Considerazioni conclusive

Con questo capitolo dedicato all’argomento ontologico abbiamo potuto apprezzare come G¨odel sia riuscito a utilizzare degli strumenti propri della moderna logica matematica per tentare di affrontare un problema apparte- nente alla tradizione filosofica.

Come abbiamo visto, si possono muovere numerose critiche all’argomento g¨odeliano e, tuttavia, `e anche possibile trovare risposte, pi`u o meno decisive, a tali obiezioni.

La cosa davvero importante, a nostro parere, resta comunque il tentativo dell’autore di affrontare con strumenti matematici o per lo meno formali, una questione ontologica e metafisica. Come vedremo, l’idea di cercare di dare un fondamento rigoroso ad una tesi filosofica forte dal punto di vista ontologico sar`a uno degli elementi caratterizzanti le riflessioni g¨odeliane in particolare negli anni Cinquanta e Sessanta.

Seconda Parte

Teoria degli insiemi

Introduzione

Il luogo in cui meglio si pu`o apprezzare il punto di vista g¨odeliano sull’on- tologia della matematica sembra essere la teoria degli insiemi, dove la nozione di numero ordinale, una nozione in qualche modo “costitutiva” di tutta quan- ta la disciplina, sembra inevitabilmente legata a qualche procedura definitoria impredicativa.149

Un altro elemento di forte impredicativit`a della teoria degli insiemi con- siste nella presenza (in tutte le pi`u importanti assiomatizzazioni) di un’ope- razione, quella di “insieme potenza” o “insieme delle parti”, che consente di passare in modo del tutto non-costruttivo, da un insieme dato all’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi.

Il modello degli insiemi costruibili, proposto e usato da G¨odel alla fi- ne degli anni Trenta per dimostrare la noncontraddittoriet`a dell’ipotesi del continuo e dell’assioma di scelta, servir`a proprio a limitare al massimo l’im- predicativit`a presente nella nozione di insieme potenza, introducendo una condizione sul tipo di sottoinsiemi che si ammettono quando si passa da un insieme al suo insieme delle parti.

G¨odel stesso non consider`o il suo tentativo come un’eliminazione del- l’impredicativit`a, bens`ı come un’applicazione di una strategia costruttiva ad una teoria essenzialmente non-costruttiva. Proprio per questa ragione ci `

e sembrato opportuno dedicare a questo tema la parte centrale del nostro lavoro.

Nel capitolo 5 presenteremo una breve cronologia del percorso intellettuale g¨odeliano nell’ambito della teoria degli insiemi ed in particolare daremo una panoramica di tutti i suoi scritti sul tema.

Nel capitolo 6 esporremo i due principi di riferimento per comprendere i risultati e le riflessioni g¨odeliane nell’ambito della teoria degli insiemi: l’as- sioma di scelta (AC) e l’ipotesi del continuo (CH). Ci soffermeremo anche su alcune interessanti affermazioni di G¨odel sull’assioma di scelta, rinviando invece l’ampia discussione g¨odeliana del problema del continuo di Cantor al capitolo 11.

Nel capitolo 7 vedremo il sistema assiomatico per la teoria degli insiemi formulato da G¨odel nel 1940 e lo confronteremo con altri sistemi formali come ad esempio ZFC, il sistema di von Neumann e quello di Bernays.

149_{Si pensi alla definizione neumanniana di “numero ordinale”, ed in particolare quella}

Nei capitoli 8, 9 e 10 parleremo dei modelli per la teoria degli insiemi proposti da G¨odel nel 1938 e nel 1946: il modello degli insiemi costruibili e quello degli insiemi definibili in termini di ordinali. In particolare vedre- mo le linee essenziali della dimostrazione g¨odeliana di noncontraddittoriet`a dell’assioma di scelta e dell’ipotesi generalizzata del continuo.

Infine nell’undicesimo capitolo presenteremo il cosiddetto “programma di G¨odel” per nuovi assiomi della teoria degli insiemi ed in particolare la pro- posta g¨odeliana del 1970 dei cosiddetti “assiomi quadrati” per una soluzione definitiva del problema del continuo.

5. G¨odel e la teoria degli insiemi

5.1. Una breve cronologia

Secondo una serie di testimonianze raccolte da Dawson150 _sembrerebbe

che G¨odel abbia iniziato a studiare teoria degli insiemi gi`a all’universit`a di Vienna (probabilmente sotto la guida di Hahn) e che abbia cominciato a riflettere e a lavorare sul primo problema di Hilbert (per l’appunto l’ipotesi del continuo) pi`u o meno nello stesso periodo in cui affront`o il secondo151 (plausibilmente fra il 1928 e il 1929).

Nel 1928 (e poi di nuovo nel 1930) egli richiese alla biblioteca dell’uni- versit`a di Vienna l’articolo di Skolem intitolato “Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begr¨undung der Mengenlehre” (1923). L’importanza di que- sta lettura per i successivi lavori insiemistici di G¨odel sembra essere stata davvero notevole. In quest’articolo il logico norvegese affrontava varie que- stioni relative all’assiomatizzazione della teoria degli insiemi, alcune delle quali sembrano aver pesato molto sui lavori g¨odeliani sulla costruibilit`a.

Nel 1930 G¨odel richiese inoltre la Einleitung in die Mengenlehre152 di Abraham A. Fraenkel, e i volumi dei Mathematische Annalen e della Mathe- matische Zeitschrift in cui erano contenuti i due articoli di John von Neu- mann intitolati rispettivamente “ ¨Uber die Definition durch transfinite In- duktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre” (1928) e “Die Axiomatisierung der Mengenlehre” (1925) ed infine il volume delle G¨ottingen Nachrichten in cui era stato pubblicato “Mathematische Probleme”. Sem- pre nel corso di quest’anno, secondo una testimonianza diretta raccolta da Hao Wang,153 _{G¨odel sent`ı parlare per la prima volta della dimostrazione del}

“teorema del continuo” delineata in Hilbert 1926.

Nel 1931 il nostro autore richiese un prolungato prestito dell’articolo di Fraenkel (pubblicato nel 1922) intitolato “Der Begriff ‘definit’ und die Una- bh¨angigkeit des Auswahlaxioms”. Probabilmente in questo stesso anno154 G¨odel partecip`o ad un seminario di Hahn dedicato alla teoria degli insiemi.

Nel 1932 egli visit`o G¨ottingen dove conobbe Gentzen e probabilmente anche Zermelo. Sembra plausibile che in quest’occasione (se non prima)

150_{Cf. Dawson 1997, cap. 6.}

151_{Dimostrare la noncontraddittoriet`a dell’analisi.}

152_{Plausibilmente si trattava della terza edizione pubblicata nel 1929.} 153_{Cf. Wang 1981.}

G¨odel abbia avuto l’opportunit`a di leggere l’articolo “ ¨Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche”155 di Zermelo e di conseguenza di approfondire lo studio della gerarchia cumulativa (per altro gi`a presente, almeno embrionalmente negli articoli del ’28 di von Neumann) che avrebbe poi rappresentato la pietra di paragone da cui partire nel definire la gerarchia degli insiemi costruibili.

Nel 1933 G¨odel fece un breve viaggio negli Stati Uniti per visitare lo IAS di Princeton. Nel corso di questo suo primo periodo di permanenza negli Stati Uniti tenne la lezione intitolata “The present situation in the foundations of mathematics” a Cambridge.

Secondo Dawson fu proprio nel periodo che intercorse fra il primo ed il secondo viaggio a Princeton (1935) che G¨odel concep`ı l’idea della gerarchia L degli insiemi costruibili e comprese il fatto che questa classe possiede un buonordinamento definibile. In tal modo `e assai probabile che gi`a nel 1935 egli avesse ottenuto la dimostrazione di noncontraddittoriet`a dell’assioma di scelta e sembra verosimile che non abbia pubblicato subito questo risultato in quanto il suo reale obiettivo era una dimostrazione di noncontraddittoriet`a per CH e per ¬CH.

Soltanto nel 1937 G¨odel present`o in pubblico il suo risultato sull’assioma di scelta. In quello stesso anno tenne anche un corso intitolato Axiomatik der Mengenlehre testimoniato dalle note manoscritte di G¨odel e da Andrzej Mo- stowski che fu uno degli studenti. Sulla base delle note e della testimonianza diretta di Mostowski risulterebbe che in quella sede G¨odel non fece menzione dell’assioma di costruibilit`a.156 _{In realt`a fu proprio in questo periodo che}

l’autore fece il progresso decisivo nella dimostrazione di noncontraddittoriet`a dell’ipotesi del continuo tanto `e vero che nel luglio di quell’anno comunic`o il suo successo prima a von Neumann157 _{ed in seguito a Karl Menger. Fu pro-}

babilmente questo l’anno in cui G¨odel lavor`o pi`u intensamente al problema del continuo tanto `e vero che il Nachlass contiene tre quaderni di appunti risalenti alla seconda met`a del ’37 in cui sorprendentemente non si trovano i dettagli della dimostrazione di noncontraddittoriet`a di CH, bens`ı vari tenta- tivi di estendere ulteriormente questo risultato.158 _{In una lettera a Menger}

155_{Cf. Zermelo 1930.}

156_{Secondo il quale: tutti gli insiemi sono costruibili (cio`e sono definibili}

“predicativamente” in un senso opportunamente ampliato della parola).

157_{Che immediatamente propose la pubblicazione almeno del risultato sull’assioma di}

scelta negli Annals of Mathematics.

158_{Plausibilmente nel senso di ottenere una dimostrazione di noncontraddittoriet`a anche}

del 15 dicembre 1937 leggiamo infatti:159

L’estate scorsa ho continuato il mio lavoro sul problema del continuo e alla fine sono riuscito a dimostrarne la noncontraddittoriet`a (persino dell’ipo- tesi generalizzata del continuo 2ℵα _{= ℵ}

α+1) con la teoria degli insiemi ...

Al momento sto tentando di dimostrare anche l’indipendenza dell’ipotesi del continuo, ma non so ancora se ci riuscir`o.160

Nel 1938 G¨odel lavor`o ancora al problema del continuo tanto che, sulla base di una lettera a von Neumann,161 <sub>`e possibile stabilire come entro l’au-</sub>

tunno di quell’anno egli avesse terminato la stesura di un articolo dettagliato sulla sua dimostrazione di noncontraddittoriet`a. In autunno egli intraprese un terzo viaggio a Princeton.162 _{Poco dopo il suo arrivo negli Stati Uniti}

sped`ı un annuncio dei suoi risultati di noncontraddittoriet`a ai Proceedings of the National Academy of Science che fu poi pubblicato col titolo “The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypo- thesis”.163 In quello stesso anno egli tenne un corso di teoria degli insiemi presso l’I.A.S. per il quale redasse dettagliate note manoscritte che pi`u tardi furono rielaborate e pubblicate nella celebre monografia del 1940.

Del 1939 sono un ulteriore annuncio dei suoi risultati spedito al Bulletin of the American Mathematical Society, pubblicato col titolo “The consistency of the generalized continuum hypothesis”164 _{e l’articolo “Consistency for the}

generalized continuum hypothesis”165 che rappresenta il punto di riferimen- to per la cosiddetta “dimostrazione semantica” della noncontraddittoriet`a di CH. Sempre di quest’anno `e una lezione inedita sulla dimostrazione di noncontraddittoriet`a tenuta a G¨ottingen.166

Del 1940, oltre alla gi`a menzionata monografia,167<sub>`e un’altra lezione inedi-</sub>

ta168 _{(sempre sulla dimostrazione di noncontraddittoriet`a) tenuta alla Brown}

159_{Cf. G¨odel 2003a, pag. 114.} 160_{Il corsivo `e mio.}

161_{Cf. G¨odel 2003a, pag. 361.} 162_{Sempre su invito di von Neumann.} 163_{Cf. G¨odel 1938.}

164_{Cf. G¨odel 1939.} 165_{Cf. G¨odel 1939a.}

166_{Pubblicata postuma solo nel terzo volume dei Collected works nel 1995 col titolo di}

“Vortrag G¨ottingen”. D’ora in poi ci riferiremo ad essa come a G¨odel *1939b.

167_{Cf. G¨odel 1940.}

168_{Anch’essa pubblicata postuma in G¨odel 1995 col titolo di “Brown University lecture”.}

University. L’interesse di questa fonte sta nel fatto di richiamarsi esplicita- mente al tentativo di dimostrazione delineato in Hilbert 1926.

Anche se dopo il 1940 manca una documentazione scritta di ulteriori svi- luppi delle ricerche g¨odeliane sulla teoria degli insiemi, secondo Dawson e Wang, egli continu`o a lavorare (anche se sempre meno intensamente) al pro- blema del continuo nel tentativo di dimostrare l’indipendenza di CH. Pur non avendo avuto successo in questo suo obiettivo egli riusc`ı a dimostrare l’indipendenza dell’assioma di scelta. A riprova del fatto che G¨odel conti- nu`o a lavorare sul tema `e l’articolo del 1946 intitolato “Remarks before the Princeton bicentennial conference on problems in mathematics” in cui viene introdotta la nozione di “ordinal-definability”.

E’ comunque cosa certa169 che a partire dalla met`a circa degli anni Qua- ranta G¨odel cominci`o a nutrire una certa insofferenza per una questione (l’in- dipendenza di CH) che restava ancora irrisolta nonostante un lavoro di ricerca di quasi un decennio. Questo fatto, unito ad un progressivo spostamento dei suoi interessi verso la filosofia, fecero s`ı che, a partire dal 1946170 _G¨odel

abbia almeno temporaneamente abbandonato il suo impegno attivo come insiemista.171

Negli anni Cinquanta egli torn`o, in vari scritti rimasti inediti fino al 1995, su questioni insiemistiche discusse da un punto di vista prettamente filosofico. E’ invece molto probabile che, nel corso degli anni Sessanta, l’interesse di G¨odel sia tornato con un certo vigore su questioni insiemistiche, anche da un punto di vista tecnico, da un lato, perch`e ebbe un ruolo decisivo nel far accettare i lavori di Paul Cohen alla comunit`a dei logici172 e, dall’altro, perch´e proprio alla fine degli anni Sessanta fece una proposta per la soluzione del problema del continuo che denotava fino a che punto il suo interesse fosse rimasto alto su questo tema.

169_{Si vedano al riguardo Wang 1981 e 1996.}

170_{Con la stesura del suo articolo filosofico sul problema del continuo.}

171_{Sebbene non il suo interesse per la teoria degli insiemi e per una sua caratterizzazione}

assiomatica pi`u precisa.