8. Modelli interni della teoria degli insiemi
8.3. L(ι) ` e un modello di GCH: la strategia semantica
In G¨odel *1939b245 l’autore affronta la dimostrazione di noncontradditto- riet`a dell’ipotesi generalizzata del continuo, limitandosi dapprima a discute- re il problema della soddisfacibilit`a dell’ipotesi (semplice) del continuo nel modello semantico L(ι).
A tal fine egli porta l’esempio del livello L(ω) della gerarchia costruibile. G¨odel si chiede quanti siano i sottoinsiemi costruibili di L(ω) e osserva che sicuramente gli elementi di L(ω+1) sono tutti sottoinsiemi costruibili di L(ω). Egli nota che anche gli elementi di L(ω + 2) possono, in linea di principio, essere sottoinsiemi costruibili di L(ω) e che quindi in generale `e possibile che esistano sottoinsiemi costruibili di L(ω) di ordine arbitrariamente alto.
Di fatto, aggiunge l’autore, si pu`o verificare che l’ordine dei sottoinsiemi di L(ω) non `e arbitrariamente alto, ma ha un ben preciso confine superiore. E’ infatti possibile dimostrare il seguente:
242Cf. G¨odel *1940a in G¨odel 1995, pag. 170. 243Cf. G¨odel *1940a in G¨odel 1995, pag. 177. 244Cf. G¨odel *1940a in G¨odel 1995, pag. 177. 245Cf. G¨odel *1939b in G¨odel 1995, pagg. 141-143.
Teorema fondamentale. L’ordine di ogni sottoinsieme costruibile di L (ω) `
e un ordinale della seconda classe, cio`e `e un ordinale minore di ω1.
Intuitivamente questo risultato, che a detta dello stesso G¨odel `e il punto cru- ciale di tutta la dimostrazione di noncontraddittoriet`a,246 significa che se la
costruzione dei livelli della gerarchia costruibile prosegue oltre L (ω1) non tro-
viamo pi`u in essa nuovi sottoinsiemi costruibili di L (ω) . Con questo teorema la nozione di insieme costruibile trova la sua completa precisazione tanto `e vero che, come osserva l’autore, esso pu`o essere letto cos`ı:“Un sottoinsieme x di L (ω) `e costruibile se c’`e un numero α della seconda classe numerica tale che x ∈ L (α)”.247 Dal teorema fondamentale segue immediatamente il
seguente:
Corollario. Esistono al massimo ℵ1 insiemi costruibili di numeri naturali.
Per l’assioma di costruibilit`a si ha che la classe L(ι) `e ben-ordinata e quindi ogni cardinale minore di ι sar`a un ℵ. Dunque per il teorema di Cantor avremo la seguente:
Proposizione. Esistono almeno ℵ1 insiemi costruibili di numeri naturali.
Dalla proposizione e dal corollario segue che nel modello interno di ZF co- stituito dalla classe L(ι) vale l’ipotesi del continuo e di conseguenza che CH `
e noncontraddittoria rispetto agli assiomi di ZF.
Dal momento che il teorema fondamentale `e dimostrabile anche nella for- ma generalizzata a tipi superiori avremo inoltre che ogni sottoinsieme costrui- bile di L (ωα) ha ordine minore di ωα+1. Dunque anche l’ipotesi generalizzata
del continuo `e soddisfatta in L(ι) e perci`o GCH `e noncontraddittoria rispetto agli assiomi di ZF.
La dimostrazione del teorema fondamentale in G¨odel *1939b ripercorre fedelmente, anche se in maniera pi`u dettagliata, la dimostrazione svolta in G¨odel 1939a.
L’idea di base `e la seguente. Consideriamo un sottoinsieme m di L(ω) che sia costruibile, cio`e tale che esista un ordinale α per cui m ∈ L(α). In linea di principio l’ordinale α pu`o essere arbitrariamente alto. Ora, se vogliamo che l’ordine di m sia minore di ω1 deve essere possibile individuare un insieme K che contenga m, sia numerabile ed inoltre sia isomorfo ad un segmento
246E costituisce un analogo dell’assioma di riducibilit`a di Russell. 247Cf. G¨odel *1939b in G¨odel 1995, pag. 143.
iniziale degli insiemi costruibili. Formalmente parlando dobbiamo dimostrare l’esistenza di un insieme K tale che:
(i) K = ℵ0,
(ii) esistano un ordinale η e una funzione h da K su L(η) tali che h sia un isomorfismo di K e L(η) rispetto alla relazione di appartenenza, (iii) m ∈ K e L(ω) ⊆ K.
Come spiega l’autore a pagina 147 del Vortrag G¨ottingen, l’insieme m, essendo costruibile per ipotesi, dovr`a comparire in qualche livello della ge- rarchia L. In linea di principio esso potrebbe comparire per la prima volta in un livello L(α) per α molto grande cio`e “la costruzione di m potrebbe basarsi su un numero molto grande di predecessori da definirsi prima che m possa essere definito”.248 Tuttavia, aggiunge G¨odel, di fatto `e possibile dimo- strare che dalla totalit`a dei “predecessori di m” si pu`o isolare un insieme K che gode delle propriet`a (i)-(iii) di cui sopra. Chiaramente, osserva l’autore, dall’esistenza di un tale insieme K segue che m ha ordine minore di ω1.
La dimostrazione conster`a essenzialmente di tre passaggi.
Per prima cosa vengono introdotte le nozioni di formula definitoria ϕα(x) di
un dato insieme costruibile m, di forma normale skolemiana ∀u∃vM (u, v, x) di tale formula249 ed infine di funzione di Skolem designata f
ϕα,x per tale
formula.
In secondo luogo si dimostra che, se esiste una classe K con le tre pro- priet`a di cui sopra, allora l’ordine di m `e minore di ω1. L’argomento di G¨odel
procede come segue. Per la clausola (iii), m ∈ K. Per la clausola (ii), m viene associato, tramite l’isomorfismo h ad un certo elemento h(m) ∈ L(η). Naturalmente od(h(m)) < ω1 infatti, per (i) e (ii), si ha che:
L(β) = ℵ0
e quindi η < ω1. Poich´e, per (iii), L(ω) ⊆ K e chiaramente L(ω) ⊆ L(η) avremo che per ogni x ∈ L(ω), h(x) = x e quindi per ogni x ∈ L(ω):
x ∈ h(m) ↔ x ∈ m.
Dunque il sottoinsieme m deve avere ordine minore di ω1.
248Cf. G¨odel *1939b in G¨odel 1995, pag. 147. 249Dove M (u, v, x) `e priva di quantificatori.
Infine, e questa `e la parte pi`u complessa della dimostrazione, si mostra l’esistenza della classe K con le tre propriet`a richieste. A tal fine si defini- scono simultaneamente tre classi: K, O (intuitivamente: la classe di ordinali costituita da tutti gli ordini degli elementi di K) e F (intuitivamente: una certa classe di funzioni di Skolem). Formalmente K ∪ O ∪ F viene definito come il pi`u piccolo insieme che soddisfa le seguenti propriet`a di chiusura:
1. m ∈ K e L(ω) ⊆ K;
2. se x ∈ K, allora l’ordine di x appartiene a O, ossia: x ∈ K ⇒ od (x) ∈ O;
3. se x ∈ K, allora le costanti occorrenti nella definizione ϕα(x) di x, in
breve cost(ϕα(x)), appartengono a K, ossia:
x ∈ K ⇒ cost(ϕα(x)) ∈ K;
4. se α ∈ O e le costanti occorrenti in ϕα(x) appartengono a K, allora
x ∈ K, in simboli:
α ∈ O, cost(ϕα(x)) ∈ K ⇒ x ∈ K;
5. se α ∈ O, le costanti occorrenti in ϕα(x) appartengono a K e y ∈ K,
allora le funzioni di Skolem designate di ϕα(y) appartengono ad F, in
simboli:
α ∈ O, cost(ϕα(x)) ∈ K, y ∈ K ⇒ *
fϕα,y∈ F ;
6. se h ∈ F e x1, ..., xn∈ K, allora h (x1, ..., xn) ∈ K;
7. se x, y ∈ K e x − y `e non-vuoto, allora il primo (cio`e il pi`u piccolo) elemento di x − y appartiene a K, ossia:
x, y ∈ K, x − y 6= ∅ ⇒ min(x − y) ∈ K.
G¨odel considera quindi l’insieme K ∪O ∪F : ciascuna delle condizioni 2-7 dice che questo insieme `e chiuso sotto una certa operazione. Dunque K ∪ O ∪ F `e il pi`u piccolo insieme che include L (ω) ∪ {m} ed `e chiuso sotto le operazioni
2-7. Dal momento che le operazioni 2-7 sono tutte valutate su domini al massimo numerabili e che la chiusura di un insieme infinito di cardinalit`a κ sotto un numero finito di operazioni valutate al pi`u numerabilmente `e ≤ κ, allora K ∪ O ∪ F `e numerabile, di conseguenza K `e numerabile e quindi `e soddisfatta la condizione (i) di cui sopra. K soddisfa banalmente il requisito (iii) sulla base della condizione di chiusura 1. La dimostrazione del fatto che K soddisfa anche il requisito (ii) di cui sopra `e abbastanza laboriosa e riposa essenzialmente sulla possibilit`a di enumerare gli elementi di O consecutivamente per mezzo di un segmento iniziale della classe dei numeri ordinali.
Questa in sintesi la strategia dimostrativa utilizzata da G¨odel nel Vortrag G¨ottingen. Come si sar`a notato si tratta di un approccio piuttosto intuitivo, ma poco costruttivo. Probabilmente per questa ragione egli elabor`o una dimostrazione “sintattica”, la quale, pur perdendo parte dell’immediatezza della strategia vista sopra, presenta tuttavia un alto grado di costruttivit`a.