Gli inediti

Il terzo volume dei Collected works ci ha messo a disposizione cinque contributi inediti sul problema del continuo: due lezioni illustrative di due differenti strategie per dimostrare la noncontraddittoriet`a relativa di GCH e tre brevi annotazioni in cui si discute una possibile estensione assiomatica della teoria degli insiemi che permetta di risolvere il problema del continuo.

Due strategie dimostrative

G¨odel *1939b costituisce probabilmente la pi`u chiara esposizione della dimostrazione di noncontraddittoriet`a dell’ipotesi del continuo nella forma semantica. Si tratta di una lezione accessibile ad un pubblico di non addetti ai lavori che al tempo stesso chiarisce alcuni particolari della dimostrazione esposta in G¨odel 1939a. Noi ci serviremo proprio di questa fonte inedita quan- do, nel capitolo 8, daremo le linee essenziali della dimostrazione semantica di noncontraddittoriet`a. In questa lezione G¨odel si richiama a Hilbert 1926 ricordando che il programma hilbertiano per la dimostrazione del teorema del continuo consisteva:

1. nell’isolare l’insieme delle funzioni definibili per recursione;

2. nel dimostrare che tale insieme pu`o essere messo in corrispondenza biunivoca con la seconda classe numerica cantoriana;

3. nel dimostrare che si pu`o assumere consistentemente che le altre funzio- ni matematiche “non conducono al di fuori del dominio delle funzioni definibili ricorsivamente”.184

In modo del tutto analogo, spiega G¨odel, la sua dimostrazione di noncon- traddittoriet`a relativa consiste:

1∗ nell’isolare una certa classe di insiemi, gli insiemi costruibili;

2∗ nel dimostrare che l’insieme di tutti gli insiemi costruibili di numeri naturali pu`o essere messo in corrispondenza biunivoca con la seconda classe numerica cantoriana;

3∗ nel dimostrare che si pu`o assumere consistentemente che gli altri me- todi definitori matematici “non conducono al di fuori del dominio degli insiemi costruibili”.185

Come si vede, Hilbert ebbe una grande influenza anche sui lavori insiemistici di G¨odel, un’influenza le cui espressioni pi`u chiare furono la dimostrazione sintattica contenuta in G¨odel 1940 ma soprattutto la lezione inedita tenuta alla Brown University sempre nel 1940.

G¨odel *1940a presenta almeno due grosse novit`a rispetto alle fonti con- siderate fino ad ora:

i. vi si trova un primo accenno alla cosiddetta “ordinal-definability”, la cui introduzione viene normalmente attribuita a G¨odel 1946 ;

ii. viene delineata una dimostrazione di noncontraddittoriet`a che si allon- tana sia da quella semantica che da quella sintattica e recupera invece il tentativo di dimostrazione di Hilbert non solo genericamente, ma anche in alcuni dettagli della strategia dimostrativa.

Quanto al primo punto G¨odel osserva che il punto di partenza della sua dimostrazione sta nella costruzione di un buonordinamento di tipo d’ordine ω1, non tanto di R, bens`ı delle possibili definizioni di R, seguendo quindi

la strategia delineata da Hilbert nel suo 1926. A tal fine, aggiunge G¨odel, sembra necessario presupporre i numeri ordinali e cos`ı, anzich´e considerare la collezione di tutti i numeri reali definibili, si andr`a a considerare l’insieme di tutti i numeri reali “definibili in termini di ordinali”.186 Come osserva Solovay in 1995, sebbene queste considerazioni euristiche poste all’inizio della lezione diano l’impressione che G¨odel confonda le due nozioni di “ordinal- definability” e di “costruibilit`a”, di fatto in un’osservazione successiva esse vengono nettamente distinte.

Veniamo ora al secondo punto rilevante di G¨odel *1940a. A pagina 15 di questa lezione vengono proposte due definizioni della nozione di “insieme

185_{Cf. G¨odel *1939b in G¨odel 1995, pag. 130.} 186_{Cf. G¨odel *1940a in G¨odel 1995, pag. 175.}

costruibile”: la prima `e la solita definizione che fa riferimento alla gerarchia ramificata di Russell, mentre la seconda fa riferimento a Hilbert 1926 ed `e anche stata soprannominata187 “G¨odel-ricorsivit`a”. Si tratta di una nozione di costruibilit`a secondo la quale un insieme si dice costruibile se `e definibile ricorsivamente in termini di numeri ordinali.

Gli assiomi quadrati

Nel 1970 G¨odel scrisse un breve articolo intitolato “Some considerations leading to the probable conclusion that the true power of the continuum is ℵ2”188 che intendeva pubblicare sui Proceedings of the National Academy

of Science. In questa nota proponeva quattro assiomi (poi soprannominati “assiomi quadrati di G¨odel”) dai quali sarebbe stato possibile derivare la proposizione:

2ℵ0 _{= ℵ}

2.

Probabilmente incerto della correttezza della sua dimostrazione, egli sped`ı l’articolo a Tarski il quale a sua volta lo sottopose a Solovay. Dall’analisi fatta da Solovay risult`o che la proposizione 2ℵ0 _{= ℵ}

2 non era derivabile da-

gli assiomi quadrati e di conseguenza che la dimostrazione di G¨odel doveva contenere qualche errore.189 _{Dunque l’articolo rest`o inedito e tuttavia l’au-}

tore non si perse d’animo e poco dopo aver ricevuto la risposta di Tarski ne schizz`o una seconda versione intitolandola “A proof of Cantor’s continuum hypothesis from a highly plausible axiom about orders of growth”.190 _Questo

inedito costituisce un’improvvisa inversione di tendenza rispetto all’opinione espressa da G¨odel negli anni Quaranta e Sessanta secondo la quale CH sa- rebbe stata falsa.191 _{Qui infatti l’autore sostiene che, sulla base degli assiomi}

quadrati da lui proposti, sembra possibile argomentare in modo convincente a favore della “verit`a dell’ipotesi del continuo”.192

Sempre nel 1970 G¨odel scrisse una seconda lettera (mai spedita) a Tarski che costituisce una terza versione dell’articolo193 la quale ritorna su posizio-

187_{Cf. Solovay 1995.} 188_{Cf. G¨odel *1970a.}

189_{Anche se, vista la parziale indecifrabilit`a dell’articolo, non era dato di sapere dove si}

trovassero gli errori.

190_{Cf. G¨odel *1970b.}

191_{Cf. G¨odel 1947 e G¨odel 1964.}

192_{Cf. G¨odel *1970b in G¨odel 1995, pag. 422.} 193_{Cf. G¨odel *1970c.}

ni simili a quelle sostenute nella prima versione pur manifestando qualche perplessit`a circa l’ultimo dei quattro assiomi proposti inizialmente.