Asse di Mozzi e velocità minima - Dimostrazioni del corso di Meccanica Aerospaziale

⟹ 8⃗₄_. =b99⃗ ⋅ 8⃗_/ b^. b99⃗

Da tale risultato si può quindi evincere che ogni punto appartenente alla retta al variare di ª ha velocità parallela alla velocità angolare, come volevasi dimostrare.

99) Asse di Mozzi e velocità minima.

L’asse di Mozzi è il luogo dei punti a velocità minima se confrontata con la velocità di ogni altro punto solidale al corpo rigido.

DIM: Consideriamo la formula di atto di moto rigido per due punti P e C appartenenti al corpo rigido con C appartenente all’asse di Mozzi:

8⃗_! = 8⃗₄+ b99⃗ ∧ (A − T) Consideriamone quindi il modulo al quadrato:

8_!^. = 8₄^.+ |b99⃗ ∧ (A − T)|^.+ 28⃗₄⋅ [b99⃗ ∧ (A − T)]

Il terzo addendo risulta nullo in quanto il prodotto vettoriale b99⃗ ∧ (A − T) è perpendicolare a b99⃗ mentre il vettore 8⃗4 è per definizione parallelo alla velocità angolare e il prodotto scalare di vettori perpendicolari è nullo. Quindi abbiamo:

8_!^. = 8₄^.+ |b99⃗ ∧ (A − T)|^. ≥ 8₄^.

E l’uguaglianza è verificata se e solo se (A − T) ∥ b99⃗, ovvero se anche P appartiene all’asse di Mozzi (da cui si evince che tutti i punti appartenenti all’asse di Mozzi hanno la stessa velocità). Quindi abbiamo dimostrato che i punti appartenenti all’asse di mozzi hanno velocità minima.

100) Formule di Poisson dirette.

Sia øç̂, é̂, c>¿ un sistema di riferimento fisso con origine in O e sia {, Ò, Ú} un sistema di riferimento mobile con origine in O’. Detta b99⃗ la velocità angolare del sistema mobile rispetto a quello fisso, valgono le seguenti formule di Poisson dirette:

̇ = b99⃗ ∧  Ò̇ = b99⃗ ∧ Ò Ú̇ = b99⃗ ∧ Ú

DIM: Consideriamo un punto P solidale al sistema mobile che giace sulla punta del versore I, ovvero tale che:

(A − C^O) = 

Possiamo ora vedere la terna come un corpo rigido e quindi vale la formula dell’atto di moto rigido per ogni coppia di punti solidale alla terna e quindi possiamo scrivere per il punto P:

8⃗_! − 8⃗₅^! = b99⃗ ∧ (A − C^O) = b99⃗ ∧  D’altra parte, per la definizione di velocità, abbiamo che:

8⃗_!− 8⃗₅^! = K

KL(A − C^O) = ̇

Quindi otteniamo la tesi ̇ = b99⃗ ∧ . La dimostrazione è analoga per le altre due formule.

101) Formula di Poisson inversa.

b99⃗ =1

2M ∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇N

DIM: Svolgiamo il prodotto vettore del primo addendo che compare nella formula qui sopra:

 ∧ ̇óH4êëÜ? K@ AH@IIHJ K@4?LL?

=  ∧ (b99⃗ ∧ ) = ù^.b99⃗ − ( ⋅ b99⃗) = ù è ëJ 8?4IH4? =

= b99⃗ − (b99⃗ ⋅ )

Con un ragionamento analogo per gli altri versori, otteniamo:

Ò ∧ Ò̇ = b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ò)Ò Ú ∧ Ú̇ = b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ú)Ú Quindi, riscrivendo, ricaviamo che:

 ∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇ = b99⃗ − (b99⃗ ⋅ ) + b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ò)Ò + b99⃗ − (b99⃗ ⋅ Ú)Ú =

= 3b99⃗ − [(b99⃗ ⋅ ) + (b99⃗ ⋅ Ò)Ò + +(b99⃗ ⋅ Ú)Ú]

Possiamo notare che il membro tra parentesi quadre corrisponde esattamente al vettore velocità angolare b99⃗ (infatti le quantità date dai prodotti scalari corrispondono alle

componenti del vettore lungo i versori della terna mobile), quindi otteniamo:

 ∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇ = 3b99⃗ − b99⃗ = 2b99⃗

b99⃗ =1

2M ∧ ̇ + Ò ∧ Ò̇ + Ú ∧ Ú̇N 102) Matrice di rotazione e versori.

Sia øç̂, é̂, c>¿ un sistema di riferimento fisso con origine in O e sia {, Ò, Ú} un sistema di

§ Dove R è la matrice di rotazione definita come:

t = …

ù_Z ‚_Z v_Z ù_i ‚_i v_i ù₉ ‚₉ v₉

DIM: È sufficiente dimostrare la veridicità della seconda formula in quanto la matrice R è ortogonale e, per invertirla e ottenere la prima formula, basta calcolarne la trasposta.

Svolgiamo dunque il prodotto:

t^f§

Possiamo notare che le componenti dell’ultimo vettore sono i tre versori {, Ò, Ú} scritti in componenti rispetto al sistema di riferimento fisso, quindi:

Û E la dimostrazione è conclusa.

103) Rotazione di un punto rispetto ad un sistema di riferimento fisso.

Sia øç̂, é̂, c>¿ un sistema di riferimento fisso con origine in O e siano P un punto di coordinate (D, E, õ) e AF il punto di coordinate (DF, E_F, õ_F) ottenuto da P mediante la rotazione R.

Allora vale la seguente relazione:

DIM: Supponiamo di avere un sistema di riferimento mobile {, Ò, Ú} di origine C′ ≡ C che all’istante iniziale coincida con il sistema di riferimento fisso e supponiamo che P sia solidale rispetto a questo sistema. Ora imponiamo al punto P (e quindi al secondo sistema di riferimento) una rotazione R in modo che P vada a coincidere con il punto AF. Le

coordinate di P nel sistema mobile saranno:

(A − C) = D + EÒ + õÚ

In quanto {, Ò, Ú} ? øç̂, é̂, c>¿ coincidono all’istante iniziale. Le coordinate del punto A_F invece saranno:

(A_F− C) = D_n+ EÒ_n+ õÚ_n

Dove _n, Ò_n, Ú_n sono i versori mobili ruotati in seguito alla rotazione R. Si noti che le coordinate sono rimaste invariante in quanto le coordinate di P non cambiano nel sistema mobile. Ora, prendendo (D, E, õ) come le coordinate rispetto al sistema mobile di A_F e (D_F, E_F, õ_F) come le coordinate di A_F nel sistema fisso, possiamo applicare la relazione che lega le coordinate del sistema mobile a quelle del sistema fisso mediante la matrice di rotazione R ottenendo così la tesi:

D D

104) Composizione di rotazioni espresse nel sistema mobile (formulazione intrinseca o passiva).

Consideriamo un sistema di partenza fisso øç̂, é̂, c>¿ e compiamo una prima rotazione che porta quest’ultimo in un sistema ruotato e poi una seconda rotazione espressa rispetto alla terna ruotata. Supponiamo che la prima rotazione sia di 90° attorno al versore c>, allora otteniamo:

Dove si noti che le colonne della matrice di rotazione coincidono con le coordinate dei versori ù_J, ‚_J, v_J ottenuti dalla rotazione stessa.

Ora applichiamo una rotazione di –90° alla terna appena ottenuta rispetto all’asse ùJ, ottenendo così:

ù_. = ù_J

‚_. = −v_J v_. = ‚_J Quindi la matrice di rotazione R2 sarà:

t_. = §1 0 0

0 0 1

0 −1 0•

Dove, ancora una volta, si noti che le colonne coincidono con le coordinate dei versori ù_., ‚_., v_. ottenuti ruotando la terna precedente. Notiamo che, rispetto al sistema fisso, possiamo scrivere ù. = é̂, ‚_. = −c>, v_. = −ç̂. Infine, tenendo a mente la relazione tra versori mobili, versori fissi e matrice di rotazione, possiamo scrivere:

Verifichiamo la validità di questa relazione calcolando innanzitutto la matrice R:

t = t_Jt_. = §0 −1 0

Se ora la moltiplichiamo per il vettore colonna § ù_.

Che sono esattamente le relazioni che abbiamo trovato prima “manualmente”, quindi la relazione è verificata (si può dire che è verificata anche notando che le colonne della matrice R corrispondo ai versori ù_., ‚_., v_.).

105) Composizioni di rotazioni espresse nel sistema fisso (formulazione estrinseca o attiva).

Come nel punto precedente, consideriamo un sistema di partenza fisso øç̂, é̂, c>¿ e compiamo una prima rotazione di 90° rispetto al versore k fisso che porta quest’ultimo in un sistema

(versore i) del sistema fisso, e non rispetto all’asse x del nuovo sistema stesso come abbiamo fatto prima. I risultati della prima rotazione sono uguali a quelli del punto precedente:

La seconda rotazione invece, dato che ora è considerata rispetto ad un asse fisso, differisce da quella di prima in quanto è ottenuta considerando la rotazione del sistema fisso rispetto all’asse x. Dunque i nuovi versori che otterremo saranno:

ù_. = −c>

‚_. = −ç̂

v_. = é̂

Invece la matrice di rotazione R2 sarà:

t_. = §1 0 0

0 0 1

0 −1 0•

(Si noti che tale matrice non è stata ottenuta considerando come colonne le componenti dei vettori nuovi rispetto al sistema fisso o al sistema ruotato precedente, ma

considerando direttamente le coordinate dei vettori del sistema fisso di partenza una volta che questo sia stato ruotato di –90°). I questo caso la matrice di rotazione complessiva R nel riferimento øç̂, é̂, c>¿ sarà data da:

E quindi la relazione tra il sistema finale e quello iniziale sarà data da:

Dimostriamo dunque che questa relazione è vera. Consideriamo un punto P di coordinate (D, E, õ) a cui applichiamo due rotazioni: una prima rotazione R1 che lo porta nel punto di coordinate (DJ, E_J, õ_J) e una seconda rotazione R2 che porta il punto precedente nel punto di coordinate (D., E_., õ_.). Considerando le relazioni che abbiamo trovato al punto (103) per la rotazione di un punto, abbiamo che:

E quindi abbiamo dimostrato che la matrice di rotazione riferita al sistema fisso è data da t = t_.t_J e non da t = t_Jt_. come nel punto precedente. Infatti se guardiamo la matrice R ottenuta in questo modo, noteremo che le colonne coincidono con le coordinate dei versori ù_., ‚_., v_. rispetto al sistema fisso di partenza.

106) Angoli di Cardano o di Tait-Bryan, schema Z-Y-X.

Una rotazione nello spazio può essere espressa come la successione di tre rotazioni

elementari che portano il sistema di riferimento in quello mobile ruotato. Ci sono più modi

immediatamente precedente come nel punto (104). Tale metodo consiste nella successione delle seguenti tre rotazioni:

a) Rotazione intorno all’asse z (imbardata o yaw): effettuiamo una rotazione di un angolo j, detto angolo di imbardata, attorno all’asse che ha come versore il versore c> del sistema fisso iniziale. Allora i nuovi versori possono essere espressi come:

ù_J = cos j ç̂ + sin j é̂

‚_J = − sin j ç̂ + cos j é̂

v_J = c

E quindi, ponendo come colonne i nuovi versori appena ottenute, otteniamo la matrice di rotazione R1:

t_J = §cos j − sin j 0 sin j cos j 0

0 0 1•

E quindi, come già sappiamo dai punti precedenti, valgono le relazioni:

b) Rotazione intorno all’asse y (beccheggio o pitch): effettuiamo una rotazione di un angolo i, detto angolo di beccheggio, attorno all’asse che ha come versore il nuovo versore ‚_J ottenuto dalla precedente rotazione. Allora otteniamo:

ù_. = cos i ù_J− sin i v_J

‚_. = ‚_J

v_. = sin i ù_J+ cos i v_J Quindi la matrice di rotazione R2 sarà data da:

t_. = §

cos i 0 sin i

0 1 0

− sin i 0 cos i•

E quindi, per quanto detto per la composizione di rotazioni, possiamo scrivere:

c) Rotazione intorno all’asse x (rollio o roll): effettuiamo una rotazione di un angolo ı intorno all’asse individuato dal versore ù_. ricavato dalla rotazione precedente.

Otterremo quindi: E quindi la matrice di rotazione complessiva R sarà data da:

t = t_Jt_.t_b = §cos j − sin j 0 sin j cos j 0

0 0 1

• §

cos i 0 sin i

0 1 0

− sin i 0 cos i• §

1 0 0

0 cos ı − sin ı 0 sin ı cos ı • =

= §

cos j cos i − sin j cos j sin i sin j sin i cos j sin j sin i

− sin i 0 cos i • §

1 0 0

0 cos ı − sin ı 0 sin ı cos ı • =

= §

cos j cos i − sin j cos ı + cos j sin i cos ı sin j sin ı + cos j sin i cos ı sin j sin i cos j cos ı + sin j sin i sin ı − cos j sin ı + sin j sin i cos ı

− sin i cos i sin ı cos i cos ı •

107) Teorema di Galileo.

La velocità assoluta 8⃗₍ (misurata nel sistema di riferimento fisso øç̂, é̂, c>¿ di origine O) di un punto P è legata alla velocità relativa 8⃗_& (misurata nel sistema mobile {ù, ‚, v} con origine O’) dalla relazione

8⃗₍ = 8⃗_&+ 8⃗₎

Dove 8⃗₎= 8⃗₅^! + b99⃗ ∧ (A − C^O) è detta velocità di trascinamento, dove b99⃗ è la velocità angolare della terna mobile rispetto a quella fissa.

DIM: Le coordinate del punto P nella terna fissa (o assoluta) saranno:

(A − C) = Dç̂ + Eé̂ + õc>

Mentre le coordinate del punto P nel sistema di riferimento mobile saranno date da:

(A − C^O) = „ù + ‰‚ + Âv Le due coordinate a loro volta sono legate dalla relazione:

(A − C) = (A − C^O) + (C^O− C) Che dunque può essere riscritta in coordinate come:

Dç̂ + Eé̂ + õc> = „ù + ‰‚ + Âv + (C^O − C)

Deriviamo dunque questa relazione tenendo conto che i versori I, J, K sono mobili e quindi la loro derivata comparirà nel risultato finale:

Ḋç̂ + Ėé̂ + õ̇c> = „̇ù + ‰̇‚ + Â̇v + „ù̇ + ‰‚̇ + Âv̇ + 8₅^!

Possiamo notare che il membro di sinistra è la velocità 8⃗₍ del punto P rispetto al sistema di riferimento fisso, mentre i primi tre addendi del membro di destra costituiscono la velocità

8⃗_& del punto P valutata rispetto al sistema di riferimento mobile, quindi:

8⃗₍ = 8⃗_&+ „ù̇ + ‰‚̇ + Âv̇ + 8₅^!

Ora, per le formule di Poisson dirette, sappiamo che:

ù̇ = b99⃗ ∧ ù

‚̇ = b99⃗ ∧ ‚ v̇ = b99⃗ ∧ v Quindi possiamo scrivere:

„ù̇ + ‰‚̇ + Âv̇ = „b99⃗ ∧ ù + ‰b99⃗ ∧ ‚ + Âb99⃗ ∧ v = b99⃗ ∧ „ù + b99⃗ ∧ ‰‚ + b99⃗ ∧ Âv =

= b99⃗ ∧ („ù + ‰‚ + Âv) = b99⃗ ∧ (A − C^O) Quindi, sostituendo, otteniamo la tesi:

8⃗₍ = 8⃗_&+ 8₅^! + b99⃗ ∧ (A − C^O) = 8⃗_&+ 8⃗₎ 108) Legge di composizione delle velocità angolari.

La velocità angolare b99⃗₍ di un corpo rigido rispetto all’osservatore fisso è pari alla somma della sua velocità angolare b99⃗_& rispetto all’osservatore mobile e della velocità angolare b99⃗ di

DIM: Dimostrare la tesi di questo teorema equivale a dimostrare che in una composizione di rotazioni b99⃗ = b99⃗J+ b99⃗_.. Per fare ciò consideriamo la seguente costruzione: prendiamo un sistema di riferimento fisso øç̂, é̂, c>¿ di origine O, un sistema di riferimento mobile

{ù, ‚, v} con origine O’, un corpo rigido nello spazio e una coppia qualsiasi di punti A e B del corpo rigido. Per studiare la rotazione del corpo rigido, la scompongo come la

composizione di due rotazioni, una rotazione R1 di velocità angolare b99⃗ che porta il sistema mobile in quello fisso e poi una rotazione relativa al sistema ruotato R2 con velocità b99⃗_& che porta nella configurazione attuale del corpo fisso. Rispetto al sistema fisso il corpo rigido subirà una rotazione totale R di velocità b99⃗₍. Ora, dato che il corpo è rigido, possiamo scrivere le seguenti formule di atto di moto rigido, rispettivamente per la terna fissa e per quella mobile:

(1) 8⃗₍⁰− 8⃗₍^/ = b99⃗₍∧ (S − U) (2) 8⃗_&⁰− 8⃗_&^/ = b99⃗_&∧ (S − U) Per il teorema di Galileo inoltre possiamo dire che:

(3) 8⃗₍^/ = 8⃗_&^/+ b99⃗ ∧ (U − C^O) + 8⃗₅^! (4) 8⃗₍⁰ = 8⃗_&⁰+ b99⃗ ∧ (S − C^O) + 8⃗₅^! Ora effettuiamo l’operazione (4)–(3), ottenendo:

8⃗₍⁰− 8⃗₍^/ = 8⃗_&⁰− 8⃗_&^/+ b99⃗ ∧ (S − U)

⟹ 8⃗₍⁰− 8⃗₍^/ − (8⃗_&⁰− 8⃗_&^/) = b99⃗ ∧ (S − U) (∗) Ora effettuiamo invece l’operazione (1)–(2), ottenendo così:

8⃗₍⁰− 8⃗₍^/− (8⃗_&⁰− 8⃗_&^/) = (b99⃗₍− b99⃗_&) ∧ (S − U) Ora, sottraendo quest’ultimo risultato con il risultato (∗) otteniamo:

(b99⃗₍− b99⃗_&− b99⃗) ∧ (S − U) = 0

Però per ipotesi A e B sono due punti qualsiasi del corpo rigido, ovvero la formula ottenuta deve valere per ogni coppia di punti del corpo rigido. Quindi per l’arbitrarietà di A e B dobbiamo avere:

b99⃗₍− b99⃗_&− b99⃗ = 0 ⟹ b99⃗₍ = b99⃗_&+ b99⃗

E la dimostrazione è conclusa.

109) Velocità angolare espressa mediante gli angoli Cardano.

Gli angoli di Cardano sono un modo per esprimere la rotazione del corpo rigido nello spazio mediante la successione di tre rotazioni elementari. Come già visto dovremo considerare tre angoli j(L), i(L), ı(L) che in generale dipendono dal tempo. Per il teorema di

composizione angolare allora potremo esprimere la velocità angolare del corpo come somma delle velocità angolari delle tre rotazioni elementari.

La prima rotazione è attorno all’asse z di versore c> del sistema fisso e quindi avrà velocità b99⃗_J = j̇c>. La seconda rotazione è attorno al versore ‚J e quindi avrà velocità angolare b99⃗. = i̇‚_J, mentre la terza rotazione è attorno al versore ù_. e avrà velocità angolare b99⃗_b = ı̇ù_.. Quindi la velocità angolare complessiva del corpo rigido secondo Cardano sarà:

b99⃗ = b99⃗_J+ b99⃗_.+ b99⃗_b = j̇c> + i̇‚_J+ ı̇ù_.

Come si può vedere abbiamo un miscuglio di terne e versori, quindi potrebbe essere utile esprimere la velocità rispetto alla terna fissa o rispetto alla terna {ù_b, ‚_b, v_b} solidale al corpo rigido.

Per scriverla rispetto alla sola terna fissa, è sufficiente sostituire i due versori delle terne mobili con le relazioni che abbiamo già ricavato nel paragrafo sugli angoli di Cardano:

‚_J = − sin j ç̂ + cos j é̂

ù_. = − sin i v_J+ cos i ù_J = − sin i c> + cos i (cos j ç̂ + sin j é̂) Quindi, sostituendo:

b99⃗ = j̇c> + i̇‚_J+ ı̇

= j̇c> + i̇(− sin j ç̂ + cos j é̂) + ı̇ß− sin i c> + cos i (cos j ç̂ + sin j é̂)®

⟹ b99⃗ = j̇c> − i̇ sin j ç̂ + i̇ cos j é̂ − ı̇ sin i c> + ı̇ cos i (cos j ç̂ + sin j é̂) Quindi, raccogliendo i termini riferiti allo stesso versore, possiamo scrivere le seguenti componenti della velocità angolare rispetto alla terna fissa:

b_Z = ı̇ cos j cos i − i̇ sin j b_i = γ̇ sin j cos i + β̇ cos j

b₉ = j̇ − ı̇ sin i

Come già detto, è possibile esprimere la velocità angolare complessiva anche in riferimento alla terna solidale al corpo rigido costituita dai vettori {ù_b, ‚_b, v_b}. Essa, in componenti, sarà espressa da:

b99⃗ = ^ù_b+ ƒ‚_b+ 4v_b

Per ottenere le componenti p, q e r è sufficiente fare le seguenti sostituzioni partendo dalle formule per bZ, b_i, b₉:

b_Z → 4 b_i → ƒ b₉ → 4 j → ı i → i ı → j

Facendo ciò, otteniamo dunque le seguenti componenti:

^ = ı̇ − j̇ sin i ƒ = j̇ sin ı cos i + i̇ cos ı 4 = j̇ cos ı cos i − i̇ sin ı 110) Angoli di Eulero, schema Z-X-Z.

Gli angoli di Eulero, come gli angoli di Cardano, sono una delle possibili modalità di descrivere una rotazione nello spazio. Questo metodo consta ancora di tre rotazioni successive ma, a differenza di Cardano, si eseguono due rotazioni attorno all’asse z (si noti che si possono fare due rotazioni attorno allo stesso asse purché non siano consecutive: Y-X-Y è ammesso, mentre Y-Y-X non è ammesso).

Dunque avremo:

a) Rotazione intorno all’asse z: effettuiamo una rotazione di un angolo è, detto angolo di precessione, attorno all’asse che ha come versore il versore c> della terna fissa di origine O. Allora otterremo:

ù_J = cos è ç̂ + sin è é̂

‚_J = − sin è ç̂ + cos è é̂

v_J = c>

E la matrice R1 di questa prima rotazione sarà:

t_J = §cos è − sin è 0 sin è cos è 0

0 0 1

•

Dove, come al solito, le colonne corrispondono alle coordinate dei nuovi versori ruotati appena ottenuti.

b) Rotazione intorno all’asse x: effettuiamo una rotazione di angolo 6, detto angolo di

‚_. = cos 6 ‚_J+ sin 6 v_J v_. = − sin 6 ‚_J+ cos 6 v_J

Dunque la matrice di rotazione R2 di questa seconda rotazione sarà:

t_. = §1 0 0

0 cos 6 − sin 6 0 sin 6 cos 6 •

c) Rotazione intorno all’asse z: effettuiamo una rotazione di angolo Y, detto angolo di rotazione propria, attorno all’asse che ha per versore il versore v_. ottenuto dalla seconda rotazione. Quindi avremo:

ù_b = cos Y ù_.+ sin Y ‚_.

‚_b = − sin Y ù_.+ cos Y ‚_. v_b = v_.

Quindi la matrice di rotazione R3 della terza rotazione sarà:

t_b = §cos Y − sin Y 0 sin Y cos Y 0

0 0 1•

In definitiva dunque avremo che la matrice di rotazione complessiva t = tJt_.t_b sarà data da:

t = t_Jt_.t_b

= §

cos è cos Y − sin è cos 6 sin Y − sin Y cos è − sin è cos 6 cos Y sin è sin 6 sin è cos Y + cos è cos 6 sin Y − sin è sin Y + cos è cos 6 cos Y − cos è cos 6

sin 6 sin Y sin 6 cos Y cos 6 •

Si noti infine che si definisce una retta detta linea dei nodi che è la retta ottenuta dall’intersezione dei due piani che sono ortogonali ai versori v_b e c>, ovvero è la retta che ha come vettore direttore il versore ùJ = ù_. ottenuto dalla prima rotazione.

111) Velocità angolare mediante gli angoli di Eulero.

Come già visto per gli angoli di Cardano, si può esprimere la velocità angolare del corpo rigido in funzione degli angoli di Eulero. Infatti ogni rotazione di un corpo rigido può essere schematizzata come la successione di tre rotazioni: una attorno al versore c> con velocità angolare b99⃗J = è̇c>, una attorno al versore ùJ con velocità angolare b99⃗. = 6̇ù_J e una attorno al versore v. con velocità angolare b99⃗b = Ẏv_.. Quindi la velocità angolare complessiva sarà data da:

b99⃗ = b99⃗_J+ b99⃗_.+ b99⃗_b = è̇c> + 6̇ù_J+ Ẏv_.

Per ottenere la velocità angolare in riferimento al sistema fisso, è sufficiente sostituire i versori ù_J ? v_. con le espressioni trovate nel paragrafo precedente:

ù_J = cos è ç̂ + sin è é̂

v_. = − sin 6 ‚_J + cos 6 v_J = − sin 6 (− sin è ç̂ + cos è é̂) + cos 6 c>

Quindi:

b99⃗ = è̇c> + 6̇(cos è ç̂ + sin è é̂) + ẎM− sin 6 (− sin è ç̂ + cos è é̂) + cos 6 c>N Dunque le componenti della velocità angolare rispetto agli assi fissi sarà:

b_Z = 6̇ cos è + Ẏ sin è sin 6 b_i = 6̇ sin è − Ẏ cos è sin 6

b₉ = è̇ + Ẏ cos 6

Se invece voglia scrivere la velocità angolare complessiva in riferimento al sistema solidale al corpo rigido {ù_b, ‚_b, v_b}, è sufficiente sostituire tutti i versori con le relazioni ottenute nei paragrafi precedenti. In coordinate possiamo scrivere:

b99⃗ = ^ù_b+ ƒ‚_b+ 4v_b

Si possono ottenere p, q e r effettuando delle sostituzioni mirate come abbiamo già fatto con Cardano. In questo caso basta effettuare le seguenti operazioni:

b_Z → ^

Eseguendo tale procedimento si ottiene:

^ = 6̇ cos Y + è̇ sin 6 sin Y ƒ = −6̇ sin Y + è̇ sin 6 cos Y

4 = Ẏ + è̇ cos 6

112) Quantità di moto di un corpo rigido rispetto ad un punto dell’asse di rotazione.

Sia O un punto appartenente all’asse di rotazione di un corpo rigido. Allora il momento della quantità di moto del corpo rispetto al polo O è:

Γ⃗₅ = ù₅b99⃗

Dove ù₅ è la matrice di inerzia calcolata rispetto al polo O:

ù₅ = …

DIM: Supponiamo che il corpo rigido ruoti attorno ad un asse prefissato di cui O è un punto. Allora, per la definizione di momento della quantità di moto abbiamo:

Γ⃗₅ = ñ(A_"− C) ∧ ê_"8⃗_"

Dato che il corpo è rigido, per esso vale la formula di atto di moto rigido, dunque possiamo scrivere:

8⃗_" = 8⃗₅+ b99⃗ ∧ (A_"− C) = b99⃗ ∧ (A_" − C)

Dove 8⃗₅ = 0 in quanto il punto appartiene all’asse di rotazione per ipotesi. Ora, sostituendo, abbiamo che:

Γ⃗₅ = ñ(A_"− C) ∧ ê_"[b99⃗ ∧ (A_" − C)]

= ñ ê_"(A_"− C)^.b99⃗− ñ ê_"(A_" − C)[b99⃗ ⋅ (A_" − C)]

Ora se scriviamo b99⃗ = b_Zç̂ + b_ié̂ + b₉c> con øç̂, é̂, c>¿ sistema di riferimento fisso e

Ovvero otteniamo un vettore con tre componenti. Se esplicitiamo rispetto alle tre

componenti x,y,z otteniamo e mettiamo in evidenza le componenti della velocità angolare otteniamo:

Ad un’analisi più attenta, dal momento che le componenti della velocità angolare non dipendono dall’indice, possiamo notare che possiamo riscrivere le tre identità in forma compatta mediante una matrice, ovvero:

…

Dove abbiamo notato che i termini sulla diagonale corrispondono alla definizione di momento di inerzia rispetto agli assi x,y,z mentre le quantità extradiagonali sono nuove quantità che definiamo prodotti di inerzia. Quindi, come volevasi dimostrare, Γ⃗₅ = ù₅b99⃗.

113) Quantità di moto di un corpo rigido rispetto al centro di massa.

Sia G il centro di massa di un corpo rigido. Allora il momento della quantità di moto del corpo rispetto al polo G è:

Γ⃗₌ = ù₌b99⃗

Dove ù₌ è la matrice di inerzia calcolata rispetto al centro di massa.

DIM: Partiamo dalla definizione di momento della quantità di moto con polo in G per un sistema discreto (il caso continuo è analogo e basta sostituire alle somme gli integrali):

Γ⃗₌ = ñ(A_"− ò) ∧ ê_"8⃗_"

Ora, dal momento che il corpo è rigido per ipotesi, vale la formula di atto di moto rigido:

8⃗_" = 8⃗₌+ b99⃗ ∧ (A_"− ò)

A differenza del caso con O punto dell’asse di rotazione, qui non è necessariamente vero che la velocità di G sia nulla. Quindi:

Γ⃗₌ = ñ(A_" − ò) ∧ ê_"[8⃗₌ + b99⃗ ∧ (A_" − ò)]

Consideriamo ora i due addendi separatamente. Il primo addendo può essere riscritto come:

In quanto la velocità del centro di massa è indipendente dall’indice i. La definizione di centro di massa rispetto al punto O è:

(ò − C) =∑ ê_" _"(A_" − C) Sostituendo G a O otteniamo: ê

(ò − ò) =∑ ê_" _"(A_" − ò)

ê = 0 ⟹ ñ ê_"

(A_" − ò) = 0

Quindi il primo addendo è nullo. Ora sviluppiamo il secondo addendo, scrivendo la velocità angolare come b99⃗ = b_Zç̂ + b_ié̂ + b₉c> e il vettore come (A_"− ò) = D_"ç̂ + E_"é̂ + õ_"c>: Abbiamo quindi ottenuto un vettore con tre componenti non nulle, che possiamo scrivere rispettivamente come:

Dato che le componenti di omega non dipendono dall’indice i, possiamo comodamente riscrivere la relazione tra il vettore momento della quantità di moto e il vettore velocità

…

Dove gli elementi sulla diagonale sono, per definizione, i momenti di inerzia rispetto agli assi x, y, z valutati rispetto a G e la quantità extra-diagonali sono quantità nuove che chiamiamo prodotti di inerzia. Quindi, come volevasi dimostrare, Γ⃗₌ = ù₌b99⃗.

114) Formula di Huygens-Steiner generalizzata.

Consideriamo due terne solidali ad un corpo rigido di origine rispettivamente O e G (con G centro di massa del corpo rigido) e aventi gli stessi versori øç̂, é̂, c>¿, ovvero tali che l’una possa essere ottenuta dall’altra per traslazione. Allora, dette {D₌, E₌, õ₌} le coordinate di G rispetto a O, vale la seguente formula generalizzata di Huygens-Steiner:

ù₅ = ù₌ + ê …

E₌^.+ õ₌^. −D₌E₌ −D₌õ₌

−D₌E₌ D₌^.+ õ₌^. −E₌õ₌

−D₌õ₌ −E₌õ₌ D₌^. + E₌^.

DIM: Procediamo per componenti sfruttando la definizione di momento di inerzia rispetto ad un asse per un punto assegnato:

ù_Z⁽⁵⁾ = ñ ê_"(E_"^.+ õ_"^.)

Dove E_", õ_" sono le coordiante di un generico punto rispetto a O. Possiamo riscrivere il vettore posizione del punto rispetto a O come:

(A_"− C) = (A_" − ò) + (ò − C)

Dove le lettere contrassegnate dalla barra sono le coordinate del punto rispetto al baricentro e le lettere col pedice G sono le coordinate di G rispetto a O. Quindi,

Nel documento Dimostrazioni del corso di Meccanica Aerospaziale (pagine 67-108)