Noncontraddittoriet` a dell’assioma di scelta universale

Nel capitolo VIII del suo 1940260 G¨odel osserva che la proposizione (1) `e un’immediata conseguenza del fatto che la classe L pu`o essere benordinata mediante una funzione as la quale, in qualsiasi insieme costruibile x, isola

259_{Come d’altronde nella dimostrazione semantica.} 260_{Cf. G¨odel 1990, pag. 87.}

l’elemento di ordine minimo. Per l’assioma di costruibilit`a si ha quindi che vale ACV e in particolare AC. La funzione as viene cos`ı definita:

hx, yi ∈ as ↔ y ∈ x ∧ ∀z ((od (z) < od (y)) → z /∈ x) .

Intuitivamente, per ogni x costruibile, as(x) `e “l’elemento designato di x” cio`e “l’elemento di x di ordine minimo”. A partire da as `e possibile definire una funzione C su ON la quale, ad ogni ordinale α associa l’ordine dell’elemento designato di F (α), ossia:

C(α) := od(as(F (α))).

Si noti che la funzione as vista come classe di coppie ordinate `e una sotto- classe di V × V che rappresenta un buon-ordinamento dell’universo V .

9.6.2. Noncontraddittoriet`a di GCH

La dimostrazione della proposizione (2) in G¨odel 1940 si basa sullo stesso lemma fondamentale di G¨odel *1939a ma `e molto pi`u dettagliata e, visto l’approccio sintattico e costruttivo, viene tralasciata ogni considerazione sul significato intuitivo dei passaggi fatti. Manca inoltre qualsiasi riferimento alle funzioni di Skolem, cos`ı centrali nella dimostrazione semantica.

La dimostrazione consta di una serie di lemmi che, attraverso una catena di implicazioni, dimostrano il seguente:

Teorema fondamentale. Se si assume l’assioma di costruibilit`a V = L, allora:

℘ (F “ωα) ⊆ F “ωα+1.

Intuitivamente il teorema dice che: l’insieme di tutti i sottoinsiemi del livello ωα della gerarchia costruibile `e incluso nel livello di cardinalit`a immediata-

mente successiva. Questo teorema pu`o forse essere espresso pi`u semplicemen- te come segue: si assuma che ogni insieme sia costruibile; per ogni insieme x, se x `e un sottoinsieme di F “ωα, allora l’ordine di x `e strettamente minore

di ωα+1.

Dal teorema fondamentale segue l’ipotesi generalizzata del continuo in- fatti, sappiamo che, per ogni ordinale α:

dunque avremo che:

2ℵα _{= ℘(ω}

α) = ℘(F “ωα) ≤ F “ωα+1 = ℵα+1.

Poich´e, per il teorema di Cantor, si ha che: 2ℵα _{> ℵ}

α,

si ha anche che:

2ℵα _{≥ ℵ}

α+1.

Quindi si avr`a che:

2ℵα _{= ℵ}

α+1.

Il teorema fondamentale segue dalla seguente:

Proposizione. Se m ⊆ ON `e chiuso rispetto alle operazioni C, K<sub>1</sub>, K<sub>2</sub>, J<sub>1</sub>, ..., J<sub>8</sub> e se inoltre G `e un isomorfismo da m su un certo ordinale γ rispetto alla relazione ∈, allora si ha che:

∀α∀β(α ∈ m ∧ β ∈ m → (F ‘α ∈ F ‘β ↔ F ‘G‘α ∈ F ‘G‘β)).

Questa proposizione segue a sua volta dai seguenti tre risultati ausiliari: Lemma 1. Se m ⊆ ON `e chiuso rispetto alle operazioni K₁, K₂, J₁, ..., J₈ e

se inoltre G `e un isomorfismo da m su un certo ordinale γ rispetto alla relazione ∈, allora si ha che:

1) G `e un isomorfismo per J₁, ..., J₈ ossia, se α, β ∈ m e i < 9, allora J_i‘ hG‘α, G‘βi = G‘J_i‘ hα, βi ;

2) γ `e chiuso rispetto a J₁, ..., J₈.

Lemma 2. Se m₁, m₂ ∈ ON sono entrambi chiusi rispetto a K₁, K₂, J₁, ..., J₈ e se inoltre G `e un isomorfismo di m₁ su m₂ allora si ha che per α, β ∈ m₁ e per i < 9:

Ji‘ hG‘α, G‘βi = G‘Ji‘ hα, βi .

Lemma 3. Se m₁, m₂ ∈ ON sono entrambi chiusi rispetto a C, K₁, K₂, J₁, ..., J₈ e se inoltre G `e un isomorfismo di m₁ su m₂, allora si ha che per α, β ∈ m1:

1) F ‘α ∈ F ‘β ↔ F ‘G‘α ∈ F ‘G‘β e 2) F ‘α = F ‘β ↔ F ‘G‘α = F ‘G‘β.

Rimandiamo a G¨odel 1940261 _{e a Takeuti et Zaring 1971}262 _{per le dimostra-}

zioni di questi tre lemmi e concludiamo invece questa presentazione schema- tica della dimostrazione di noncontraddittoriet`a relativa di GCH mostrando che la Proposizione implica il Teorema fondamentale.

Sia x un sottoinsieme di F “ωα. Chiaramente:

x ∈ ℘(F “ωα).

Per V = L abbiamo che x `e costruibile cio`e esiste un ordinale δ tale che: x = F ‘δ.

Consideriamo ora l’insieme ωα∪ {δ} e chiamiamo m la chiusura di ωα∪ {δ}

rispetto a C, K1, K2, J1, ..., Jn (cio`e il pi`u piccolo insieme chiuso rispetto a

C, K1, K2, J1, ..., Jn che include ωα∪ {δ} come sottoinsieme). Si pu`o dimo-

strare che: se X `e un insieme infinito e R1, ..., Rn sono relazioni univoche

a destra, allora la chiusura di X rispetto a R1, ..., Rn esiste, `e un insieme

ed ha la stessa cardinalit`a di X. Dunque in particolare avremo che m `e un insieme ed ha cardinalit`a ℵ<sub>α</sub>. Inoltre, essendo un insieme di ordinali, m `e ben-ordinato dalla relazione di appartenenza ∈ ed `e isomorfo a qualche nu- mero ordinale γ (si pu`o dimostrare infatti che ON e quindi ogni classe di numeri ordinali `e ben-ordinata dalla relazione ∈ e che se un insieme x `e ben ordinato da ∈ allora x `e isomorfo a un ordinale rispetto a ∈). Indichiamo con G l’isomorfismo che sussiste fra m e γ. Avremo quindi che:

G“m = γ.

Poich´e m e G soddisfano le ipotesi della Proposizione di cui sopra avremo che per ogni α, β ∈ m:

F ‘α ∈ F ‘β ↔ F ‘G‘α ∈ F ‘G‘β.

Consideriamo G‘δ. Dal momento che, per definizione, δ ∈ m avremo quindi che G‘δ ∈ γ cio`e che G‘δ < γ. Essendo G un isomorfismo e quindi in particolare una biezione avremo che:

γ = m = ω_α.

261_{Pagg. 88-96.} 262_{Pagg. 143-174.}

Dunque avremo che γ < ω_α+1 e quindi che:

G‘δ < ω_α+1. Abbiamo inoltre che per ogni ordinale β ∈ m:

F ‘β ∈ F ‘δ ↔ F ‘G‘β ∈ F ‘G‘δ.

Per definizione ω_α ⊆ m ed inoltre, essendo un ordinale, ωα `e transitivo.

Dunque ω_α `e un segmento iniziale di m. Di conseguenza ω<sub>α</sub> viene messo in corrispondenza, tramite G, con un segmento iniziale di γ. Ora, si pu`o dimostrare che: ogni segmento iniziale di un ordinale `e un ordinale. Dunque, di fatto, ωα viene messo in corrispondenza biunivoca, tramite G, con un

ordinale. Poich´e `e noto che: se esiste un’isomorfismo rispetto a ∈ fra due ordinali allora questo isomorfismo `e l’identit`<sub>a, avremo quindi che G  ω</sub>α `e

un’applicazione isomorfa di ωα su ωα. Detto altrimenti abbiamo che:

β ∈ ω_α → G‘β = β. Dunque per ogni β ∈ ω_α:

F ‘β ∈ F ‘δ ↔ F ‘β ∈ F ‘G‘δ

ovvero:

F ‘δ ∩ F “ωα = F ‘G‘δ ∩ F “ωα.

Ma per ipotesi F ‘δ = x e x ⊆ F “ωα, dunque:

F ‘δ = F ‘G‘δ ∩ F “ωα.

Poich´e si pu`o dimostrare che: ogni ordinale iniziale appartiene al codominio di J₀, allora avremo che:

ω_α∈ cod(J₀). Si pu`o inoltre dimostrare che, per ogni ordinale β:

β ∈ cod(J0) → F ‘β = F “β.

Avremo quindi in particolare che:

e quindi che:

x = F ‘δ = F ‘G‘δ ∩ F ‘ωα.

Chiaramente:

od(F “ωα) < ωα+1

ed essendosi mostrato sopra che G‘δ < ωα+1 si ha anche che:

od(F ‘G‘δ) < ωα+1.

Dunque, poich`e l’intersezione di due insiemi di ordine minore di un certo ordinale iniziale ha ancora ordine minore di quell’ordinale iniziale:

od(x) < ωα+1

e quindi come volevasi dimostrare:

x ∈ F “ωα+1.

In una nota aggiunta nel 1951 al testo del ’40 G¨odel fa un’interessante commento sulla dimostrazione. Egli osserva263 _{che la dimostrazione di non-}

contraddittoriet`a relativa di GCH pu`o essere estesa a GDC pi`u l’assioma dei cardinali inaccessibili o l’assioma dei cardinali di Mahlo, dal momento che ciascuno di questi due assiomi forti dell’infinito implica la propria forma rela- tivizzata al modello dei costruibili. Con ci`o l’autore sembra voler sottolineare il fatto che, anche estendendo la teoria degli insiemi con certi assiomi forti dell’infinito, la noncontraddittoriet`a relativa di GCH non viene a cadere.