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MECCANICA RAZIONALE ING. MECCANICA prof. Daniele Andreucci Prova a distanza del 09/07/2020

1. Un cilindro di massa m, raggio R e altezza H è vincolato ad avere il centro nell’origine O del sistema fisso.

Il sistema S = (XO, (uh)) è solidale al cilindro, con u3 diretto come il suo asse. Sul cilindro è applicata, in A, la forza

FA= −λu2, XA= H 2u3. con λ > 0 costante. Le condizioni iniziali sono

uh(0) = eh, h = 1 , 2 , 3 ; ω(0) = ω03u3(0) , ove ω03> 0.

Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

1)[a1] Una delle componenti di ω in (uh) soddisfa l’equazione dei moti armonici ¨x + µ2x = 0, con µ > 0 opportuno.

2)[a2] Il moto è una rotazione.

3)[a3] Il momento delle quantità di moto LO si conserva durante il moto.

Soluzione 1. S

Poiché MextO = (λH/2)u1, si hanno le equazioni di Eulero I11˙ω1= (I11− I332ω3+λH

2 , I11˙ω2= (I33− I111ω3, I33˙ω3= 0 ,

da cui ω3(t) = ω03e

¨

ω1= −µ2ω1, µ =|I11− I3303 I11

. 2. N

Se il moto fosse una rotazione, ω dovrebbe essere solidale. Quindi ω(t) = ω03u3(t) per ogni t, impossibile per la prima delle equazioni di Eulero.

3. N È noto

dLO

dt = MextO = λH

2 u16= 0 .

2. Si consideri il corpo rigido dato, in coordinate solidali λ, da C =n

λ∈ R3| λ21+ λ22+ λ23 = R2, λ3≤ R 2

o.

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Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

4)[b1] Esistono punti in cui l’ellissoide d’inerzia è di rotazione.

5)[b2] La funzione f (P ) = I22P, ristretta all’asse λ3, raggiunge il minimo nel punto λ = 0.

6)[b3] Se il corpo è posto in moto polare per inerzia intorno al proprio centro di massa, e ω mantiene direzione costante, allora |ω| è costante.

Soluzione 1. S

Dato che il corpo ha simmetria materiale di rotazione, questo è vero per tutti i punti dell’asse λ3.

2. N

Per il Teorema di Huygens, il minimo è raggiunto nel centro di massa, che non è λ= 0.

3. S

Questo è vero per tutte le rotazioni per inerzia.

3. Si consideri un punto materiale P di massa m, vincolato alla sfera mobile

x21+ x22+ x23= R(t)2, con R ∈ C(R), R > 0.

Vale l’ipotesi dei lavori virtuali. Sul punto agisce la forza elastica F = −kx1e1,

con k > 0 costante.

Scegliamo come coordinate lagrangiane (ϕ, θ) ∈ (−π, π) × (0, π) tali che Xl(ϕ, θ, t) = R(t) cos ϕ sin θe1+ R(t) sin ϕ sin θe2+ R(t) cos θe3. Dire se ciascuna dalle seguenti affermazioni è corretta.

7)[c1] La reazione vincolare fvin nella configurazione (x, t) ha direzione di- pendente dalla derivata ˙R(t).

8)[c2] Esiste il potenziale lagrangiano ed è dato da Ul(ϕ, θ, t) = −k

2(R(t) cos ϕ sin θ)2.

9)[c3] Su qualunque moto su cui ϕ, θ si mantengono costanti, anche l’energia cinetica Tl si mantiene costante.

Soluzione 1. N

La reazione vincolare appartiene allo spazio normale, che ha direzione radiale e quindi dipende solo dalle coordinate lagrangiane.

2. S

La forza è conservativa di potenziale U = −kx21/2.

3. N

L’energia cinetica vale in genere Tl=m

2[ ˙R(t)2+ R(t)2( ˙ϕ2(sin θ)2+ ˙θ2)] ,

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quindi varia con ˙R perfino se ˙ϕ e ˙θ si annullano.

4. In un sistema di punti materiali (Xi, mi), i = 1, . . . , n, l’i-esimo punto è soggetto alla forza

Fi+X

j6=i

Fij, ove

Fi= −hXi, Fij = −k(Xi− Xj) , j 6= i .

Qui h, k > 0 sono costanti. Denotiamo il centro di massa del sistema con G.

Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

10)[d1] La prima equazione globale (o cardinale) della dinamica determina da sola il moto del centro di massa del sistema.

11)[d2] Il momento delle quantità di moto di polo XO= 0 si conserva durante il moto.

12)[d3] Il momento delle quantità di moto di polo XG si conserva durante il moto.

Soluzione 1. N

La prima equazione dà

maG = Fext= −h

n

X

i=1

Xi, ma il membro di destra non è esprimibile in termini di XG. 2. S

Infatti

dLO

dt = MextO = −h

n

X

i=1

Xi× Xi = 0 . 3. N

Infatti dLG

dt = MextG = −h

n

X

i=1

(Xi− XG) × Xi = hXG×

n

X

i=1

Xi6= 0 .

5. Sia C un corpo rigido non degenere di densità non uniforme ρ, e sia σ il suo tensore d’inerzia con polo in un moto solidale XZ.

Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

13)[e1] Se C ha in XZ due terne solidali principali d’inerzia (uh) e (wk), con uh6= wk per ogni h, k, allora l’ellissoide d’inerzia in XZ è una sfera.

14)[e2] Gli assi principali in XZ si ottengono traslando quelli principali in XG (G è il centro di massa di C).

15)[e3] Se la densità del corpo viene raddoppiata, ossia diviene 2ρ, gli assi principali d’inerzia in XZ possono cambiare.

Soluzione 1. S

Poiché gli assi principali sono anche assi dell’ellissoide, questa è l’unica possibilità.

(4)

2. N

Questo è vero solo se XZ appartiene a uno degli assi principali in G.

3. N

Raddoppiare ρ significa moltiplicare per uno scalare σ, il che non cambia i suoi autovettori.

6. Due moti

X1 = z1e1+ z2e2+ z3e3, X2 = z4e1+ z5e2+ z6e3, sono vincolati da

f1(z) = (z1− z4)2+ (z2− z5)2+ (z3− z6)2− L2= 0 , f2(z) = z1 = 0 ,

f3(z) = z6 = 0 , ove L > 0.

Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

16)[f1] Il vincolo è olonomo regolare in tutte le configurazioni compatibili.

17)[f2] Se vale l’ipotesi dei lavori virtuali, la reazione vincolare su X1 è sempre parallela a e1.

18)[f3] Si possono scegliere come coordinate lagrangiane z3, z4, z5, z6. Soluzione

1. S

Le fj sono regolari, lo spazio delle configurazioni ammissibili non è vuoto, e la matrice iacobiana è (sostituendo i vincoli 2 e 3)

−2z4 2(z2− z5) 2z3 2z4 2(z5− z2) −2z3

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

.

Poiché per il primo vincolo almeno uno dei termini della prima riga nelle colonne 234 non si annulla, le 3 righe sono linearmente indipendenti.

2. N

La reazione vincolare fvin = (fvin1, fvin2) è nello spazio generato dai gradienti dei vincoli, e quindi fvin1 può avere componente diversa da 0 anche lungo e2, e3. 3. N

La coordinata z6non può essere lagrangiana perché è costante per il terzo vincolo.

7. Un punto materiale (X, m) è soggetto alla forza F = −k|X|3X − α ˙X, con α, k ≥ 0 costanti.

Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

19)[g1] Se α > 0, k > 0 allora il punto x0 = 0 è di equilibrio stabile per il moto.

20)[g2] Se α > 0, k = 0, allora tutti i punti sono di equilibrio stabile.

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21)[g3] Se α = 0, k > 0, allora in x0 = 0 si possono definire le piccole oscillazioni.

Soluzione 1. S

La componente posizionale della forza ha potenziale U (x) = −k

5|x|5,

che ha un minimo isolato in x = 0. Poiché l’altra componente fa lavoro negativo, la teoria garantisce l’asserto.

2. S

Le soluzioni dell’equazione di moto sono in questo caso X(t) = X(0) + ˙X(0)m

α(1 − emαt) , per cui risulta soddisfatto

|X(t) − x|2+ | ˙X(t)|2≤ ε2, t > 0 , se |X(0) − x|2+ | ˙X(0)|2≤ δ2opportuno, per ogni x.

3. N

Il potenziale trovato sopra non ha hessiana definita negativa in x = 0.

8. Si consideri una lamina quadrata di lato 2L

C = {λ ∈ R3 | |λ1| ≤ L , |λ2| ≤ L , λ3 = 0} ,

di densità non uniforme ρ(λ). Qui le λ sono le coordinate del sistema solidale alla lamina.

La lamina è vincolata a ruotare intorno all’asse λ1, che è fisso, con vincolo liscio. Sulla lamina non agiscono forze direttamente applicate.

22)[h1] Se ρ(λ1, λ2, 0) = ρ(λ1, −λ2, 0) allora il momento delle reazioni vin- colari rispetto al centro geometrico della lamina ha componente ortogonale all’asse di rotazione nulla.

23)[h2] Le reazioni vincolari hanno risultante nulla.

24)[h3] Il vettore σω è costante (qui il polo di σ è il centro geometrico della lamina).

Soluzione 1. S

In questo caso, l’asse λ1 è di simmetria materiale ortogonale, quindi l’asse λ2 è principale; poiché anche l’asse λ3 lo è, come sempre nelle lamine, segue che lo è anche l’asse λ1. Allora l’asserto segue dalla teoria.

2. N

In genere per la prima equazione cardinale

0 6= maG= Fext = fvin. 3. N

Questo avviene se l’asse di rotazione è principale; altrimenti il momento delle forze di reazione non è nullo.

figura

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