¢
2G =kPm
⟹ G =2kPm
⟹ ¢ =2kPm
Quindi, considerando il rapporto f(',, otteniamo:
¢.
Pb = Ä2kPm G Å
.
Pb = 4k.m. G.P Per le ellissi vale ^ =g(', quindi otteniamo:
¢.
Pb = 4k.m.
G.P =4k.^
G. = 4k.êG.
G.òêJê. = 4k.ê òêJê. Ora, considerando che ê =??&?'
&_?' è la massa ridotta, otteniamo:
¢.
Pb = 4k. ò(êJ+ ê.)
Si noti che tale rapporto dunque non dipende dalle condizioni iniziali, ma dipende
debolmente dalla massa del pianeta che orbita attorno al Sole. Supponendo che êJ sia la massa del sole, si ha che êJ ≫ ê. per ogni pianeta, quindi in prima approssimazione possiamo scrivere che:
¢.
Pb = 4k.
òêJ = GHILPJL?
E quindi tale rapporto è costante e approssimativamente uguale per tutti i pianeti del sistema solare, ovvero non dipende dal pianeta.
89) Rimbalzo elastico.
Consideriamo due punti materiali rispettivamente di massa ê ? ï che si muovono orizzontalmente l’uno contro l’altro con velocità ëJ ? 8J. Supponiamo che essi si urtino in modo elastico ad un determinato istante: allora essi procederanno in senso opposto rispetto a quello precedente con velocità rispettivamente ë. ? 8.. Dato che l’urto è elastico, non vi sono perdite di energia meccanica (si conserva l’energia cinetica) e si conserva anche la quantità di moto, ovvero possiamo scrivere:
1
2êëJ.+1
2ï8J. =1
2êë..+1 2ï8.. êëJ+ ï8J = êë.+ ï8.
Tale sistema di equazioni può essere risolto in modo più rapido se ci poniamo in un sistema di riferimento solidale al corpo di massa M (ovvero il punto M è la sua origine) e che si muove con velocità 8J. In tal caso le velocità dei corpi diventano:
ëJO = ëJ− 8J 8JO = 8J− 8J = 0 ë.O = ë.− 8J 8.O = 8.− 8J Quindi il sistema di equazioni diventa:
1
2êëJO.= 1
2êë.O.+1 2ï8.O.
êëJO = êë.O + ï8.O Se poniamo “ = ?`, dalla seconda equazione ricaviamo che:
8.O = “(ëJO − ë.O)
Mentre dalla prima, dividendo ambo i membri per J.ï, otteniamo:
“(ëJO.− ë.O.) = 8.O. ⟹ “(ëJO.− ë.O.) = “.(ëJO − ë.O). (ëJO − ë.O)(ëJO + ë.O) = “(ëJO − ë.O).
(ëJO + ë.O) = “(ëJO + ë.O)
E ora possiamo riportarci al sistema di riferimento assoluto con le relazioni esplicitate all’inizio:
ë.− 8J = “ − 1
“ − 2(ëJ− 8J) ⟹ ë. =“ − 1
“ + 1ëJ+ ì1 −“ − 1
“ + 1î 8J =“ − 1
“ + 1ëJ+ 2
“ + 18J ë. = “ − 1
“ + 1ëJ+ 2
“ + 18J
Per trovare 8., basta sostituire tutte le grandezze: ovvero dove c’è M metto m, dove c’è m metto M, dove c’è ëJ ê?LLH 8J ? KH8? GOè 8J ê?LLH ëJ e così via. Ottengo dunque:
8. = 1“ − 1 1“ + 1
8J+ 2 1“ + 1
ëJ
8. =1 − “
1 + “8J+ 2“
1 + “ëJ
E queste relazioni appena trovate valgono in generale per ogni rimbalzo elastico con corpi di massa qualsiasi. Ora consideriamo il caso particolare in cui ê ≪ ï (e quindi “ → 0); in tal caso le formule trovare si semplificano parecchio diventando:
ë. = −ëJ+ 28J 8. = 8J
Formule che poi riutilizzeremo nel problema della “fionda gravitazionale”.
90) Fionda gravitazionale.
Consideriamo un satellite di massa ê che viaggia con velocità 8⃗∗J e un pianeta di massa ï ≫ ê che viaggia con velocità ∞J (non necessariamente parallela a quella del satellite).
Supponiamo che i due corpi si muovano l’uno verso l’altro e che possano interagire con la forza gravitazionale. Se le due velocità sono sufficientemente elevate e differenti, si avrà quasi sicuramente un’orbita aperta dell’oggetto di massa minore intorno a quello di massa maggiore, dunque in prima approssimazione possiamo approssimare l’effetto fionda gravitazionale con un urto elastico tale che “ → 0: tale effetto consiste nell’accelerazione di un satellite sfruttando il moto di un pianeta che avanza con velocità molto superiore, in modo da non dover consumare carburante. Dato che la velocità del satellite è tangente all’orbita, possiamo scriverla come somma di due contributi, uno parallelo alla velocità del corpo celeste e uno perpendicolare a questa direzione, ossia:
8⃗J∗ = ë9⃗J+ ‡99⃗
Dove ëJ rappresenta la componente parallela. Parimenti la velocità finale del corpo, dopo essere stato accelerato, sarà la somma di due contributi:
8⃗.∗ = ë9⃗.+ ‡99⃗
Quindi, avremo che la velocità finale del satellite sarà:
ë. = −ëJ+ 28J
Mentre quella del pianeta rimarrà pressoché invariata. Il pianeta durante questo “urto elastico” cede una quantità di energia (per esso irrilevante) al corpo di massa minore accelerandolo notevolmente senza variare la propria velocità. Ad esempio le sonde Voyager 1 e Voyager 2 sono state accelerate da Giove da 16 km/s a 26 km/s mentre il pianeta è stato rallentata di 102.Jm/s, velocità praticamente nulla dato l’ordine di grandezza.
L’angolo di incidenza del corpo rispetto al pianeta è individuabile mediante la formula della
conica per moto centrale sotto forza gravitazionale, considerando che il raggio, essendo l’orbita aperta, tende ad infinito:
4 = ^
1 + ? cos 6 ⟹ 1 + ? cos 6 =^
4 ≈ 0 ⟹ cos 6 = −1
? 91) La matrice di rotazione R è una matrice ortogonale.
Siano i,j,k i vettori di una terna fissa con origine in O, siano I,J,K i versori di una terna mobile con origine in un punto O’ appartenente ad un corpo rigido tridimensionale. Sia P un punto qualunque del corpo rigido e sia R la matrice di rotazione
t = …
ùZ ‚Z vZ ùi ‚i vi ù9 ‚9 v9
Dove i coefficienti sono le componenti dei versori della terna mobile lungo i versori della terna fissa, tale che:
§
Dove il primo vettore colonna rappresenta le coordinate di (A − CO) rispetto alla terna fissa, mentre il secondo vettore colonna rappresenta le coordinate del medesimo vettore rispetto alla terna mobile.
La matrice di rotazione R è una matrice ortogonale.
DIM: Calcoliamo la distanza di P dal punto O’, origine della terna mobile, sfruttando le coordinate del vettore nella terna mobile:
ACO
∫∫∫∫∫. = (A − CO) ⋅ (A − CO) = („ ‰ Â) §„
‰ •
Ora calcoliamo nuovamente tale distanza al quadrato ma sfruttando le coordinate rispetto alla terna fissa:
Ovviamente tali distanze devono coincidere, in quanto il risultato deve essere
indipendente dalle coordinate scelte e dal punto P stesso purché sia il medesimo per entrambi i calcoli, quindi:
(D − D5! E − E5! õ − õ5!) § Sfruttando la matrice di rotazione, otteniamo che:
(D − D5! E − E5! õ − õ5!) § Quindi in definitiva deve valere:
„ „
tft = Ê
Il che implica che tf = t2J, quindi R è una matrice ortogonale.
92) Unicità della matrice % e formula dell’atto di moto rigido .
Esiste un’unica matrice Ω =$F$)tf, indipendente dai punti P e O’, tale che:
8⃗!− 8⃗5! = Ω(A − CO) Dove P è un punto qualsiasi del corpo rigido.
DIM: Consideriamo innanzitutto la formula la relazione che lega le coordinate del vettore (A − CO) rispetto alla terna fissa alle coordinate rispetto alla terna mobile solidale al corpo rigido e deriviamola:
• è nulla poiché nella terna mobile solidale al corpo rigido il punto P ha coordinate costanti. Inoltre, dato che la matrice R è ortogonale, essa è invertibile quindi possiamo scrivere: Quindi, sostituendo, otteniamo che:
8⃗!− 8⃗5! = Kt
Che costituisce la formula di atto di moto rigido per il corpo rigido tridimensionale.
Ora consideriamo un secondo punto O’’ del corpo rigido, anch’esso origine di una terna solidale di versori I’, J’, K’, tale che:
8⃗! − 8⃗5!! = ΩO(A − COO) (Δ)
Dato che COO è anch’esso un punto del corpo rigido, si deve avere che:
8⃗5!!− 8⃗5! = Ω(COO− CO) Ora sottraiamo la relazione (∗) con quella appena scritta:
8⃗! − 8⃗5! − 8⃗5!!+ 8⃗5! = Ω(A − CO − COO+ CO) 8⃗!− 8⃗5!! = Ω(A − COO) (Γ)
Ora eseguiamo la sottrazione (Δ) − (Γ), ottenendo:
(ΩO− Ω)(A − COO) = 0 Ma per l’arbitrarietà di P, si deve necessariamente avere:
ΩO− Ω = 0 ⟹ ΩO = Ω
Quindi la matrice Ω è unica e non dipende né dal punto P scelto né dall’origine del sistema di riferimento solidale al corpo rigido.
93) La matrice % è antisimmetrica.
La matrice Ω =$Ftf è antisimmetrica, ovvero Ω = −Ωf.
DIM: La matrice R di rotazione è ortogonale, quindi ttf = Ê. Derivando questa espressione:
K
KL(ttf) = 0 Kt
KLtf+ tKtf KL = 0 Ora trasponiamo il secondo addendo:
∑tKtf KL ∏
f
=Kt
KLtf = Ω ⟹ tKtf KL = Ωf Dunque, sostituendo, otteniamo la definizione di matrice antisimmetrica:
Ω + Ωf = 0 ⟹ Ω = −Ωf 94) Equivalenza tra % ' ( .
Data la matrice Ω antisimmetrica nella sua forma più generale:
Ω = §
0 ΩJ. ΩJb
−ΩJ. 0 Ω.b
−ΩJb −Ω.b 0 • E il vettore b definito come:
b99⃗ = (−Ω.b ΩJb −ΩJ.) Dato un vettore P⃗ qualunque, è verificata la seguente identità:
ΩP⃗ = b99⃗ ∧ P⃗
DIM: Per dimostrare l’identità svolgiamo separatamente i due prodotti:
ΩP⃗ = §
0 ΩJ. ΩJb
−ΩJ. 0 Ω.b
−ΩJb −Ω.b 0 • § PZ Pi P9• = …
ΩJ.Pi+ ΩJbP9
−ΩJ.PZ + Ω.bP9
−ΩJbPZ − Ω.bPi b99⃗ ∧ P⃗ = È ç̂ é̂ c>
−Ω.b ΩJb −ΩJ.
PZ Pi P9
È = …
ΩJ.Pi+ ΩJbP9
−ΩJ.PZ+ Ω.bP9
−ΩJbPZ − Ω.bPi
Le due espressioni coincidono, quindi l’identità è verificata. Notiamo che di conseguenza, la formula per l’atto di moto rigido
8⃗!− 8⃗5! = Ω(A − CO)
Si può riscrivere, come già abbiamo visto per il corpo rigido bidimensionale, nella forma:
8⃗!− 8⃗5! = ω99⃗ ∧ (A − CO)
Dove si noti che, dal momento che b99⃗ discende direttamente dalla matrice Ω, esso è unico e indipendente dalla coppia di punti scelti del corpo rigido, proprio come abbiamo già
dimostrato in precedenza per il corpo rigido piano.
95) Atto di moto rigido di un corpo rigido tridimensionale.
Dati due punti qualsiasi A e B di un corpo rigido tridimensionale vale la formula:
8⃗0− 8⃗/ = b99⃗ ∧ (S − U) E il corpo rigido può espletare solo tre tipi di moto:
1) Moto traslatorio se b99⃗ = 0;
2) Moto rotatorio se b99⃗ ≠ 0 ? ∃T: 8⃗4 = 0;
3) Moto elicoidale b99⃗ ≠ 0 ? ∃T: 8⃗ ∥ b99⃗.
DIM: La validità della formula è già stata dimostrata nel punto (94) e nei precedenti con le varie trattazioni sulla matrice b99⃗.
Il punto (1) è banale: infatti se si pone b99⃗ = 0, risulta 8⃗0 = 8⃗/ ∀U, S e quindi il corpo, da definizione, è in moto traslatorio.
Per (2) e (3) supponiamo b99⃗ ≠ 0. Dobbiamo dimostrare che esiste un punto C tale che 8⃗4 ∥ b99⃗ H 8⃗4 = 0: nel primo caso il moto è elicoidale, mentre nel secondo è rotatorio. Quindi, supponendo di conoscere la velocità del punto A e la velocità angolare, cerchiamo un punto C solidale al corpo rigido tale che il vettore (T − U) sia perpendicolare a b99⃗ e tale che 8⃗4 ∥ b99⃗. Per il punto C vale la formula di atto di moto rigido, quindi:
8⃗4 = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (T − U)
E moltiplichiamo vettorialmente entrambi i membri per la velocità angolare:
8⃗4∧ b99⃗ = b99⃗ ∧ 8⃗/+ b99⃗ ∧ [b99⃗ ∧ (T − U)]
Dato che per ipotesi abbiamo richiesto 8⃗4 ∥ b99⃗, allora 8⃗4∧ b99⃗ = 0. Ora, sviluppando il doppio prodotto vettore otteniamo:
b99⃗ ∧ 8⃗/+ Mb99⃗ ⋅ (T − U)Nb99⃗ − b.(T − U) = 0
Ma dato che per ipotesi abbiamo richiesto che il vettore (T − U) sia perpendicolare a b99⃗, quindi il prodotto scalare del secondo addendo si annulla. Quindi otteniamo:
(T − U) =b99⃗ ∧ 8⃗/ b.
E abbiamo quindi trovato le coordinate del punto C rispetto a A tale che abbia velocità parallela a quella angolare. Ovviamente se la sua velocità è nulla, esso costituirà il centro d’istantanea rotazione e quindi, quando la velocità angolare è non nulla, il moto può essere solo o traslatorio o rotatorio.
96) Invarianza dell’invariante scalare cinematico.
La quantità ù = 8⃗!⋅ b99⃗ è indipendente dal punto P usato per calcolarla e viene detta invariante scalare cinematico.
DIM: Consideriamo la formula dell’atto di moto rigido per due punti qualsiasi P e A appartenenti al corpo rigido:
8⃗! = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (A − U)
Moltiplicando scalarmente per la velocità angolare ambo i membri, otteniamo:
8⃗!⋅ b99⃗ = 8⃗/⋅ b99⃗ + [bÏÌÌÌÌÓÌÌÌÌÔ99⃗ ∧ (A − U)] ⋅ b99⃗
⟹ 8⃗!⋅ b99⃗ = 8⃗/ ⋅ b99⃗ ∀U, A Q6
97) Invariante scalare cinematico e tipo di moto.
Supponiamo che un corpo rigido abbia velocità angolare b99⃗ ≠ 0. Allora:
a) Se ù = 8⃗/ ⋅ b99⃗ = 0, il corpo si muove di moto rotatorio;
b) Se ù = 8⃗/ ⋅ b99⃗ ≠ 0, il corpo si muove di moto elicoidale.
DIM: Consideriamo la formula di atto di moto rigido per i punti C e A:
8⃗4 = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (T − U)
Ora inseriamo la definizione di (T − U) =jkkk⃗∧'k⃗j'- data al punto (95):
8⃗4 = 8⃗/ +b99⃗ ∧ [b99⃗ ∧ 8⃗/] b. 8⃗4 = 8⃗/+(8⃗/⋅ b99⃗)b99⃗
b. −b.
b.8⃗/ =(8⃗/⋅ b99⃗)b99⃗
b. = ù
b.b99⃗
Da tale risultato notiamo che se ù = 8⃗/⋅ b99⃗ = 0, la velocità del punto C è nulla e quindi per definizione il moto è rotatorio attorno al punto C, mentre se ù = 8⃗/⋅ b99⃗ ≠ 0, allora la velocità del punto C è parallela alla velocità angolare e quindi il corpo si muove di moto elicoidale.
98) Asse di Mozzi.
Supponiamo che un corpo rigido tridimensionale possieda velocità angolare non nulla.
Supponiamo che un corpo rigido tridimensionale possieda velocità angolare non nulla.