Esercizi di Calcolo delle Probabilit` a Foglio 3

Esercizi di Calcolo delle Probabilit` a Foglio 3

David Barbato

Esercizio 1. Sia (X_n)_n∈N una successione di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con distribuzione Exp(1) cio`e con funzione di ripartizione F (x) = (1 − e^−x)1_[0,∞)(x). Sia

Y_n:= X_n

log(n) per ogni n > 1 (a) Calcolare la funzione di ripartizione F_Yn.

(b) Studiare la convergenza in distribuzione di {Y_n}_n∈N. (c) Studiare la convergenza in probabilit`a di {Y_n}_n∈N. (d) Studiare la convergenza quasi certa di {Y_n}_n∈N. (e) Studiare la convergenza in L^p di {Y_n}_n∈N.

Esercizio 2. Sia (X_n)_n∈N una successione di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con distribuzione Exp(1) cio`e con funzione di ripartizione F (x) = (1 − e^−x)1_[0,∞)(x). Sia

Y_n:= max{X₁, . . . , X_n}

log(n) per ogni n > 1 (a) Calcolare la funzione di ripartizione F_Yn.

(b) Studiare la convergenza in distribuzione di {Y_n}_n∈N. (c) Studiare la convergenza in probabilit`a di {Yn}_n∈N. (d)*** Studiare la convergenza quasi certa di {Y_n}_n∈N.

Esercizio 3. Sia (X_n)_n∈N una successione di variabili aleatorie indipendenti tali che per ogni n si abbia E[Xn] = −1 e P (X_n ∈ {1, −n²}) = 1. Sia infine

S_n := X₁+ . . . + X_n per ogni n > 1

(a) Calcolare la funzione di densit`a discreta di X_n.

(b) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a e quasi certa di {S_n}_n∈N.

Esercizio 4. Sia X una variabile aletaoria quasi certamente positiva mostrare che vale

∞

X

n=1

P (X ≥ n) ≤ E[X] ≤

∞

X

n=0

P (X > n)

1

Mostrare inoltre che per ogni p ≥ 1 vale

∞

X

n=1

(n^p− (n − 1^p))P (X ≥ n) ≤ E[X^p] ≤

∞

X

n=0

((n + 1)^p− n^p)P (X > n)

Mostrare infine che se X `e a valori in N allora le disuguaglianze precedente diventano uguaglianze.

Esercizio 5. Sia (Xn)_n∈N una successione di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, quasi certamente positive e di media finita. Sia

Y_n := max(X1, . . . , Xn) n

(a) Quanto vale il limite

n→∞lim nP (X1 > n)

(b) Quanto vale il limite

n→∞lim nP (X₁ > nt) con t > 0

(c) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a e quasi certa di {Y_n}_n∈N.

(d)** E’ possibile rimuovendo la sola ipotesi “X_ndi media finita” costruire un esempio di distribuzione per Xn tale che {Yn}_n∈N converga quasi certamente a pi`u infinito.

Esercizio 6. Sia (X_n)_n∈N una successione di variabili aleatorie, sia T_n la sigma algebra generata da (X_k)_k≥n e sia T = ∩_nT_n la sigma algebra coda.

Dimostrare che:

(a) lim sup_nX_n `e T misurabile.

(b) lim infnXn `e T misurabile.

(c) lim sup_n^X_nⁿ `e T misurabile.

(d) lim sup_n^X1+...+X_n ⁿ `e T misurabile.

(e) Supponiamo ora P (Xn≥ 0) = 1 per ogni n mostrare che lim sup_n^max{X1_n^,...,Xn} `e T misurabile.

(f ) Cosa si pu`o dire di lim sup<sub>n</sub>max{X<sub>1</sub>, . . . , X<sub>n</sub>}? Costruire un esempio tale che il limite precedente non `e T misurabile e vale P (X_n≥ 0) = 1 per ogni n.

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