Il sistema formale di G¨ odel

Nella monografia del 1940 G¨odel present`o un sistema formale, che qui indicheremo come GDC, il quale, sebbene formalmente ispirato a quello di Bernays, da un punto di vista concettuale sembra recuperare una distinzione fra insiemi e classi meno radicale di quella bernaysiana e pi`u vicina a quella neumanniana. Tuttavia, mentre la distinzione di von Neumann si basava su una forte ipotesi di limitazione di grandezza, quella di G¨odel viene ottenuta in modo pi`u debole e concettualmente pi`u banale: una classe `e un insieme se appartiene a qualche classe.

Da un punto di vista filosofico e concettuale il sistema GDC pu`o apparire quindi meno pregnante e perspicuo sia di VNC che di BSC, tuttavia dal punto di vista tecnico GDC rappresenta un passo avanti ed una notevole

semplificazione dei due sistemi precedenti. Il sistema di G¨odel sembra infatti coniugare la grande semplicit`a e immediatezza matematica di ZF con l’im- postazione pi`u ampia e concettualmente comprensiva dei sistemi per le classi alla von Neumann-Bernays.

A differenza di Bernays, G¨odel assume un unico predicato di appartenenza per insiemi e classi ∈. Come Bernays e a differenza di von Neumann, l’autore usa le lettere latine minuscole x, y, z come variabili per insiemi e le lettere latine maiuscole X, Y, Z per classi. Tuttavia nel sistema g¨odeliano in realt`a c’`e una sola sorta di variabili, tanto `e vero che vengono anche introdotti due predicati C e M da leggersi intuitivamente come “essere una classe” ed “essere un insieme”. Consideriamo ora gli assiomi di GDC.

Gruppo A.

Questo primo gruppo contiene gli assiomi che stabiliscono le relazioni fon- damentali fra insiemi e classi, l’estensionalit`a per classi e l’esistenza della coppia. Come si vedr`a, nel sistema di G¨odel manca la relazione di rappre- sentazione usata da Bernays per stabilire un termine di confronto fra insiemi e classi. Per G¨odel tutto `e classe e certe particolari classi sono insiemi. In tal senso mentre quella di Bernays `e una teoria degli insiemi e delle classi, quella di G¨odel pu`o essere definita semplicemente come una teoria delle classi. Per comodit`a anche noi useremo due sorta di variabili.

A1. Ogni insieme `e una classe, ossia: ∀xC(x).

A2. Ogni classe che appartiene ad una classe `e un insieme, in simboli: ∀X∀Y (X ∈ Y → M(X)).

A3. Se due classi hanno gli stessi elementi allora sono uguali: ∀z(z ∈ X ↔ z ∈ Y ) → X = Y.

A4. Dati due insiemi esiste l’insieme coppia (non-ordinata) di questi due insiemi, ossia:

Gruppo B.

Il secondo gruppo di assiomi di GDC stabilisce la chiusura del sistema sotto otto operazioni combinatorie su classi. Come si vedr`a gli assiomi di questo gruppo corrispondono grosso modo a quelli del IV gruppo di Bernays, tut- tavia le formulazioni di G¨odel si distinguono per la maggiore generalit`a. Si pensi ad esempio al fatto che la classe inversa (o conversa) qui non viene definita solo per il ristretto dominio delle classi di coppie ordinate, ma per tutte le classi. L’idea `e che, data una classe X, la classe inversa Y di X contiene tutte le inverse delle sue coppie ordinate; sugli elementi di X che non sono coppie ordinate non si dice niente. Quindi, queste operazioni su classi vengono definite da G¨odel facendo il minor numero possibile di ipotesi. B1. Esiste la classe E = {hx, yi : x ∈ y} cio`e l’estensione della relazione di

appartenenza ∈, in simboli:

∃X∀y∀z(hy, zi ∈ X ↔ y ∈ z).

B2. Il sistema `e chiuso rispetto l’operazione ∩ di intersezione: ∀X∀Y ∃Z∀v(v ∈ Z ↔ (v ∈ X ∧ v ∈ Y )).

B3. Il sistema `e chiuso rispetto all’operazione − di complemento, in simboli: ∀X∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ z /∈ X).

B4. Il sistema `e chiuso rispetto all’operazione dom di dominio ossia per ogni classe X, esiste la classe dei primi elementi delle coppie ordinate in X:

∀X∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∃v(hz, vi ∈ X)).

B5. Il sistema `e chiuso rispetto all’operazione di prodotto cartesiano di una classe per la classe universale V :

∀X∃Y ∀z∀v(hz, vi ∈ Y ↔ z ∈ X).

B6. Il sistema `e chiuso rispetto all’operazione di inverso, cio`e per ogni classe X esiste la classe inversa X−1, in simboli:

B7. Il sistema `e chiuso rispetto all’operazione cnv2 di seconda conversa,

cio`e:

∀X∃Y ∀z∀v∀w(hz, hv, wii ∈ Y ↔ hw, hz, vii ∈ X).

B8. Il sistema `e chiuso rispetto all’operazione cnv3 di terza conversa, cio`e:

∀X∃Y ∀z∀v∀w(hz, hv, wii ∈ Y ↔ hz, hw, vii ∈ X).

Gruppo C.

Il terzo gruppo del sistema di G¨odel contiene quattro assiomi relativi agli in- siemi, cio`e analoghi di quelli che in ZF sono l’assioma dell’infinito, l’assioma dell’unione, l’assioma dell potenza e lo schema di rimpiazzamento. Si noti per`o che qui il rimpiazzamento non `e dato come schema bens`ı come assio- ma. Di conseguenza, dato che in GDC non si assume neppure lo schema di separazione, questo sistema risulta essere finitamente assiomatizzato. Nel seguito abbrevieremo la formula ∀x∀y∀z(hx, yi ∈ Y ∧ hx, zi ∈ Y → y = z) con U n(Y ).225

C1. Esiste un insieme infinito, ossia:

∃x(∃y(y ∈ x) ∧ ∀z(z ∈ x → ∃v(v ∈ x ∧ z ⊂ v))).

C2. Per ogni insieme x esiste un insieme contenente gli elementi degli ele- menti di x:

∀x∃y∀z∀v(z ∈ v ∧ v ∈ x → z ∈ y).

C3. Per ogni insieme x esiste un insieme contenente tutti i sottoinsiemi di x:

∀x∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y).

C4. Per ogni insieme x e classe univoca a destra Y esiste l’insieme delle immagini di x tramite Y , in simboli:

∀x∀Y (U n(Y ) → ∃z∀v(v ∈ z ↔ ∃w(w ∈ x ∧ hw, vi ∈ Y ))).

Assioma D.

Si tratta dell’assioma di fondazione che fu introdotto per la prima volta in von Neumann 1925 e dimostrato noncontraddittorio in von Neumann 1929. Come osserv`o lo stesso G¨odel in una nota al testo aggiunta nel 1951, il primo ad aver formulato l’assioma nella forma da lui presentata e sotto il nome di “Fundierungsaxiom” fu Zermelo nel suo articolo del 1930. L’autore commenta questo assioma dicendo che esso pur non essendo indispensabile, semplifica notevolmente il lavoro. Si noti che qui G¨odel formula un assioma di fondazione pi`u generale di AF il quale si riferisce solo a insiemi. Indichiamo con ∩ l’operazione binaria di intersezione fra classi.

D. Ogni classe non vuota X contiene un elemento con nessun membro in comune con X, in simboli:

∀X(X 6= ∅ → ∃z(z ∈ X ∧ (z ∩ X = ∅))).

Assioma E.

Quello che G¨odel enuncia per ultimo `e una forma generale dell’assioma di scelta e in particolare di quello che noi abbiamo chiamato assioma di scelta universale, ACV_{. Come osserva l’autore, si tratta di una forma molto forte}

dell’assioma di scelta, infatti “essa fornisce la scelta simultanea, mediante una singola relazione, di un elemento da ogni insieme dell’universo in con- siderazione”.226 _{G¨odel fa altre due importanti considerazioni sull’assioma}

E: esso implica che l’universo pu`o essere ben-ordinato ed inoltre se esso `e noncontraddittorio rispetto agli altri assiomi allora anche AC, l’usuale forma dell’assioma di scelta, lo `e.

E. Esiste una classe univoca a destra che associa ad ogni insieme non vuoto y un suo elemento, in simboli:

∃X(U n(X) ∧ ∀y(y 6= ∅ → ∃z(z ∈ y ∧ hy, zi ∈ X)))

o, equivalentemente:

∃X(U n(X) ∧ ∀y(y 6= ∅ → X‘y ∈ y)).

Nella nota 9 di G¨odel 1940 l’autore spiega quelle che lui ritiene le principali differenze fra il suo sistema e quello di Bernays dal quale ha tratto spunto. Secondo l’autore le principali differenze fra GDC e BSC∗, cio`e il sistema di Bernays nella formulazione del ’37, starebbero nel fatto che:

1. in BSC∗, a differenza di GDC, non vengono identificati insiemi e classi che hanno la stessa estensione;

2. in BSC∗ si assume un assioma che postula l’esistenza della classe di tutti i singoletti il quale consente di rimpiazzare B1 e B8 con un solo assioma.

D’ora in avanti indicheremo con GDC il sistema individuato dai gruppi A, B, C, D, E di assiomi e con GD il sistema ottenuto da GDC tralasciando l’assioma di scelta universale cio`e l’assioma E.