Esercizi sulla continuità e sulla discontinuità

Esercizi sulla continuità e sulla discontinuità

Esercizio 1. Dai la denizione di funzione continua e fornisci un esempio.

Esercizio 2. Enuncia la condizione necessaria e suciente per le funzioni continue.

Esercizio 3. Elenca i 3 tipi di discontinuità e fornisci un esempio per ciascuno di essi.

Esercizio 4. Per ciascuna delle seguenti funzioni classica il tipo di discontinuità nel punto indicato:

1. f(x) = |x|

x in x = 0 [Prima specie]

2. f(x) = |x|

x

in x = 0 [Seconda specie]

3. f(x) = x

x

− 1 in x = 1 [Seconda specie]

4. f(x) =







−2 x < −2 x + 2 − 2 ≤ x ≤ 0

1

x

x > 0

in x = 0 e x = 2

[In x = 0 eliminabile, in x = 2 seconda specie]

5. f(x) =







1

x

x < 0

x + 2 √

x + 40 ≤ x < 5

1 x ≥ 5

in x = 0 e x = 5

[In x = 0 seconda specie, in x = 5 prima specie]

6. f(x) =



 



 



−2x x < 0

−2 x = 0

x 0 < x ≤ 4 2 x > 4

in x = 0 e x = 4

[In x = 0 eliminabile, in x = 4 prima specie]

Suggerimento: studiare la lezione 16.

Esercizio 5. Enuncia il teorema di Weierstrass e fornisci un esempio.

Esercizio 6. Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema di Weierstrass nell'intervallo indicato, motivando la risposta:

1. f(x) = x

− 3 in [10, 20]

2. f(x) = x

+ 2 in [−10, 10]

3. f(x) = √

x + 1 in [5, 10]

4. f(x) = e

in [−1, 4]

5. f(x) = log(x + 2) in [3, 5]

6. f(x) = 1

x

in [−1, 2]

7. f(x) = 1

x

in [1, 2]

8. f(x) = x

− 1

x

− x

in [−1, −

]

9. f(x) = x

x

− x

− 2 in [0, 1]

10. f(x) = x

x

− x

− 2 in [1, 2]

1

Suggerimento: studiare la lezione 16.

Esercizio 7. Enuncia il teorema di Darboux e fornisci un esempio.

Esercizio 8. Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema di Darboux nell'in- tervallo indicato, motivando la risposta:

1. f(x) = (x − 3)

in [−5, 10]

2. f(x) = (x + 2)

in [−10, 10]

3. f(x) = √

x − 3 in [2, 4]

4. f(x) = e

+ 4 in [−1, 4]

5. f(x) = log(x) − 3 in [3, 5]

6. f(x) = 1

x

in [−1, 2]

7. f(x) = 1

x

in [1, 2]

Esercizio 9. Enuncia il teorema degli zeri e fornisci un esempio.

Esercizio 10. Stabilisci se le seguenti funzioni soddisfano le ipotesi del teorema degli zeri nell'in- tervallo indicato, motivando la risposta:

1. f(x) = x

in [−1, 4]

2. f(x) = x

+ 7 in [−1, 4]

3. f(x) = x

in [−5, −1]

4. f(x) = x

− 10 in [−5, −1]

5. f(x) = √

x in [2, 4]

6. f(x) = √

x − 1 − 1 3

2 in [2, 4]

7. f(x) = e

in [−1, 4]

8. f(x) = e

− 3 in [−1, 4]

9. f(x) = log(x) in [

, 5]

10. f(x) = log(x + 2) in [

, 5]

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