1 Sistemi Dinamici

Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2010—2011.

Esame del 20/06/2011

1 Sistemi Dinamici

1) Si studi qualitativamente il sistema dinamico definito da ( ˙x = y

˙

y =−dU (x)

dx , con U (x) = x⁵− 4 x³+ 4 x.

In particolare, si descriva la curva di fase corrispondente al valore nullo dell’energia.

2) Si determinino, le frequenze di oscillazione attorno ai punti di equilibrio stabile e le rette tangenti alle separatrici nei punti di equilibrio instabile.

Punto 1A – Per i 12 crediti Si consideri il sistema dinamico:

 ˙x = 1− e^x+y−1

˙

y =−1 + x − x²− xy − y² (1)

1. Si dimostri che il sistema ha due punti di equilibrio.

2. Si determini la stabilit`a dei punti trovati con il primo metodo di Lyapunov.

2 Meccanica Hamiltoniana

Risolvere uno dei problemi tra H1 ed H2.

Esercizio H1 Calcolare l’Hamiltoniana definita dalla Lagrangiana L = 1

2 ˙x²+ 2 x ˙x ˙y + (1 + x²) ˙y²

− ˙xy − κ x, nonch´e le corrispondenti equazioni di Hamilton.

Esercizio H2 Si dimostri che la trasformazione (definita per q₁q₂ ≥ −1)







Q1 = log(1 + q1q2) P1 = (q₁q₂+ 1) p₂ q₁ − 1 Q₂ = q₁² P₂ = 1

2 p₁ q₁ − 1

2 q₂p₂

q₁²

(2)

`

e canonica e se ne determini una funzione generatrice di II specie.

Esistono funzioni generatrici di altre specie?

Esercizio H3 – Per i 12 crediti Si consideri H = 1

2p²_x+ 1

2(x + 1)p²_y+ xy + 2x + y + 2 (3) Si dimostri che l’equazione di Hamilton-Jacobi associata ad H ammette un integrale completo separato.

Si trovi una funzione G (indipendente da H) tale che {G, H} = 0.

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3 Meccanica Lagrangiana

Per la sufficienza: punti 1 e 2

Un punto materiale P di massa M si pu`o muovere sul diametro AB di un disco omogeneo di massa m e raggio R posto nel piano verticale; a sua volta il disco `e libero di ruotare attorno al suo centro O. P `e attratto da O da una forza di energia potenziale

U_P =−k log(1 − d²/R²).

dove d `e la distanza tra O e P , e k `e una costante di interazione positiva.

P

g

A

B O

1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Eulero-Lagrange.

2. Posto k = M gR, trovare le configurazioni di equilibrio del sistema e discuterne la stabilit`a; trovare le frequenze proprie e i modi normali di oscillazione attorno al punto di equilibrio stabile.

3. Supposto ora che il sistema si trovi nel piano orizzontale, trovare la costante del moto addizionale e ridurre il problema ad un solo grado di libert`a, trovando la Lagrangiana efficace.

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