Sia G il centro di massa di un corpo rigido piano. Allora l’energia cinetica del corpo può essere espressa come:
¢ =1
2ê8=.+1 2ù=b. DIM: Partiamo dalla definizione di energia cinetica:
¢ = ñ1
Dato che il corpo è rigido per ipotesi, possiamo applicare la formula generale dell’atto di moto rigido:
8⃗" = 8⃗=+ b99⃗ ∧ (A"− ò) Sostituendo nella definizione di energia cinetica, otteniamo:
ñ1
Analizziamo ora il primo addendo del risultato ottenuto:
1 1 1 1 1
ñ1 50) Teorema di König.
L’energia cinetica di un sistema materiale qualunque può essere espressa come
¢ =1
2ê8=. +1
2ñ ê"8"&.
"
Dove 8⃗"& = 8⃗" − 8⃗=, ovvero può essere scritta come la somma dell’energia cinetica che competerebbe al centro di massa se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema più l’energia cinetica del sistema materiale nel moto relativo del centro di massa.
DIM: Partendo dalla definizione di energia cinetica e considerando che 8⃗" = 8⃗= + 8⃗"&:
¢ = ñ1
51) Potenza delle reazioni vincolari nel vincolo di appoggio liscio.
La potenza esplicata dalle reazioni vincolari in un vincolo di appoggio liscio (ovvero senza attrito) è nulla.
DIM: Imponiamo di avere un appoggio liscio di un punto materiale su un oggetto. Dato che tale oggetto è liscio per ipotesi, la reazione vincolare è puramente perpendicolare al corpo.
Se chiamiamo A il punto materiale e B il punto di appoggio sul secondo oggetto rigido considerato, abbiamo che per il principio di azione e reazione le forze vincolari saranno:
Φ999⃗0 = −Φ999⃗/
Se indichiamo con 8⃗/ ? 8⃗0 le velocità dei rispettivi punti A e B, avremo per il vincolo di appoggio che:
8⃗/ ⋅ Jz = 8⃗0⋅ Jz ⟹ (8⃗0− 8⃗/) ⋅ Jz = 0
Dunque, procedendo al calcolo della potenza complessiva delle reazioni vincolari, avremo che:
Π = Φ999⃗0⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/ ⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/(8⃗0− 8⃗/) Dato che la reazione vincolare per ipotesi è normale al corpo, avremo che:
Φ999⃗/ = Φ/Jz Quindi:
−Φ999⃗/(8⃗0− 8⃗/) = −[(8⃗0− 8⃗/) ⋅ Jz]Φ/ = 0 ⟹ Π = 0 52) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento su una guida fissa.
La potenza esplicata dalle reazioni vincolari del vincolo di puro rotolamento di un disco su una guida fissa è nulla.
DIM: Consideriamo un disco che rotola senza strisciare su una guida fissa e sia A il punto di contatto tra i due corpi, mentre sia Φ999⃗/ la reazione vincolare (che, in generale, non ha direzione perpendicolare alla guida per il puro rotolamento). La potenza della reazione vincolare sarà data da:
Π = Φ999⃗/ ⋅ 8⃗/ = 0
In quanto, per il vincolo di rotolamento senza strisciamento, la velocità del punto di contatto tra disco e guida è nulla.
53) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento tra due corpi.
La potenza esplicata dalla reazione vincolare del vincolo di puro rotolamento tra due corpi è nulla.
DIM: Consideriamo due dischi che rotolano senza strisciare l’uno sull’altro rispettivamente nei punti A e B. Per il principio di azione e reazione si avranno due reazioni vincolari uguale in modulo e opposte in verso Φ999⃗/ ? Φ999⃗0 tali che:
Φ999⃗0 = −Φ999⃗/ Inoltre per il vincolo di puro rotolamento si avrà che:
8⃗/ = 8⃗0 Quindi la potenza delle reazioni vincolari sarà data da:
Π = Φ999⃗0⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/ ⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = Φ999⃗/(8⃗/ − 8⃗0) = 0
⟹ Π = 0 54) Potenze delle forze interne a un corpo rigido.
La potenza delle forze interne a un corpo applicate su un corpo rigido è nulla.
DIM: Consideriamo due punti A e B interni ad un corpo rigido qualsiasi. Essi interagiranno tra di loro scambiandosi le forze ó⃗/ ? ó⃗0 che, per il principio di azione e reazione, sono tali che:
ó⃗0= −ó⃗/ ? ó⃗/ ∥ (S − U) Ora calcoliamo la potenza esplicata dalle due forze:
Π = ó⃗0⋅ 8⃗0+ ó⃗/⋅ 8⃗/ = −ó⃗/⋅ (8⃗0− 8⃗/)
Dal momento che il corpo è rigido, possiamo applicare la formula di atto di moto rigido:
8⃗0− 8⃗/ = b99⃗ ∧ (S − U) Sostituendo, otteniamo:
^4H^4@?Là ^4HK. ê@ILH
Quindi in definitiva Π = 0.
55) Potenza di una coppia di forze applicata ad un corpo rigido piano.
Sia ï99⃗ il momento della coppia ó⃗, −ó⃗ applicata ad un corpo rigido piano. Allora la potenza esplicata da tale coppia sarà:
Π = ±ï6̇
DIM: Il momento di tale coppia rispetto ad un qualsiasi polo O, supponendo che ó⃗, −ó⃗
siano rispettivamente applicate nei punti B e A, può essere espresso come:
ï99⃗ = (S − C) ∧ ó⃗ + (U − C) ∧ −ó⃗ = (S − U) ∧ ó⃗
Ora, dato che siamo nel piano e le due forze sono anch’esse contenute nel piano, per le proprietà del prodotto vettoriale avremo che il momento della coppia sarà perpendicolare al piano stesso. Quindi, supponendo che i punti A e B abbiano rispettivamente velocità 8⃗/ ? 8⃗0, avremo che:
Π = ó⃗ ⋅ 8⃗0− ó⃗ ⋅ 8⃗/
= ó⃗ ⋅ (8⃗0− 8⃗/)@Ü GH4^H è 4@•@KH
= ó⃗ ⋅ Mb99⃗ ∧ (S − U)N^4H^4@?Là ^4HK. ê@ILH
=
= b99⃗ ⋅ ß(S − U) ∧ ó⃗® = b99⃗ ⋅ ï99⃗
Ma dato che il corpo è piano, si avrà b99⃗ = 6̇c>. Quindi:
Π = b99⃗ ⋅ ï99⃗ = ±bc> ⋅ ±ïc> = ±ïb
Dove il segno dipende da come sono orientati gli assi e da come sono orientati il momento della coppia e la velocità angolare del corpo.
56) Teorema dell’energia cinetica in forma integrale.
La variazione di energia cinetica di un corpo tra uno stato iniziale e uno stato finale è uguale al lavoro delle forze applicate al corpo:
Δ¢ = q
Dove il lavoro di una forza applicata ad un punto P tra due stati A e B è definito come:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
DIM: Consideriamo la definizione di lavoro di una forza:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
Ora moltiplichiamo per K´, dove ´ indica un istante di tempo generico. Si avrà quindi che
$!
$N è la velocità del punto materiale:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
= ™ ó⃗ ⋅KA K´K´
)
6
= ™ ó⃗ ⋅ 8⃗K´
)
6
= ™ ΠK´
)
Ma per il teorema dell’energia cinetica in forma differenziale possiamo dire che: 6
Π =K¢
Quindi: K´
q = ™ ΠK´
)
6 = ¢(S) − ¢(U) = Δ¢
57) Lavoro di un sistema soggetto a forze posizionali conservative.
Il lavoro di un sistema soggetto a una forza posizionale conservativa è uguale alla variazione del potenziale di tale forza valutato tra gli estremi del percorso:
q = ¨(S) − ¨(U)
DIM: Per definizione, una forza è detta conservativa se esiste una funzione scalare U tale che:
ó⃗ = ∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî
Allora il lavoro di tale forza lungo un percorso tra gli estremi A e B sarà, per definizione:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA0
/
= ™ ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî ⋅ (KD, KE, Kõ)
0
/
= ™ ìƨ
ÆDKD +ƨ
ÆEKE +ƨ
ÆõKõî
0
/
=
= ™ K¨
0
/ = ¨(S) − ¨(U)
⟹ q = ¨(S) − ¨(U) 58) Principio di conservazione dell’energia meccanica.
Per un sistema meccanico soggetto a forze attive conservative, con vincoli perfetti e esterni fissi, l’energia meccanica Ø = ¢ + ∞ = ¢ − ¨ è costante nel tempo.
Versione libro: Consideriamo un sistema sottoposto a vincoli ideali, bilateri e fissi.
Supponiamo inoltre che le forze attive siano conservative e sia U il loro potenziale. In tal caso l’energia meccanica si conserva:
Ø = ¢ − ¨ ≡ GHILPJL?.
DIM.PROF: Per il teorema dell’energia cinetica in forma integrale si ha che:
Δ¢ = q
Dato che le forze a cui è soggetto il corpo sono conservative, si ha che ammettono il potenziale U e il loro lavoro tra gli estremi A e B sarà:
q = ¨(S) − ¨(U) Sostituendo dunque otteniamo che:
Δ¢ = ¢(S) − ¢(U) = ¨(S) − ¨(U) T(A) + U(A) = T(B) + U(B)
Ø(U) = Ø(S) Quindi l’energia meccanica si conserva.
DIM.LIBRO: La conservazione dell’energia ¢ − ¨ ≡ GHILPJL? è equivalente alla richiesta
¢̇ = ¨̇. Alla luce del teorema dell’energia cinetica, l’energia meccanica si conserva tutte e sole le volte che sia possibile esprimere la potenza di tutte le forze come derivata del potenziale:
Π = ¨̇
Nel caso di forze attive conservative, la formula qui sopra è soddisfatta. Affinché, però, la potenza di tutte le forze soddisfi la richiesta qui sopra bisogna accertare che le reazioni vincolari non esplichino potenza e ciò è garantito dalla richiesta di vincoli ideali, bilateri e fissi.
DIM: Dato che il peso è una forza conservativa, esiste una funzione U tale che ó⃗ = ∇¨.
Possiamo esprimere la forza peso come:
ó⃗ = ê•⃗ = −ê•c> = (0,0, −ê•) E per la definizione di forza conservativa, abbiamo quindi che:
∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî = (0,0, −ê•) Integrando tale relazione, si ottiene che:
¨ = −ê•õ + GHIL 60) Potenziale di una forza elastica.
Il potenziale della forza elastica ó⃗ = −c(S − U) GHJ c ≥ 0 è ¨ = −J.cI. con s distanza tra A e B.
DIM: Consideriamo una molla posta tra due estremi A e B. Allora avremo che:
ó⃗/ = −c(U − S) ó⃗0= −c(S − U)
Ora consideriamo il gradiente della funzione ¨ = −J.cI. = −J
.cUS. valutato in B:
∇¨|0 = −1
2c ∑ÆUS.
ÆD ,ÆUS.
ÆE ,ÆUS. Æõ ∏ |0 Dove US. = (D0− D/).+ (E0− E/).+ (õ0− õ/).. Dunque:
= −1
2c ∑ÆUS.
ÆD ,ÆUS.
ÆE ,ÆUS.
Æõ ∏ |0 = −1
2c[2(D0− D/), 2(E0− E/), 2(õ0− õ/)]
= −c(S − U) = ó⃗0
Il procedimento è analogo per ó⃗/: basta valutare il gradiente in A invece che in B.
61) Coppia costante applicata ad un corpo rigido piano.
Una coppia costante applicata ad un corpo rigido piano ammette il seguente potenziale:
¨ = ±T6
Dove C è il modulo del momento della coppia e 6 è l’angolo di rotazione del corpo.
DIM: Per il teorema dell’energia cinetica in forma integrale abbiamo che Δ¢ = q = Δ¨.
Derivando rispetto al tempo otteniamo:
K¢
KL = Π =K¨
Dove l’uguaglianza centrale segue dal teorema dell’energia cinetica in forma differenziale. KL Quindi se la forza è conservativa, la derivata del potenziale coincide con la potenza e quindi possiamo dire che:
Π = ±T6̇ =K¨
Dato che la coppia è costante (T = GHIL), integrando nel tempo si ottiene che: KL
¨ = ±T6 62) Sistemi equivalenti (Teorema tratto da appunti Abbà).
Due sistemi di forze ö ? ö′ sono equivalenti se e solo se hanno uguale risultante ed ugual momento rispetto ad uno stesso punto.
DIM: Poiché le operazioni invariantive di composizione e scorrimento non alterano risultante e momento, l’uguaglianza di risultante e momento è condizione necessaria di equivalenza. Infatti:
a) Composizione e Scomposizione:
Se ó⃗ = ó⃗J + ó⃗. è immediato vedere che il risultante t9⃗ è lo stesso in entrambi i casi, mentre il momento rispetto al polo O:
ï99⃗5= (A − C) ∧ ó⃗J+ (A − C) ∧ ó⃗. = (A − C) ∧ Mó⃗J+ ó⃗.N = (A − C) ∧ ó⃗
Quindi i due momenti coincidono.
b) Scorrimento:
È evidente che se facciamo scorrere una forza lungo la sua retta d’azione, il risultante rimane lo stesso. Per il momento rispetto al polo O si ha:
ï99⃗5 = (A − C) ∧ ó⃗ = [(A − É) + (É − C)] ∧ ó⃗ =
= (A − É) ∧ ó⃗ + (É − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
⟹ (A − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
Dove il prodotto vettore (A − É) ∧ ó⃗ è nullo perché P e Q appartengono alla stessa retta di applicazione di ó⃗ e quindi (A − É) ∥ ó⃗.
Inoltre la condizione è anche sufficiente per le proprietà sul trasporto di una forza da un punto ad un altro e sulla somma di coppie di forze.
63) Invariante scalare e polo del momento.
L’invariante scalare di un sistema di forze è indipendente dal polo rispetto al quale si calcola il momento.
DIM: Sia ù = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 l’invariante scalare di un sistema di forze qualunque calcolato rispetto ad un generico polo O. Consideriamo ora l’invariante I’ calcolato rispetto al polo O’:
ùO = t9⃗ ⋅ ï99⃗5!
ÖH4êëÜP K?Ü L4PI^H4LH
= t9⃗ ⋅ ßï99⃗5+ t9⃗ ∧ (CO− C)® =
= t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ t9⃗ ⋅ ßt9⃗ ∧ (CO − C)® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ (CO− C) ⋅ ßt9⃗ ∧ t9⃗® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 = ù Quindi I = I’ come volevasi dimostrare.
64) Invariante nullo e punto in cui si annulla il momento (fatta in classe).
Supponiamo che un sistema di forze ö abbia invariante scalare nullo (ù = 0). Allora la seguente formula individua il punto rispetto al quale il momento si annulla:
(C∫ − C) =t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. Dove O indica il vecchio polo.
DIM: Dimostriamo che tale formula è vera. Il momento rispetto a C∫ si ottiene con la formula del trasporto:
ï99⃗5P = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ (C∫ − C) = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ ∑t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. ∏ =
= ï99⃗5+ 1
t.ßMt9⃗ ⋅ ï99⃗5Nt9⃗ − t.ï99⃗5® = ï99⃗5− ï99⃗5 = 0
⟹ ï99⃗5P = 0
Se ù = 0 ? t9⃗ ≠ 0, esiste un asse, detto retta di applicazione della risultante, di equazione (C − U) = t9⃗ ∧ ï99⃗/
t. + ªt9⃗
DIM: Il fatto che l’invariante scalare sia nullo può essere dovuto al fatto che esiste almeno un punto rispetto a cui il momento risultante ï99⃗ o è nullo o è un vettore ortogonale alla risultante t9⃗.
In questo secondo caso, dalla formula di trasporto dei momenti:
ï99⃗B = ï99⃗5+ (C − É) ∧ t9⃗
Esisterà almeno un punto O rispetto a cui il momento ï99⃗5 = 0 in modo che ï99⃗B ⊥ t9⃗, e si ricade quindi nel primo caso.
Si vuole allora determinare il punto O rispetto a cui il momento risultante della sollecitazione sia nullo e che soddisfa la relazione:
ï99⃗B = (C − É) ∧ t9⃗
Per risolvere tale equazione vettoriale si moltiplichino vettorialmente per t9⃗ ambo i membri dell’equazione
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ∧ ß(C − É) ∧ t9⃗®
Applicando le proprietà del doppio prodotto vettoriale:
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ⋅ t9⃗(C − É) − t9⃗ ⋅ (C − É)t9⃗
Si ottiene
(C − É) =t9⃗ ∧ ï99⃗B
t. +t9⃗ ⋅ (C − É) t. t9⃗
Che è l’equazione parametrica di una retta avente direzione parallela al risultante t9⃗; tale retta, luogo dei punti rispetto a cui il momento risultante è nullo, costituisce la retta di applicazione del risultante della sollecitazione agente sul corpo rigido.
66) Invariante scalare di un corpo rigido piano.
L’invariante scalare di un corpo rigido piano soggetto unicamente a forze che giacciono nello stesso piano del corpo è sempre nullo.
DIM: Supponiamo che tutte le forze appartengano al piano in cui si muove il corpo rigido.
Allora il momento risultante:
ï99⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ó⃗"
"
È ortogonale a tale piano per le proprietà del prodotto vettoriale. Ovviamente, dato che tutte le forze appartengono al piano, il risultante
t9⃗ = ñ ó⃗"
"
Apparterà anch’esso al piano. Quindi, per le proprietà del prodotto scalare, si ha che l’invariante scalare è nullo e quindi esiste un punto rispetto a cui il momento è nullo.
67) Invariante scalare di un sistema di forze parallele.
Un sistema di forze parallele ha invariante scalare nullo.
DIM: Se la risultante delle forze è nulla, ricadiamo nel caso banale e si ha ovviamente che I=0.
Ora supponiamo che t9⃗ ≠ 0 e valutiamo I. Il momento, se le forze sono tutte dirette lungo la direzione c> come da definizione di sistema di forze parallele, sarà dato da:
ï99⃗5 = ñ(A" − C) ∧ ó⃗"
"
= ñ(A"− C) ∧ ó"c>
"
= ñ ó"(A" − C) ∧ c>
"
Il membro di destra del prodotto vettoriale non dipende dall’indice, quindi si ha che:
ñ ó"(A"− C) ∧ c>
"
= üñ ó"(A"− C)
"
† ∧ c>
Per le proprietà del prodotto vettoriale, si evince che il momento è necessariamente perpendicolare al versore c>, mentre t9⃗ ∥ c>. Quindi, per le proprietà del prodotto scalare, si ha che:
ù = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 = 0 68) Centro di forze parallele e momento.
Il momento di un sistema di forze parallele rispetto al centro delle forze parallele è nullo, il quale è individuato dal vettore:
(T − C) =∑ ó" "(A" − C) t
DIM: Calcoliamo il momento rispetto a C, supponendo che le forze siano dirette lungo la direzione c>:
ï99⃗4 = ñ(A" − T) ∧ ó⃗"
"
= ñ(A"− T) ∧ ó"c>
"
= üñ ó"(A" − T)
"
† ∧ c>
Per come è stato definito C, il membro tra parentesi quadre è nullo. Infatti:
(T − T) =∑ ó" "(A" − T)
t = 0 ⟹ ñ ó"(A"− T)
"
= 0 Quindi segue che:
ï99⃗4 = 0.
69) Baricentro e centro di massa.
Per un corpo rigido si ha che baricentro e centro di massa coincidono.
DIM: Per definizione il baricentro G è il centro delle forze parallele della forza peso, la quale è espressa come ó⃗ = −ê•c>. Quindi, sostituendo nella formula ricavata in (68):
(ò − C) =∑ ó" "(A" − C)
t =∑ −ê" "•(A" − C)
−ê• = ∑ ê" "(A"− C)
ê
Il risultato appena ottenuto coincide esattamente con la definizione di centro di massa, quindi il baricentro e il centro di massa di un corpo rigido coincidono.
70) Relazione simbolica della dinamica.
Sia {(A", ê"), @ = 1, … , J} un sistema di unti materiali liberi oppure sottoposti a vincoli ideali. Sia inoltre øMA", ó⃗"N, @ = 1, … , J¿ il sistema di forze attive agenti sul sistema. Allora per ogni insieme di spostamenti virtuali {(A", ¡A"), @ = 1, … , J} ammessi dai vincoli vale la seguente relazione simbolica della dinamica:
(N.B: Il teorema pag. 315 del libro dice una cosa noi diversa: noi qui ci proponiamo semplicemente di ricavarla).
DIM: Consideriamo la relazione fondamentale della dinamica per un sistema sottoposto sia a forze attive sia a forze reattive esplicate da vincoli ideali:
ê"P⃗" = ó⃗"+ Φ999⃗" ∀A": @ = 1, … , J
Moltiplichiamo scalarmente entrambi i membri per lo spostamento virtuale ¡A" e sommiamo su tutti i punti:
ñ ê"P⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
= ñMó⃗" + Φ999⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= − ñ Φ999⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
Dato che stiamo considerando un sistema meccanico sottoposto a vincoli ideali, proprio per la definizione di questi ultimi si ha che:
ñ Φ999⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
≥ 0 ⟹ − ñ Φ999⃗" ⋅ ¡A"
8
"QJ
≤ 0 E quindi otteniamo:
∑8"QJMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ¡A" ≤ 0.
71) Equazione simbolica della dinamica.
Sia {(A", ê"), @ = 1, … , J} un sistema di unti materiali liberi oppure sottoposti a vincoli ideali bilateri. Sia inoltre øMA", ó⃗"N, @ = 1, … , J¿ il sistema di forze attive agenti sul sistema.
Allora per ogni insieme di spostamenti virtuali {(A", ¡A"), @ = 1, … , J} ammessi dai vincoli vale la seguente equazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
DIM: Dato che il sistema è sottoposto a vincoli ideali, vale sicuramente la relazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
≤ 0
La quale vale per ogni spostamento virtuale ammesso dai vincoli a cui è sottoposto il sistema. Inoltre, dato che il sistema è soggetto a vincoli bilateri, si ha che ogni spostamento infinitesimo ¡É" = −¡A" è a sua volta uno spostamento virtuale (ovvero tutti i suoi
spostamenti virtuali sono reversibili), quindi deve anche valere:
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ¡É"
8
"QJ
≤ 0
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ (−¡A")
8
"QJ
≤ 0
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
≥ 0
Ma dunque, dato che l’espressione ∑ Mó⃗8"QJ " − ê"P⃗"N ⋅ ¡A" deve essere
contemporaneamente non negativa e non positiva, si deve avere necessariamente che:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
72) Equazioni di Lagrange.
Sia ö un sistema soggetto a vincoli olonomi, ideali e bilateri con n gradi di libertà. Allora si ha che:
DIM: Dato che il sistema è sottoposto a vincoli ideali e bilateri, è verificata l’equazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
Però, dato che il sistema è olonomo, possiamo riscrivere lo spostamento virtuale:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
Dato che le somme sono finite, possiamo commutarle ottenendo:
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ñÆA"
73) Equazioni pure del moto (Dimostrazione del fatto che !S = $S per sistemi soggetti a vincoli olonomi, bilateri e ideali).
L’equazione simbolica della dinamica è equivalente alle seguenti N equazioni tra loro indipendenti:
ÉD = ´; ∀c = 1, … , ≈
Dove N è il numero dei gradi di libertà del sistema soggetto a vincoli ideali, olonomi e bilateri considerato.
(N.B: Questo equivale a dimostrare che le componenti lagrangiane devono eguagliarsi, sul quaderno alla lezione 14 del 27/10/2020 abbiamo fatto la dimostrazione simile per N=2).
DIM: La sufficienza è evidente. Infatti, se ogni ÉD risulta essere uguale al rispettivo ´D, evidentemente ogni addendo della somma ∑8DQJ(ÉD− ´D)¡ƒD sarà nullo per ogni scelta degli spostamenti virtuali, e nulla sarà anche la loro somma.
Per dimostrare invece la necessità delle equazioni, dobbiamo utilizzare la libertà che abbiamo di scegliere a piacere gli spostamenti virtuali delle coordinate libere (tale libertà è dovuta al fatto che per definizione le coordinate libere di un sistema sono indipendenti tra loro e quindi possono essere variate a piacere). Scegliamo ad arbitrio una coordinata libera (sia essa, per esempio, la k-esima) e consideriamo il seguente insieme di spostamenti virtuali:
¡ƒDT ≠ 0 ? ¡ƒD ^?4 H•J@ c ≠ c∆
Stiamo quindi spostando solo la c∆ − ?I@êP coordinata libera. La somma ∑8DQJ(ÉD− ´D) ⋅
¡ƒD = 0 deve valere per ogni scelta degli spostamenti virtuali, e quindi anche per quella appena descritta. Essendo nulli tutti i ¡ƒD (meno quello c∆ − ?I@êH), la somma si semplifica e diventa:
ñ(ÉD− ´D)¡ƒD
8
DQJ
= (ÉDT− ´DT)¡ƒDT = 0 GHJ ¡ƒDT ≠ 0
Il che porta a concludere ÉDT = ´DT. L’arbitrarietà della scelta di c∆ implica che in realtà ÉD=
´D per ogni c = 1, … , J.
74) Binomi lagrangiani (riscrittura del $S).
Sia T l’energia cinetica di un sistema olonomo di coordinate libere {ƒJ, … , ƒ8} soggetto a vincoli ideali e bilateri. Allora le componenti lagrangiane dell’opposto delle forze d’inerzia soddisfano la seguente identità:
´D = K KLìÆ¢
ƃ̇Dî − Æ¢
ƃD ∀c = 1, … , J
Le quantità a membro destro di tale identità vengono chiamate binomi lagrangiani.
DIM: Partiamo dalla definizione di componenti lagrangiane dell’opposto delle forze d’inerzia:
Come diretta conseguenza della regola di derivazione del prodotto di due funzioni, vale la seguente identità:
Consideriamo dunque il primo addendo:
ñ ê" K
KLì8⃗"⋅ ÆA"
ƃDî
R
"QJ
In quanto il sistema considerato è olonomo, vale la seguente identità:
ÆA"
ƃD = Æ8⃗"
ƃ̇D
Tale identità segue dalla definizione di velocità effettiva, la quale è esprimibile come:
8⃗" = ñÆA" I “coefficienti” UVU!"
# e U!U)" sono funzioni di (ƒJ, … , ƒ8, L) ma non di (ƒ̇J, … , ƒ̇8) perché il
sistema è olonomo, quindi le 8⃗" sono funzioni lineari di ƒ̇D e posso riscrivere:
8⃗" = PDƒ̇D+ m
Quindi, derivando parzialmente rispetto a ƒD, otteniamo l’identità:
ÆA" Ora consideriamo il secondo addendo del ´D:
ñ ê"8⃗" ⋅ K
Abbiamo che per i sistemi olonomi vale la seguente identità:
K KLìÆA"
ƃDî = Æ ÆƒDìKA"
KLî Ovvero è possibile commutare le derivate. Infatti:
K E da ciò si vede che le due espressioni coincidono. Dunque, sostituendo:
ñ ê"8⃗"⋅ K
75) Componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive per sistemi soggetti a forze conservative.
Sia ö un sistema olonomo soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative che ammettono un potenziale U. Allora le componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive si possono scrivere come:
ÉD = ƨ
ƃD
DIM: Dato che le forze attive sono conservative, esse per definizione ammettono un potenziale U tale che:
ó⃗ = ∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî Sempre per definizione, abbiamo che:
ÉD = ó⃗ ⋅ ÆA
Quindi, sostituendo le espressioni di UF e della derivata parziale di P, otteniamo:
ÉD= ó⃗ ⋅ ÆA 76) Equazioni di Lagrange nel caso conservativo.
Per un sistema olonomo soggetto a vincoli ideali e bilateri e sottoposto all’azione di forze attive conservative, le equazioni di Lagrange si possono riscrivere nella forma:
K KLìÆℒ
ƃ̇Dî − Æℒ ƃD = 0 Dove ℒ = ¢ + ¨ è detta funzione Lagrangiana o Lagrangiana.
DIM: Partendo dalle equazioni di Lagrange, abbiamo che:
K KLìÆ¢
ƃ̇Dî − Æ¢
ƃD = ÉD
Ma il sistema è soggetto a forze conservative che ammettono un potenziale U, quindi:
K
Dato che il potenziale non dipende dalle velocità, le derivate di T+U rispetto alle ƒ̇D coincidono con le rispettive derivate dell’energia cinetica, ovvero possiamo scrivere:
Æ¢
ƃ̇D =Æ(¢ + ¨) ƃ̇D Quindi otteniamo la tesi:
K 77) Equazioni di Lagrange in prima forma.
Consideriamo un sistema ö soggetto a vincoli ideali, olonomi e bilateri con n gradi di libertà. Prendiamo in considerazione r coordinate del sistema DJ, … , D& con 4 > J (ovvero in numero superiore ai gradi di libertà). Tali coordinate saranno legate tra loro da s
relazioni di vincolo:
YX(DJ, … , D&, L) = 0 ℎ = 1, … , I
Con J = 4 − I. Ora, dato che i vincoli sono ideali, olonomi e bilateri, abbiamo:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
R
"QJ
= 0
Nella quale compare lo spostamento virtuale ¡A", che può essere a sua volta riscritto come:
In questo caso però, a differenza delle equazioni della seconda forma, le coordinate non sono indipendenti tra di loro e quindi non è detto che la somma si annulli ponendo ÉD =
´D per ogni k. La somma però risulta nulla se poniamo ÉD− ´D = ñ ªXÆYX
ÆDD
A
Dove ªX ∈ ℝ sono i cosiddetti moltiplicatori di Lagrange. XQJ
Dimostriamo che tale affermazione è vera:
ñ(ÉD− ´D)¡DD
Quindi il termine tra parentesi tonde nella precedente equazione è nullo, ovvero si ha che, ponendo ÉD− ´D = ∑ ªXUYUZ$
#
AXQJ , la somma ∑&DQJ(ÉD− ´D)¡DD si annulla e la dimostrazione è conclusa.
In definitiva otteniamo un sistema I + 4 equazioni in I + 4 incognite dato da r equazioni di Lagrange e s equazioni di vincolo:
K
78) Funzione di Hamilton e Lagrangiana.
Sia ö un sistema olonomo di coordinate libere {ƒJ, … , ƒ8} soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative. Allora la derivata temporale della funzione di Hamilton definita come
ℋ = ñ ^Dƒ̇D
8
DQJ
− ℒ
È legata alla dipendenza esplicita della lagrangiana dal tempo, ovverosia:
Kℋ
KL = −Æℒ ÆL
DIM: Deriviamo totalmente rispetto al tempo la funzione di Hamilton sfruttando la regola di derivazione del prodotto di funzioni:
Kℋ
Ora sviluppiamo la derivata totale della Lagrangiana considerando che è una funzione composta in più variabili, ciascuna dipendente dal tempo:
ℒ(ƒD, ƒ̇D, L) ⟹ Kℒ Ora analizziamo il primo dei tre addendi: dato che il sistema è olonomo e soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative, sappiamo dalle equazioni di Lagrange in II forma che:
E infine, sostituendo nella formula che esprime la derivata dell’Hamiltoniana:
Kℋ
Da quest’ultimo risultato segue inoltre che, se la lagrangiana non dipende esplicitamente ÆL
Da quest’ultimo risultato segue inoltre che, se la lagrangiana non dipende esplicitamente ÆL