L’assioma di costruibilit` a

Come, nel caso della gerarchia dei combinabili di von Neumann, si ipotiz- zava che tutti gli insiemi fossero combinabili, cos`ı, l’ipotesi che G¨odel intende avanzare per il modello dei costruibili `e che tutti gli insiemi siano costruibili. Si tratta di un principio di minimalit`a sulla base del quale per ogni insieme x esiste un certo livello α della gerarchia costruibile cui x appartiene, ossia esiste una formula elementare con parametri in L(α) che definisce x. In un sistema come ZF, l’assioma avr`a la seguente forma:

∀x∃α(x ∈ L(α)).

Analogamente all’ipotesi di combinabilit`a, in un sistema formale come GD in cui `e possibile parlare di classi, avremo che l’universo di tutti gli insiemi

235_{Per uno svolgimento completo della dimostrazione di questo teorema di vedano Cohen}

1966, Krivine 1971 e Jech 1978. Per alcune considerazioni introduttive si veda Solovay 1990.

costruibili sar`a esprimibile come la classe:

L := [

α∈ON

L(α)

e di conseguenza l’assioma di costruibilit`a assumer`a la semplice forma della seguente equazione:

V = L.

In G¨odel 1938 l’autore introduce l’assioma di costruibilit`a dicendo che il modello degli insiemi costruibili consta di tutti gli insiemi matematicamente costruibili in modo predicativo. In tale modello, spiega G¨odel, `e soddisfatta la proposizione “ogni insieme `e costruibile”. In questa sede egli aggiunge che l’assioma di costruibilit`a costituisce un “naturale completamento” di ZF in quanto “determina in modo definito la vaga nozione di insieme infinito arbitrario”.236 _{Come si vede, nella prima comunicazione dei suoi risultati di}

noncontraddittoriet`a, G¨odel esprime nei confronti dell’assioma di costruibi- lit`a una posizione simile a quella che nel 1928 von Neumann aveva assunto rispetto all’assioma di fondazione. Di fatto, da un punto di vista storico la noncontraddittoriet`a relativa di AF `e sempre stata interpretata in modo del tutto differente dalla noncontraddittoriet`a dell’assioma di costruibilit`a infatti l’assioma di fondazione `e stato visto per lo pi`u come un’ipotesi intuitivamente facile da accettare in quanto capace di eliminare certe forme di “circolarit`a” insiemistica. Lo stesso G¨odel, come osservato sopra, cambier`a diametralmen- te idea a proposito dello statuto aletico dell’assioma di costruibilit`a tanto `e vero che in G¨odel 1947 e poi in G¨odel 1964 questo principio viene consi- derato “falso” e in generale inadeguato come possibile completamento della teoria assiomatica degli insiemi.

In G¨odel 1939a l’assioma di costruibilit`a viene introdotto senza commen- ti237 _{come la proposizione “non esiste alcun insieme non-costruibile”.}

In G¨odel *1939b troviamo alcune interessanti considerazioni sull’assioma di costruibilit`a che ne mettono molto bene in evidenza significato e rilevanza. L’autore osserva238 <sub>che la nozione di costruibilit`a, come ogni altra nozione</sub>

insiemistica, deve essere relativizzata a un certo modello della teoria degli insiemi. Come la numerabilit`a di un dato insieme pu`o essere valutata solo

236_{Cf. G¨odel 1938 in G¨odel 1990, pag. 27.}

237_{E senza prese di posizione rispetto al suo statuto epistemologico e aletico.} 238_{Cf. G¨odel *1939b in G¨odel 1995, pag. 133.}

all’interno di un dato modello, cos`ı anche la sua costruibilit`a `e valutabile solo relativamente a un certo modello della teoria degli insiemi.

G¨odel spiega quindi che, come dal fatto che un insieme sia numerabile in un dato modello non segue che quell’insieme sia attualmente numerabile, cos`ı, in linea di principio, dal fatto che un insieme sia costruibile in un certo modello non si ha necessariamente che quell’insieme sia perci`o attualmente costruibile. Tuttavia, aggiunge l’autore, di fatto “il concetto di costruibilit`a ha una certa propriet`a di invarianza”.239

In particolare, spiega G¨odel, il concetto di costruibilit`a non cambia se relativizzato al modello degli insiemi costruibili e di conseguenza si ha che gli insiemi costruibili dentro il modello degli insiemi costruibili e gli insiemi attualmente costruibili sono gli stessi. Da ci`o segue anche che nel modello degli insiemi costruibili vale l’assioma di costruibilit`a.

Nelle ultime righe di questa conferenza G¨odel fa un’interessante osser- vazione che mette in evidenza un cambiamento di prospettiva rispetto al- l’articolo del 1938. L’autore afferma che l’assioma di costruibilit`a sembra essere intrinsecamente interessante dal momento che potrebbe trattarsi di una proposizione “assolutamente indecidibile”.240 Per G¨odel questo assio- ma potrebbe cio`e giocare un ruolo analogo a quello del quinto postulato di Euclide, creando una biforcazione della teoria degli insiemi in due sistemi. Questa posizione `e anche molto diversa da quella espressa in G¨odel 1947 e in G¨odel 1964 dove la situazione epistemologica della teoria degli insiemi viene esplicitamente distinta da quella delle geometrie. Di fatto, a partire per lo meno dalla seconda met`a degli anni Quaranta, G¨odel assumer`a una posizione marcatamente realista e fondazionalista rispetto alla teoria degli insiemi, sul- la base della quale l’assioma di costruibilit`a non pu`o essere “assolutamente indecidibile”. Il punto di vista dell’autore sull’assioma di costruibilit`a dopo il 1945 contempler`a esclusivamente la possibilit`a di verificarne la verit`a o fal- sit`a sulla base di un opportuno completamento assiomatico della teoria degli insiemi.

Anche in G¨odel *1940a troviamo un’interessante osservazione relativa alla nozione di costruibilit`a che G¨odel vuole distinguere da quella di definibilit`a dal momento che essa “non coincide completamente col significato intuiti- vo della definibilit`a”.241 <sub>L’autore nota come l’assioma di costruibilit`a possa</sub>

239_{Cf. G¨odel *1939b in G¨odel 1995, pag. 133.} 240_{Cf. G¨odel *1939b in G¨odel 1995, pag. 155.} 241_{Cf. G¨odel *1940a, pag. 176.}

sembrare problematico rispetto agli altri assiomi della teoria degli insiemi in quanto contenente la nozione metamatematica di costruibilit`a. Con impli- cito riferimento alla g¨odelizzazione, G¨odel afferma che si `e mostrato come “proposizioni metamatematiche possano essere tradotte in proposizioni ma- tematiche”242 _{e che di conseguenza l’assioma di costruibilit`a e la sua noncon-}

traddittoriet`a rispetto agli assiomi della teoria degli insiemi possono essere considerate come proposizioni matematicamente sensate.

Come in G¨odel *1939b anche nella lezione inedita del ’40 viene proposta una caratterizzazione informale della nozione di assolutezza che trover`a una precisazione formale solo nella monografia del 1940. L’autore osserva che,243

sebbene ci si possa aspettare che l’assioma di costruibilit`a sia valido nel mo- dello degli insiemi costruibili, ci`o non `e affatto banale: come un dato insieme che sia numerabile in un modello M1 pu`o risultare essere non-numerabile in

un altro modello M2, cos`ı un un insieme costruibile in V potrebbe non esserlo

in L. In tal senso, spiega G¨odel, uno dei passaggi fondamentali della dimo- strazione di noncontraddittoriet`a dell’assioma di costruibilit`a consister`a nel far vedere che la nozione di costruibilit`a “ha una certa propriet`a di invarianza rispetto a differenti modelli”.244