Consideriamo un satellite di massa ê che viaggia con velocità 8⃗∗J e un pianeta di massa ï ≫ ê che viaggia con velocità ∞J (non necessariamente parallela a quella del satellite).
Supponiamo che i due corpi si muovano l’uno verso l’altro e che possano interagire con la forza gravitazionale. Se le due velocità sono sufficientemente elevate e differenti, si avrà quasi sicuramente un’orbita aperta dell’oggetto di massa minore intorno a quello di massa maggiore, dunque in prima approssimazione possiamo approssimare l’effetto fionda gravitazionale con un urto elastico tale che “ → 0: tale effetto consiste nell’accelerazione di un satellite sfruttando il moto di un pianeta che avanza con velocità molto superiore, in modo da non dover consumare carburante. Dato che la velocità del satellite è tangente all’orbita, possiamo scriverla come somma di due contributi, uno parallelo alla velocità del corpo celeste e uno perpendicolare a questa direzione, ossia:
8⃗J∗ = ë9⃗J+ ‡99⃗
Dove ëJ rappresenta la componente parallela. Parimenti la velocità finale del corpo, dopo essere stato accelerato, sarà la somma di due contributi:
8⃗.∗ = ë9⃗.+ ‡99⃗
Quindi, avremo che la velocità finale del satellite sarà:
ë. = −ëJ+ 28J
Mentre quella del pianeta rimarrà pressoché invariata. Il pianeta durante questo “urto elastico” cede una quantità di energia (per esso irrilevante) al corpo di massa minore accelerandolo notevolmente senza variare la propria velocità. Ad esempio le sonde Voyager 1 e Voyager 2 sono state accelerate da Giove da 16 km/s a 26 km/s mentre il pianeta è stato rallentata di 102.Jm/s, velocità praticamente nulla dato l’ordine di grandezza.
L’angolo di incidenza del corpo rispetto al pianeta è individuabile mediante la formula della
conica per moto centrale sotto forza gravitazionale, considerando che il raggio, essendo l’orbita aperta, tende ad infinito:
4 = ^
1 + ? cos 6 ⟹ 1 + ? cos 6 =^
4 ≈ 0 ⟹ cos 6 = −1
? 91) La matrice di rotazione R è una matrice ortogonale.
Siano i,j,k i vettori di una terna fissa con origine in O, siano I,J,K i versori di una terna mobile con origine in un punto O’ appartenente ad un corpo rigido tridimensionale. Sia P un punto qualunque del corpo rigido e sia R la matrice di rotazione
t = …
ùZ ‚Z vZ ùi ‚i vi ù9 ‚9 v9
Dove i coefficienti sono le componenti dei versori della terna mobile lungo i versori della terna fissa, tale che:
§
Dove il primo vettore colonna rappresenta le coordinate di (A − CO) rispetto alla terna fissa, mentre il secondo vettore colonna rappresenta le coordinate del medesimo vettore rispetto alla terna mobile.
La matrice di rotazione R è una matrice ortogonale.
DIM: Calcoliamo la distanza di P dal punto O’, origine della terna mobile, sfruttando le coordinate del vettore nella terna mobile:
ACO
∫∫∫∫∫. = (A − CO) ⋅ (A − CO) = („ ‰ Â) §„
‰ •
Ora calcoliamo nuovamente tale distanza al quadrato ma sfruttando le coordinate rispetto alla terna fissa:
Ovviamente tali distanze devono coincidere, in quanto il risultato deve essere
indipendente dalle coordinate scelte e dal punto P stesso purché sia il medesimo per entrambi i calcoli, quindi:
(D − D5! E − E5! õ − õ5!) § Sfruttando la matrice di rotazione, otteniamo che:
(D − D5! E − E5! õ − õ5!) § Quindi in definitiva deve valere:
„ „
tft = Ê
Il che implica che tf = t2J, quindi R è una matrice ortogonale.
92) Unicità della matrice % e formula dell’atto di moto rigido .
Esiste un’unica matrice Ω =$F$)tf, indipendente dai punti P e O’, tale che:
8⃗!− 8⃗5! = Ω(A − CO) Dove P è un punto qualsiasi del corpo rigido.
DIM: Consideriamo innanzitutto la formula la relazione che lega le coordinate del vettore (A − CO) rispetto alla terna fissa alle coordinate rispetto alla terna mobile solidale al corpo rigido e deriviamola:
• è nulla poiché nella terna mobile solidale al corpo rigido il punto P ha coordinate costanti. Inoltre, dato che la matrice R è ortogonale, essa è invertibile quindi possiamo scrivere: Quindi, sostituendo, otteniamo che:
8⃗!− 8⃗5! = Kt
Che costituisce la formula di atto di moto rigido per il corpo rigido tridimensionale.
Ora consideriamo un secondo punto O’’ del corpo rigido, anch’esso origine di una terna solidale di versori I’, J’, K’, tale che:
8⃗! − 8⃗5!! = ΩO(A − COO) (Δ)
Dato che COO è anch’esso un punto del corpo rigido, si deve avere che:
8⃗5!!− 8⃗5! = Ω(COO− CO) Ora sottraiamo la relazione (∗) con quella appena scritta:
8⃗! − 8⃗5! − 8⃗5!!+ 8⃗5! = Ω(A − CO − COO+ CO) 8⃗!− 8⃗5!! = Ω(A − COO) (Γ)
Ora eseguiamo la sottrazione (Δ) − (Γ), ottenendo:
(ΩO− Ω)(A − COO) = 0 Ma per l’arbitrarietà di P, si deve necessariamente avere:
ΩO− Ω = 0 ⟹ ΩO = Ω
Quindi la matrice Ω è unica e non dipende né dal punto P scelto né dall’origine del sistema di riferimento solidale al corpo rigido.
93) La matrice % è antisimmetrica.
La matrice Ω =$Ftf è antisimmetrica, ovvero Ω = −Ωf.
DIM: La matrice R di rotazione è ortogonale, quindi ttf = Ê. Derivando questa espressione:
K
KL(ttf) = 0 Kt
KLtf+ tKtf KL = 0 Ora trasponiamo il secondo addendo:
∑tKtf KL ∏
f
=Kt
KLtf = Ω ⟹ tKtf KL = Ωf Dunque, sostituendo, otteniamo la definizione di matrice antisimmetrica:
Ω + Ωf = 0 ⟹ Ω = −Ωf 94) Equivalenza tra % ' ( .
Data la matrice Ω antisimmetrica nella sua forma più generale:
Ω = §
0 ΩJ. ΩJb
−ΩJ. 0 Ω.b
−ΩJb −Ω.b 0 • E il vettore b definito come:
b99⃗ = (−Ω.b ΩJb −ΩJ.) Dato un vettore P⃗ qualunque, è verificata la seguente identità:
ΩP⃗ = b99⃗ ∧ P⃗
DIM: Per dimostrare l’identità svolgiamo separatamente i due prodotti:
ΩP⃗ = §
0 ΩJ. ΩJb
−ΩJ. 0 Ω.b
−ΩJb −Ω.b 0 • § PZ Pi P9• = …
ΩJ.Pi+ ΩJbP9
−ΩJ.PZ + Ω.bP9
−ΩJbPZ − Ω.bPi b99⃗ ∧ P⃗ = È ç̂ é̂ c>
−Ω.b ΩJb −ΩJ.
PZ Pi P9
È = …
ΩJ.Pi+ ΩJbP9
−ΩJ.PZ+ Ω.bP9
−ΩJbPZ − Ω.bPi
Le due espressioni coincidono, quindi l’identità è verificata. Notiamo che di conseguenza, la formula per l’atto di moto rigido
8⃗!− 8⃗5! = Ω(A − CO)
Si può riscrivere, come già abbiamo visto per il corpo rigido bidimensionale, nella forma:
8⃗!− 8⃗5! = ω99⃗ ∧ (A − CO)
Dove si noti che, dal momento che b99⃗ discende direttamente dalla matrice Ω, esso è unico e indipendente dalla coppia di punti scelti del corpo rigido, proprio come abbiamo già
dimostrato in precedenza per il corpo rigido piano.
95) Atto di moto rigido di un corpo rigido tridimensionale.
Dati due punti qualsiasi A e B di un corpo rigido tridimensionale vale la formula:
8⃗0− 8⃗/ = b99⃗ ∧ (S − U) E il corpo rigido può espletare solo tre tipi di moto:
1) Moto traslatorio se b99⃗ = 0;
2) Moto rotatorio se b99⃗ ≠ 0 ? ∃T: 8⃗4 = 0;
3) Moto elicoidale b99⃗ ≠ 0 ? ∃T: 8⃗ ∥ b99⃗.
DIM: La validità della formula è già stata dimostrata nel punto (94) e nei precedenti con le varie trattazioni sulla matrice b99⃗.
Il punto (1) è banale: infatti se si pone b99⃗ = 0, risulta 8⃗0 = 8⃗/ ∀U, S e quindi il corpo, da definizione, è in moto traslatorio.
Per (2) e (3) supponiamo b99⃗ ≠ 0. Dobbiamo dimostrare che esiste un punto C tale che 8⃗4 ∥ b99⃗ H 8⃗4 = 0: nel primo caso il moto è elicoidale, mentre nel secondo è rotatorio. Quindi, supponendo di conoscere la velocità del punto A e la velocità angolare, cerchiamo un punto C solidale al corpo rigido tale che il vettore (T − U) sia perpendicolare a b99⃗ e tale che 8⃗4 ∥ b99⃗. Per il punto C vale la formula di atto di moto rigido, quindi:
8⃗4 = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (T − U)
E moltiplichiamo vettorialmente entrambi i membri per la velocità angolare:
8⃗4∧ b99⃗ = b99⃗ ∧ 8⃗/+ b99⃗ ∧ [b99⃗ ∧ (T − U)]
Dato che per ipotesi abbiamo richiesto 8⃗4 ∥ b99⃗, allora 8⃗4∧ b99⃗ = 0. Ora, sviluppando il doppio prodotto vettore otteniamo:
b99⃗ ∧ 8⃗/+ Mb99⃗ ⋅ (T − U)Nb99⃗ − b.(T − U) = 0
Ma dato che per ipotesi abbiamo richiesto che il vettore (T − U) sia perpendicolare a b99⃗, quindi il prodotto scalare del secondo addendo si annulla. Quindi otteniamo:
(T − U) =b99⃗ ∧ 8⃗/ b.
E abbiamo quindi trovato le coordinate del punto C rispetto a A tale che abbia velocità parallela a quella angolare. Ovviamente se la sua velocità è nulla, esso costituirà il centro d’istantanea rotazione e quindi, quando la velocità angolare è non nulla, il moto può essere solo o traslatorio o rotatorio.
96) Invarianza dell’invariante scalare cinematico.
La quantità ù = 8⃗!⋅ b99⃗ è indipendente dal punto P usato per calcolarla e viene detta invariante scalare cinematico.
DIM: Consideriamo la formula dell’atto di moto rigido per due punti qualsiasi P e A appartenenti al corpo rigido:
8⃗! = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (A − U)
Moltiplicando scalarmente per la velocità angolare ambo i membri, otteniamo:
8⃗!⋅ b99⃗ = 8⃗/⋅ b99⃗ + [bÏÌÌÌÌÓÌÌÌÌÔ99⃗ ∧ (A − U)] ⋅ b99⃗
⟹ 8⃗!⋅ b99⃗ = 8⃗/ ⋅ b99⃗ ∀U, A Q6
97) Invariante scalare cinematico e tipo di moto.
Supponiamo che un corpo rigido abbia velocità angolare b99⃗ ≠ 0. Allora:
a) Se ù = 8⃗/ ⋅ b99⃗ = 0, il corpo si muove di moto rotatorio;
b) Se ù = 8⃗/ ⋅ b99⃗ ≠ 0, il corpo si muove di moto elicoidale.
DIM: Consideriamo la formula di atto di moto rigido per i punti C e A:
8⃗4 = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (T − U)
Ora inseriamo la definizione di (T − U) =jkkk⃗∧'k⃗j'- data al punto (95):
8⃗4 = 8⃗/ +b99⃗ ∧ [b99⃗ ∧ 8⃗/] b. 8⃗4 = 8⃗/+(8⃗/⋅ b99⃗)b99⃗
b. −b.
b.8⃗/ =(8⃗/⋅ b99⃗)b99⃗
b. = ù
b.b99⃗
Da tale risultato notiamo che se ù = 8⃗/⋅ b99⃗ = 0, la velocità del punto C è nulla e quindi per definizione il moto è rotatorio attorno al punto C, mentre se ù = 8⃗/⋅ b99⃗ ≠ 0, allora la velocità del punto C è parallela alla velocità angolare e quindi il corpo si muove di moto elicoidale.
98) Asse di Mozzi.
Supponiamo che un corpo rigido tridimensionale possieda velocità angolare non nulla.
Allora esiste una retta, detta asse di moto o asse di Mozzi, i cui punti hanno tutti velocità parallela alla velocità angolare b99⃗.
DIM: Per quanto già detto nel punto (95), il corpo rigido possiede un punto C tale che la sua velocità sia parallela a b99⃗. Dunque a partire da tale punto, considerando un parametro reale ª, si può definire un’intera retta come:
(T] − U) =b99⃗ ∧ 8⃗/
b. + ªb99⃗ ª ∈ ℝ Consideriamo ora la formula di atto di moto rigido per i punti T] ? U:
8⃗4. = 8⃗/ + b99⃗ ∧ (T]− U)
Sostituendo l’espressione appena trovata per (T]− U), si ottiene:
8⃗4. = 8⃗/+ b99⃗ ∧ Ÿb99⃗ ∧ 8⃗/
b. + ªb99⃗⁄ =
= 8⃗/+b99⃗ ⋅ 8⃗/
b. b99⃗ − 8⃗/b.
b.+ bÏÌÓÌÔ99⃗ ∧ ªb99⃗
Q6
=
⟹ 8⃗4. =b99⃗ ⋅ 8⃗/ b. b99⃗
Da tale risultato si può quindi evincere che ogni punto appartenente alla retta al variare di ª ha velocità parallela alla velocità angolare, come volevasi dimostrare.
99) Asse di Mozzi e velocità minima.
L’asse di Mozzi è il luogo dei punti a velocità minima se confrontata con la velocità di ogni altro punto solidale al corpo rigido.
DIM: Consideriamo la formula di atto di moto rigido per due punti P e C appartenenti al corpo rigido con C appartenente all’asse di Mozzi:
8⃗! = 8⃗4+ b99⃗ ∧ (A − T) Consideriamone quindi il modulo al quadrato:
8!. = 84.+ |b99⃗ ∧ (A − T)|.+ 28⃗4⋅ [b99⃗ ∧ (A − T)]
Il terzo addendo risulta nullo in quanto il prodotto vettoriale b99⃗ ∧ (A − T) è perpendicolare a b99⃗ mentre il vettore 8⃗4 è per definizione parallelo alla velocità angolare e il prodotto scalare di vettori perpendicolari è nullo. Quindi abbiamo:
8!. = 84.+ |b99⃗ ∧ (A − T)|. ≥ 84.
E l’uguaglianza è verificata se e solo se (A − T) ∥ b99⃗, ovvero se anche P appartiene all’asse di Mozzi (da cui si evince che tutti i punti appartenenti all’asse di Mozzi hanno la stessa velocità). Quindi abbiamo dimostrato che i punti appartenenti all’asse di mozzi hanno velocità minima.
100) Formule di Poisson dirette.
Sia øç̂, é̂, c>¿ un sistema di riferimento fisso con origine in O e sia {, Ò, Ú} un sistema di riferimento mobile con origine in O’. Detta b99⃗ la velocità angolare del sistema mobile rispetto a quello fisso, valgono le seguenti formule di Poisson dirette:
̇ = b99⃗ ∧ Ò̇ = b99⃗ ∧ Ò Ú̇ = b99⃗ ∧ Ú
DIM: Consideriamo un punto P solidale al sistema mobile che giace sulla punta del versore I, ovvero tale che:
(A − CO) =
Possiamo ora vedere la terna come un corpo rigido e quindi vale la formula dell’atto di moto rigido per ogni coppia di punti solidale alla terna e quindi possiamo scrivere per il punto P:
8⃗! − 8⃗5! = b99⃗ ∧ (A − CO) = b99⃗ ∧ D’altra parte, per la definizione di velocità, abbiamo che:
8⃗!− 8⃗5! = K
KL(A − CO) = ̇
Quindi otteniamo la tesi ̇ = b99⃗ ∧ . La dimostrazione è analoga per le altre due formule.
101) Formula di Poisson inversa.
Sia øç̂, é̂, c>¿ un sistema di riferimento fisso con origine in O e sia {, Ò, Ú} un sistema di riferimento mobile con origine in O’. Detta b99⃗ la velocità angolare del sistema mobile rispetto a quello fisso, vale la seguente formula di Poisson inversa:
b99⃗ =1
2M ∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇N
DIM: Svolgiamo il prodotto vettore del primo addendo che compare nella formula qui sopra:
∧ ̇óH4êëÜ? K@ AH@IIHJ K@4?LL?
= ∧ (b99⃗ ∧ ) = ù.b99⃗ − ( ⋅ b99⃗) = ù è ëJ 8?4IH4? =
= b99⃗ − (b99⃗ ⋅ )
Con un ragionamento analogo per gli altri versori, otteniamo:
Ò ∧ Ò̇ = b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ò)Ò Ú ∧ Ú̇ = b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ú)Ú Quindi, riscrivendo, ricaviamo che:
∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇ = b99⃗ − (b99⃗ ⋅ ) + b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ò)Ò + b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ú)Ú =
= 3b99⃗ − [(b99⃗ ⋅ ) + (b99⃗ ⋅ Ò)Ò + +(b99⃗ ⋅ Ú)Ú]
Possiamo notare che il membro tra parentesi quadre corrisponde esattamente al vettore velocità angolare b99⃗ (infatti le quantità date dai prodotti scalari corrispondono alle
componenti del vettore lungo i versori della terna mobile), quindi otteniamo:
∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇ = 3b99⃗ − b99⃗ = 2b99⃗
b99⃗ =1
2M ∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇N 102) Matrice di rotazione e versori.
Sia øç̂, é̂, c>¿ un sistema di riferimento fisso con origine in O e sia {, Ò, Ú} un sistema di
§ Dove R è la matrice di rotazione definita come:
t = …
ùZ ‚Z vZ ùi ‚i vi ù9 ‚9 v9
DIM: È sufficiente dimostrare la veridicità della seconda formula in quanto la matrice R è ortogonale e, per invertirla e ottenere la prima formula, basta calcolarne la trasposta.
Svolgiamo dunque il prodotto:
tf§
Possiamo notare che le componenti dell’ultimo vettore sono i tre versori {, Ò, Ú} scritti in componenti rispetto al sistema di riferimento fisso, quindi:
Û E la dimostrazione è conclusa.
103) Rotazione di un punto rispetto ad un sistema di riferimento fisso.
Sia øç̂, é̂, c>¿ un sistema di riferimento fisso con origine in O e siano P un punto di coordinate (D, E, õ) e AF il punto di coordinate (DF, EF, õF) ottenuto da P mediante la rotazione R.
Allora vale la seguente relazione:
§
DIM: Supponiamo di avere un sistema di riferimento mobile {, Ò, Ú} di origine C′ ≡ C che all’istante iniziale coincida con il sistema di riferimento fisso e supponiamo che P sia solidale rispetto a questo sistema. Ora imponiamo al punto P (e quindi al secondo sistema di riferimento) una rotazione R in modo che P vada a coincidere con il punto AF. Le
coordinate di P nel sistema mobile saranno:
(A − C) = D + EÒ + õÚ
In quanto {, Ò, Ú} ? øç̂, é̂, c>¿ coincidono all’istante iniziale. Le coordinate del punto AF invece saranno:
(AF− C) = Dn+ EÒn+ õÚn
Dove n, Òn, Ún sono i versori mobili ruotati in seguito alla rotazione R. Si noti che le coordinate sono rimaste invariante in quanto le coordinate di P non cambiano nel sistema mobile. Ora, prendendo (D, E, õ) come le coordinate rispetto al sistema mobile di AF e (DF, EF, õF) come le coordinate di AF nel sistema fisso, possiamo applicare la relazione che lega le coordinate del sistema mobile a quelle del sistema fisso mediante la matrice di rotazione R ottenendo così la tesi:
D D
104) Composizione di rotazioni espresse nel sistema mobile (formulazione intrinseca o passiva).
Consideriamo un sistema di partenza fisso øç̂, é̂, c>¿ e compiamo una prima rotazione che porta quest’ultimo in un sistema ruotato e poi una seconda rotazione espressa rispetto alla terna ruotata. Supponiamo che la prima rotazione sia di 90° attorno al versore c>, allora otteniamo:
Dove si noti che le colonne della matrice di rotazione coincidono con le coordinate dei versori ùJ, ‚J, vJ ottenuti dalla rotazione stessa.
Ora applichiamo una rotazione di –90° alla terna appena ottenuta rispetto all’asse ùJ, ottenendo così:
ù. = ùJ
‚. = −vJ v. = ‚J Quindi la matrice di rotazione R2 sarà:
t. = §1 0 0
0 0 1
0 −1 0•
Dove, ancora una volta, si noti che le colonne coincidono con le coordinate dei versori ù., ‚., v. ottenuti ruotando la terna precedente. Notiamo che, rispetto al sistema fisso, possiamo scrivere ù. = é̂, ‚. = −c>, v. = −ç̂. Infine, tenendo a mente la relazione tra versori mobili, versori fissi e matrice di rotazione, possiamo scrivere:
§
Verifichiamo la validità di questa relazione calcolando innanzitutto la matrice R:
t = tJt. = §0 −1 0
Se ora la moltiplichiamo per il vettore colonna § ù.
Che sono esattamente le relazioni che abbiamo trovato prima “manualmente”, quindi la relazione è verificata (si può dire che è verificata anche notando che le colonne della matrice R corrispondo ai versori ù., ‚., v.).
105) Composizioni di rotazioni espresse nel sistema fisso (formulazione estrinseca o attiva).
Come nel punto precedente, consideriamo un sistema di partenza fisso øç̂, é̂, c>¿ e compiamo una prima rotazione di 90° rispetto al versore k fisso che porta quest’ultimo in un sistema
(versore i) del sistema fisso, e non rispetto all’asse x del nuovo sistema stesso come abbiamo fatto prima. I risultati della prima rotazione sono uguali a quelli del punto precedente:
La seconda rotazione invece, dato che ora è considerata rispetto ad un asse fisso, differisce da quella di prima in quanto è ottenuta considerando la rotazione del sistema fisso rispetto all’asse x. Dunque i nuovi versori che otterremo saranno:
ù. = −c>
‚. = −ç̂
v. = é̂
Invece la matrice di rotazione R2 sarà:
t. = §1 0 0
0 0 1
0 −1 0•
(Si noti che tale matrice non è stata ottenuta considerando come colonne le componenti dei vettori nuovi rispetto al sistema fisso o al sistema ruotato precedente, ma
considerando direttamente le coordinate dei vettori del sistema fisso di partenza una volta che questo sia stato ruotato di –90°). I questo caso la matrice di rotazione complessiva R nel riferimento øç̂, é̂, c>¿ sarà data da:
E quindi la relazione tra il sistema finale e quello iniziale sarà data da:
§
Dimostriamo dunque che questa relazione è vera. Consideriamo un punto P di coordinate (D, E, õ) a cui applichiamo due rotazioni: una prima rotazione R1 che lo porta nel punto di coordinate (DJ, EJ, õJ) e una seconda rotazione R2 che porta il punto precedente nel punto di coordinate (D., E., õ.). Considerando le relazioni che abbiamo trovato al punto (103) per la rotazione di un punto, abbiamo che:
§
E quindi abbiamo dimostrato che la matrice di rotazione riferita al sistema fisso è data da t = t.tJ e non da t = tJt. come nel punto precedente. Infatti se guardiamo la matrice R ottenuta in questo modo, noteremo che le colonne coincidono con le coordinate dei versori ù., ‚., v. rispetto al sistema fisso di partenza.
106) Angoli di Cardano o di Tait-Bryan, schema Z-Y-X.
Una rotazione nello spazio può essere espressa come la successione di tre rotazioni
elementari che portano il sistema di riferimento in quello mobile ruotato. Ci sono più modi
immediatamente precedente come nel punto (104). Tale metodo consiste nella successione delle seguenti tre rotazioni:
a) Rotazione intorno all’asse z (imbardata o yaw): effettuiamo una rotazione di un angolo j, detto angolo di imbardata, attorno all’asse che ha come versore il versore c> del sistema fisso iniziale. Allora i nuovi versori possono essere espressi come:
ùJ = cos j ç̂ + sin j é̂
‚J = − sin j ç̂ + cos j é̂
vJ = c
E quindi, ponendo come colonne i nuovi versori appena ottenute, otteniamo la matrice di rotazione R1:
tJ = §cos j − sin j 0 sin j cos j 0
0 0 1•
E quindi, come già sappiamo dai punti precedenti, valgono le relazioni:
§
b) Rotazione intorno all’asse y (beccheggio o pitch): effettuiamo una rotazione di un angolo i, detto angolo di beccheggio, attorno all’asse che ha come versore il nuovo versore ‚J ottenuto dalla precedente rotazione. Allora otteniamo:
ù. = cos i ùJ− sin i vJ
‚. = ‚J
v. = sin i ùJ+ cos i vJ Quindi la matrice di rotazione R2 sarà data da:
t. = §
cos i 0 sin i
0 1 0
− sin i 0 cos i•
E quindi, per quanto detto per la composizione di rotazioni, possiamo scrivere:
§
c) Rotazione intorno all’asse x (rollio o roll): effettuiamo una rotazione di un angolo ı intorno all’asse individuato dal versore ù. ricavato dalla rotazione precedente.
Otterremo quindi: E quindi la matrice di rotazione complessiva R sarà data da:
t = tJt.tb = §cos j − sin j 0 sin j cos j 0
0 0 1
• §
cos i 0 sin i
0 1 0
− sin i 0 cos i• §
1 0 0
0 cos ı − sin ı 0 sin ı cos ı • =
= §
cos j cos i − sin j cos j sin i sin j sin i cos j sin j sin i
− sin i 0 cos i • §
1 0 0
0 cos ı − sin ı 0 sin ı cos ı • =
= §
cos j cos i − sin j cos ı + cos j sin i cos ı sin j sin ı + cos j sin i cos ı sin j sin i cos j cos ı + sin j sin i sin ı − cos j sin ı + sin j sin i cos ı
− sin i cos i sin ı cos i cos ı •
107) Teorema di Galileo.
La velocità assoluta 8⃗( (misurata nel sistema di riferimento fisso øç̂, é̂, c>¿ di origine O) di un punto P è legata alla velocità relativa 8⃗& (misurata nel sistema mobile {ù, ‚, v} con origine O’) dalla relazione
8⃗( = 8⃗&+ 8⃗)
Dove 8⃗)= 8⃗5! + b99⃗ ∧ (A − CO) è detta velocità di trascinamento, dove b99⃗ è la velocità angolare della terna mobile rispetto a quella fissa.
DIM: Le coordinate del punto P nella terna fissa (o assoluta) saranno:
(A − C) = Dç̂ + Eé̂ + õc>
Mentre le coordinate del punto P nel sistema di riferimento mobile saranno date da:
(A − CO) = „ù + ‰‚ + Âv Le due coordinate a loro volta sono legate dalla relazione:
(A − C) = (A − CO) + (CO− C) Che dunque può essere riscritta in coordinate come:
Dç̂ + Eé̂ + õc> = „ù + ‰‚ + Âv + (CO − C)
Deriviamo dunque questa relazione tenendo conto che i versori I, J, K sono mobili e quindi la loro derivata comparirà nel risultato finale:
Ḋç̂ + Ėé̂ + õ̇c> = „̇ù + ‰̇‚ + Â̇v + „ù̇ + ‰‚̇ + Âv̇ + 85!
Possiamo notare che il membro di sinistra è la velocità 8⃗( del punto P rispetto al sistema di riferimento fisso, mentre i primi tre addendi del membro di destra costituiscono la velocità
8⃗& del punto P valutata rispetto al sistema di riferimento mobile, quindi:
8⃗( = 8⃗&+ „ù̇ + ‰‚̇ + Âv̇ + 85!
Ora, per le formule di Poisson dirette, sappiamo che:
ù̇ = b99⃗ ∧ ù
‚̇ = b99⃗ ∧ ‚ v̇ = b99⃗ ∧ v Quindi possiamo scrivere:
„ù̇ + ‰‚̇ + Âv̇ = „b99⃗ ∧ ù + ‰b99⃗ ∧ ‚ + Âb99⃗ ∧ v = b99⃗ ∧ „ù + b99⃗ ∧ ‰‚ + b99⃗ ∧ Âv =
= b99⃗ ∧ („ù + ‰‚ + Âv) = b99⃗ ∧ (A − CO) Quindi, sostituendo, otteniamo la tesi:
8⃗( = 8⃗&+ 85! + b99⃗ ∧ (A − CO) = 8⃗&+ 8⃗) 108) Legge di composizione delle velocità angolari.
La velocità angolare b99⃗( di un corpo rigido rispetto all’osservatore fisso è pari alla somma della sua velocità angolare b99⃗& rispetto all’osservatore mobile e della velocità angolare b99⃗ di
DIM: Dimostrare la tesi di questo teorema equivale a dimostrare che in una composizione di rotazioni b99⃗ = b99⃗J+ b99⃗.. Per fare ciò consideriamo la seguente costruzione: prendiamo un sistema di riferimento fisso øç̂, é̂, c>¿ di origine O, un sistema di riferimento mobile
{ù, ‚, v} con origine O’, un corpo rigido nello spazio e una coppia qualsiasi di punti A e B del corpo rigido. Per studiare la rotazione del corpo rigido, la scompongo come la
composizione di due rotazioni, una rotazione R1 di velocità angolare b99⃗ che porta il sistema mobile in quello fisso e poi una rotazione relativa al sistema ruotato R2 con velocità b99⃗& che porta nella configurazione attuale del corpo fisso. Rispetto al sistema fisso il corpo rigido subirà una rotazione totale R di velocità b99⃗(. Ora, dato che il corpo è rigido, possiamo scrivere le seguenti formule di atto di moto rigido, rispettivamente per la terna fissa e per quella mobile:
(1) 8⃗(0− 8⃗(/ = b99⃗(∧ (S − U) (2) 8⃗&0− 8⃗&/ = b99⃗&∧ (S − U) Per il teorema di Galileo inoltre possiamo dire che:
(3) 8⃗(/ = 8⃗&/+ b99⃗ ∧ (U − CO) + 8⃗5! (4) 8⃗(0 = 8⃗&0+ b99⃗ ∧ (S − CO) + 8⃗5! Ora effettuiamo l’operazione (4)–(3), ottenendo:
8⃗(0− 8⃗(/ = 8⃗&0− 8⃗&/+ b99⃗ ∧ (S − U)
⟹ 8⃗(0− 8⃗(/ − (8⃗&0− 8⃗&/) = b99⃗ ∧ (S − U) (∗) Ora effettuiamo invece l’operazione (1)–(2), ottenendo così:
8⃗(0− 8⃗(/− (8⃗&0− 8⃗&/) = (b99⃗(− b99⃗&) ∧ (S − U) Ora, sottraendo quest’ultimo risultato con il risultato (∗) otteniamo:
(b99⃗(− b99⃗&− b99⃗) ∧ (S − U) = 0
Però per ipotesi A e B sono due punti qualsiasi del corpo rigido, ovvero la formula ottenuta deve valere per ogni coppia di punti del corpo rigido. Quindi per l’arbitrarietà di A e B dobbiamo avere:
b99⃗(− b99⃗&− b99⃗ = 0 ⟹ b99⃗( = b99⃗&+ b99⃗
E la dimostrazione è conclusa.
109) Velocità angolare espressa mediante gli angoli Cardano.
Gli angoli di Cardano sono un modo per esprimere la rotazione del corpo rigido nello spazio mediante la successione di tre rotazioni elementari. Come già visto dovremo considerare tre angoli j(L), i(L), ı(L) che in generale dipendono dal tempo. Per il teorema di
composizione angolare allora potremo esprimere la velocità angolare del corpo come somma delle velocità angolari delle tre rotazioni elementari.
La prima rotazione è attorno all’asse z di versore c> del sistema fisso e quindi avrà velocità b99⃗J = j̇c>. La seconda rotazione è attorno al versore ‚J e quindi avrà velocità angolare b99⃗. = i̇‚J, mentre la terza rotazione è attorno al versore ù. e avrà velocità angolare b99⃗b = ı̇ù..
La prima rotazione è attorno all’asse z di versore c> del sistema fisso e quindi avrà velocità b99⃗J = j̇c>. La seconda rotazione è attorno al versore ‚J e quindi avrà velocità angolare b99⃗. = i̇‚J, mentre la terza rotazione è attorno al versore ù. e avrà velocità angolare b99⃗b = ı̇ù..