In che senso l’aritmetica intuizionista ` e costruttiva?

3. Matematica costruttiva

3.4. La “Dialectica interpretation”

3.4.9. In che senso l’aritmetica intuizionista ` e costruttiva?

Come abbiamo anticipato sopra, in Gödel *1941 viene posta molta at- tenzione, più che sulle dimostrazioni di noncontraddittorietà, sui risultati riguardanti specificamente l’intuizionismo e la matematica costruttiva.

A pagina 199 della conferenza di Yale troviamo infatti un’applicazione della “Dialectica” che costituisce una prima risposta al quesito “In what sense is intuitionistic logic constructive?”. Secondo Gödel un primo senso in cui, in particolare, l’aritmetica intuizionista è costruttiva è il seguente:

se si dimostra una proposizione esistenziale ∃xϕ(x) in HA, allora la sua

D_{-traduzione ∃xϕ}D_{(x) sar`}_{a dimostrabile in T. Ci`}_{o significa che `}_{e possibile}

costruire un termine t tale che in T si dimostri ϕD(t).

Abbiamo visto come in *1941 e già prima in 1933a Gödel criticasse la restrizione intuizionista rispetto alle dimostrazioni di esistenza non-costruttive, visto che poi venivano ammesse formule come ¬∀xϕ(x). Con l’applicazione della “Dialectica” vista qui sopra, l’autore sottolinea il fatto che, nonostante tutto, è possibile attribuire un significato genuinamente costruttivo ai teoremi esistenziali.

In modo del tutto analogo, l’altra restrizione inessenziale imposta dagli intuizionisti alla logica classica, quella del principio del terzo escluso, pu`o essere in qualche modo legittimata o per lo meno spiegata nel senso che `e possibile costruire una formula aritmetica ϕ(x) tale che ¬∀x(ϕ(x) ∨ ¬ϕ(x)) `

e noncontraddittoria rispetto alla logica intuizionista. Questa `e chiaramente una genuina restrizione rispetto alla logica classica visto che la formula ¬∀x(ϕ(x) ∨ ¬ϕ(x)) non pu`o essere mai aggiunta consistentemente ad un sistema formale classico.

Un’ultima applicazione della “Dialectica interpretation” riguarda il principio di Markov o meglio la cosiddetta “regola di Markov”:

¬¬∃xϕ(x) ⇒ ∃xϕ(x)

per ϕ ricorsiva primitiva. Al riguardo in Gödel *1941 l’autore spiega come una dimostrazione di esistenza classica, cioè la dimostrazione di una formula della forma ∃xϕ(x), possa essere resa costruttiva mediante l’interpretazioneD purché ϕ(x) sia una proprietà decidibile dei numeri. Gödel attribuisce certa- mente grande importanza a questa applicazione tanto è vero che la richiama anche nel suo 1972 dove possiamo leggere:113

... il principio di Markov ... `e banalmente dimostrabile per ogni funzione ricorsiva primitiva ϕ. Questo attribuisce un interesse a questa interpretazione della logica intuizionista ... persino se presupponiamo la logica di Heyting ...

Questa citazione è piuttosto rilevante in quanto lo schema di Markov non è accettato dal punto di vista intuizionista dal momento che risulta essere falso per la teoria delle “lawless sequences”.114 In tal senso la T di Gödel sembra costituire davvero un sistema che ben realizza l’idea di cercare un paradigma di costruttività chiaramente distinto da quello intuizionista.

113_{Cf. G¨}_{odel *1941 in G¨}_{odel 1990, pag. 276.} 114_{Cf. al riguardo Troelstra 1973 e 1990.}

3.5. Considerazioni conclusive

Concludiamo questo terzo capitolo con alcune considerazioni generali di carattere storico.

(1) I primi lavori gödeliani sulla logica e sull’aritmetica intuizionista si collocano negli anni immediatamente successivi alla dimostrazione dei teoremi di incompletezza. Si potrebbe pensare che Gödel, sulla base del necessario ripensamento del programma di Hilbert che l’incompletezza imponeva, si volse a considerare in modo più approfondito l’approccio intuizionista ai fondamenti della matematica in quanto questo, pur costituendo un punto di vista più restrittivo di quello classico, rappresentava comunque un’estensione del punto di vista hilbertiano nel senso che in esso veniva ammesso l’uso di nozioni astratte.

Ben presto per`o G¨odel riusc`ı a mettere in evidenza alcuni difetti del- l’approccio intuizionista (la nozione di “dimostrazione costruttiva”, le restrizioni inessenziali che i sistemi intuizionisti imponevano ai sistemi classici, ecc ...).

(2) Nella seconda metà degli anni Trenta Gödel cominciò a mettere a fuoco una nozione di costruttività che rappresentava un deciso miglioramento rispetto a quella intuizionista. Tale nozione veniva definita sulla base dei seguenti criteri di costruttività:

(a) l’universo di discorso, l’ontologia intesa di un sistema costruttivo deve essere numerabile;

(b) le relazioni primitive devono essere decidibili e le funzioni primitive devono essere calcolabili;

(d) le definizioni impredicative (compresa l’autoapplicazione di un oggetto a se stesso) devono essere evitate (ovunque possibile). Quest’ultimo punto è il più problematico e tuttavia in varie occasioni Gödel sottolineò il fatto che le restrizioni genuine poste dall’intuizionismo alla matematica classica non fossero quelle logiche ma quelle relative alla matematica superiore ed in particolare proprio ai metodi di definizione impredicativi.

(3) Nei primi anni Quaranta Gödel precisò questa nozione o “paradigma” di costruttività nel sistema T e, usando la “Dialectica interpretation” riusc`ı, da un lato, a dare una lettura “davvero costruttiva” dell’aritmetica intuizionista, dall’altro, a fornire una dimostrazione di noncontrad- dittorietà dell’aritmetica di Peano con strumenti deduttivi più forti di quelli finitisti e “più deboli” di quelli usati da Gentzen. E’ importan- te ricordare che la “Dialectica interpretation” può essere ricondotta al programma di Hilbert non solo in quanto ottiene una dimostrazione di consistenza nel modo più costruttivo possibile, ma anche perché, dal punto di vista tecnico, costituisce una rielaborazione della nozione di funzionale formulata in Hilbert 1926.

4. L’argomento ontologico

4.1. Introduzione

E’ ben noto che già negli anni Venti Gödel lesse le principali opere di Kant e che negli anni Trenta si dedicò piuttosto intensamente allo studio di alcuni scritti di Leibniz.115 _{Fu probabilmente dalla frequentazione di questi}

due autori che derivò il tentativo fatto da Gödel nel 1941 di formalizzare il cosiddetto “argomento ontologico” per l’esistenza di Dio di Anselmo d’Aosta. Il tema, si sa, era centrale nella “Dialettica trascendentale” della Critica della ragion pura di Kant e venne affrontato a più riprese, spesso in polemica con Cartesio, da Leibniz.

Dall’attento esame del Nachlass fatto da Dawson nel corso degli anni Ottanta è risultato che Gödel tornò più volte sul tema della formalizzazione dell’argomento ontologico negli anni Quaranta e Cinquanta. Mancano riscontri per quanto riguarda la decade successiva e tuttavia fu proprio nel 1970 che egli rese in qualche modo pubblico il suo tentativo, mostrando uno schizzo di dimostrazione a Dana Scott.

All’epoca Gödel era tormentato dalla paura di scomparire prematura- mente e, temendo che la sua dimostrazione rimanesse completamente sco- nosciuta, pensò di riferirla a una persona di fiducia, evitando comunque la pubblicazione. Scott stese delle note dell’argomento e lo presentò, sempre nel 1970, all’interno di un seminario sull’implicazione logica all’università di Princeton.116

Lo schizzo di dimostrazione mostrata da G¨odel a Scott venne pubblicata, assieme alle note, nel 1987 da Jordan H. Sobel in appendice ad un articolo intitolato “G¨odel’s ontological proof”. Poi, nel 1995, quello stesso schizzo117 fu pubblicato nel terzo volume dei Collected works con un’introduzione storico- filologica di Robert M. Adams118 _{e con alcuni stralci del Nachlass riguardanti}

l’argomento ontologico e alcune nozioni ad esso associate.

115_{Cf. al riguardo Wang 1981, 1987, 1996 e Dawson 1997.}

116_{Le note storiche che riportiamo qui sono dovute a Sobel 1987, a Dawson 1997 e}

soprattutto alla nota introduttiva di Robert M. Adams (Adams 1995 ) relativa al materiale inedito sull’argomento ontologico pubblicato nel terzo volume dei Collected works.

117_{Cf. G¨}_{odel *1970.} 118_{Cf. Adams 1995.}

4.2. Motivazioni

Dal diario di Oskar Morgenstern, una delle persone più vicine a Gödel per tutto il periodo da lui trascorso a Princeton, risulta che Gödel non volle pubblicare la sua formalizzazione dell’argomento ontologico non tanto perché questa non lo convincesse o non lo soddisfacesse, quanto piuttosto per timore che si potesse pensare:119

... che lui di fatto credesse in Dio, mentre lui era impegnato solo in una ricerca logica (cio`e nel mostrare che una tal prova `e possibile con assunzioni classiche ... corrispondentemente assiomatizzate).

Di conseguenza, il tentativo di G¨odel dovrebbe essere visto solo come un esercizio di formalizzazione e come un’applicazione della logica modale semmai all’ontologia generale ma non certo alla teologia.

L’idea che l’argomento gödeliano non avesse finalità teologiche né religiose non deve però oscurare il fatto che l’autore poteva tuttavia aspirare ad utilizzare questo risultato per derivarne considerazioni filosofiche o magari fon- dazionali. In tal senso sembra infatti interpretabile la seguente affermazione presente in un quaderno di appunti filosofici di Gödel:120

... Se la dimostrazione ontologica è corretta, allora si può ottenere un’intui- zione a priori dell’esistenza (attualità) di un oggetto non concettuale.

Dunque, seguendo quest’ultima lettura dell’argomento ontologico, il tentativo gödeliano potrebbe essere inserito nell’ambito delle ricerche filosofiche che Gödel nella Gibbs lecture defin`ı come una fondazione rigorosa del platonismo. La possibilità di avere conoscenza matematicamente fondata dell’esistenza (necessaria) di un oggetto sommamente perfetto potrebbe cioè essere vista come un primo passo verso una fondazione rigorosa di un’ontologia realista o platonista.

In quanto esercizio di formalizzazione e in quanto applicazione della logica modale normale S5, abbiamo pensato di inserire questo contributo nella prima parte del nostro lavoro.

119_{Dal diario di Morgenstern, 29 agosto 1970, Dip.} _{collezioni rare, Duke University}

Library, Durham, North-Carolina.

120_{Intitolato con la sigla Max XI collocabile in un periodo di tempo non ben precisato}

4.3. Propriet`a positive

Come sottolineato da Sobel121 _{e da Adams,}122 _{l’argomento ontologico di}

Gödel non è imparentato direttamente con quello esposto per la prima volta da Anselmo d’Aosta nel Proslogion (basato sulla nozione di “Ens quo maius cogitari nequit”) né con quello di Cartesio (fondato sulla nozione di “Ens perfectissimus”), bens`ı con quello di Leibniz. Come Leibniz, Gödel definisce Dio come un ente dotato di tutte le perfezioni possibili ossia come un oggetto che gode di tutte le proprietà puramente e illimitatamente positive.

Ma cosa intendeva di preciso Gödel per “proprietà positiva”? Non è facile rispondere a questa domanda, anche perché le poche e frammentarie affer- mazioni dell’autore al riguardo non sono affatto coerenti e chiare. L’unica definizione rigorosa e comprensibile è quella che emerge dagli assiomi e dai postulati proposti da Gödel per l’argomento. Può tuttavia essere utile pre- sentare prima la nozione leibniziana di “proprietà positiva” per poi avere un termine di confronto nel descrivere quella gödeliana.

Leibniz defin`ı la nozione di propriet`a positiva o perfezione come:123

... ogni qualità semplice, che sia positiva ed assoluta, tale cioè, che, ciò che esprime, lo esprime senza limiti.

Emergono quindi tre caratteristiche fondamentali della nozione leibniziana di perfezione:

- l’essere qualità (e quindi non relazione ma proprietà interna o più semplicemente monadica);

- la semplicit`a (e quindi non analizzabilit`a); - l’assolutezza (nel senso di assenza di limiti).

E’ sulla base di queste tre caratteristiche che Leibniz, in polemica con Car- tesio, tentò di dimostrare che tutte le perfezioni sono compatibili. Anche Gödel cercò di dimostrare questo fatto ossia tentò di provare, nei termini da lui usati, che l’esistenza di Dio è possibile, che un oggetto dotato di tutte le perfezioni può esistere. Tuttavia, nessuna delle definizioni informali date da Gödel del termine “perfezione” è del tutto riconducibile a quella leibniziana.

121_{Cf. Sobel 1987.} 122_{Cf. Adams 1995.}

Consideriamo alcune delle definizioni date da G¨odel.124 _{Nell’articoletto}

del 1970 che presenta l’argomento con tutti i dettagli essenziali troviamo almeno due differenti caratterizzazioni della nozione di propriet`a positiva. La prima, con cui si conclude G¨odel *1970, afferma:125

(a) “positivo significa positivo nel senso morale estetico (indipendentemente dalla struttura accidentale del mondo).”

Qui “positivo” viene letto come “buono in assoluto”, assumendo quindi che si diano dei valori indipendenti dalle contingenze storiche o fisiche del mondo. Questa prima definizione `e difficilmente confrontabile con quella leibniziana, ma, almeno per un tratto sembra decisamente differente: si tratta di una caratterizzazione in termini di valori morali o estetici, mentre la nozione leibniziana parrebbe svincolata da considerazioni di questo tipo.

La seconda caratterizzazione presente in G¨odel *1970 dice:126

(b) “[Positivo] lo si pu`o intendere anche come pura “attribuzione” in quanto opposta a “privazione” (oppure “contenente privazione”).”

Questa seconda definizione sembra più vicina della precedente a quella leibniziana. Pur non facendo riferimento alla semplicità, il fatto di essere pura attribuzione sembrerebbe implicare che una perfezione non sia una relazione ma piuttosto una proprietà monadica che sia positiva in modo illimitato (altrimenti conterrebbe una qualche privazione).

In nota G¨odel fornisce tuttavia una spiegazione del termine “attribuzione” che rende impossibile interpretare le perfezioni come propriet`a monadiche, infatti vi leggiamo:127

Dunque, nel giro di poche righe, in G¨odel *1970 troviamo ben tre possibili letture del termine “perfezione” o “propriet`a positiva”: una morale-estetica, una ontologica ed infine una logica. Nessuna delle tre viene spiegata suf- ficientemente, ma di tutte e tre queste interpretazioni troviamo tracce nei quaderni di appunti del Nachlass dedicati all’argomento ontologico.

124_{Cf. al riguardo G¨}_{odel 1995, pagg. 403-404, 429-437.} 125_{Cf. G¨}_{odel 1995, pag. 404.}

126_{Cf. G¨}_{odel 1995, pag. 404.}

A pagina 106 di Phil XIV troviamo una definizione che richiama sia la (a) che la (b):128

E’ possibile interpretare il positivo come perfezione; ossia come “puramente buono”, cio`e tale che non implichi alcuna negazione di “puramente buono”.

Ancora a pagina 106 dello stesso quaderno di appunti leggiamo una definizione analoga alla (b), ossia:129

Una propriet`a `e una perfezione se e solo se non implica nessuna negazione di una perfezione.

Infine a pagina 108 sempre di Phil XIV G¨odel d`a una caratterizzazione che ricorda la (c) ossia:130

Le propriet`a positive sono precisamente quelle che si possono formare a partire da quelle elementari mediante applicazione delle operazioni ∧, ∨, →.

Non `e facile stabilire con precisione il significato di quest’ultima definizione, soprattutto in considerazione del fatto che le proposizioni costruite con i connettivi ∧, ∨, → non escludono implicite negazioni visto che, classicamen- te, l’implicazione e la congiunzione sono traducibili in termini di negazione e disgiunzione e la disgiunzione pu`o esser letta in termini di negazione e congiunzione.

Di fatto queste brevi caratterizzazioni non hanno sufficiente omogeneità per determinare un’immagine chiara di come Gödel intendesse le proprietà positive. Per questo occorre passare ad analizzare gli assiomi gödeliani per l’argomento ontologico i quali, implicitamente, definiscono la nozione di perfezione rigorosamente e univocamente.

4.4. L’argomento di G¨odel

Presentiamo qui di seguito l’argomento ontologico informalmente cercan- do di seguire fedelmente la stesura del 1970. Nel paragrafo successivo esporre- mo invece un sistema formale modale, basato su idee di Richard Montague,131

128_{Cf. G¨}_{odel 1995, pag. 434.} 129_{Cf. G¨}_{odel 1995, pag. 434.} 130_{Cf. G¨}_{odel 1995, pag. 436.} 131_{Cf. Montague 1970.}

Daniel Gallin132 _{e Melvin Fitting,}133 _{in cui `}_{e possibile formalizzare le idee di}

G¨odel in ogni dettaglio.

Col simbolo P(ϕ) Gödel indica il fatto che la proprietà ϕ è una perfezione. Il formalismo da lui usato è un po’ ambiguo ammettendo che, a seconda dei contesti, ϕ possa indicare una variabile per proprietà o una metavariabile per proposizioni. Inoltre l’autore non sembra fare distinzioni fra termini intensionali ed estensionali.

Il primo assioma dato da G¨odel `e il seguente:

P(ϕ) ∧ P(ψ) → P(ϕ ∧ ψ). (1)

Intuitivamente esso dice che: l’intersezione di due proprietà positive è, a sua volta, una proprietà positiva. Si tratta di un assioma piuttosto delicato che l’autore commenta in nota dicendo che esso vale “per qualsiasi numero di addendi” cioè per ogni numero di congiunti. Si osservi che se non si vuole utilizzare una logica infinitaria, la precisazione di Gödel significa: per qualsiasi numero finito di congiunti. Tuttavia non è escluso a priori che le proprietà positive possano essere infinite e quindi non è detto che questo assioma ci possa dare informazioni sull’intersezione generalizzata di tutte le proprietà positive.

L’autore d`a come secondo assioma il seguente:

P(ϕ) ∨ P(¬ϕ) (2)

aggiungendo che la disgiunzione va letta in modo esclusivo, ossia: o la pro- prietà ϕ è positiva oppure la proprietà ¬ϕ è positiva, ma non possono essere entrambe positive né entrambe negative.

Gödel prosegue poi con due definizioni: quella di “Dio” o “oggetto divino” e quella di “essenza” o “proprietà essenziale” di un oggetto. Dio viene definito come “l’ente che gode di tutte le proprietà positive”, ossia come segue:

G(x) ↔ ∀ϕ(P(ϕ) → ϕ(x)), (3)

dove G(x) sta per “x `e divino”. Per essere precisi qui vien definita solo la nozione di “oggetto divino”, per l’unicit`a occorre dare una dimostrazione opportuna.

132_{Cf. Gallin 1975.} 133_{Cf. Fitting 2002.}

La definizione dalla nozione di essenza o di proprietà essenziale è quella di “una proprietà che implica necessariamente tutte le proprietà di un oggetto dato”, ossia:

E(ϕ, x) ↔ ∀ψ(ψ(x) → ∀y(ϕ(y) → ψ(y))), (4) dove E (ϕ, x) sta per “ϕ è una proprietà essenziale di x”. Gödel commenta questa definizione dicendo che due qualsiasi essenze di un oggetto x sono equivalenti, dunque, assumendo il principio di identità degli indiscernibili, se un oggetto x ha una proprietà essenziale allora questa è unica. Abbiamo qui una definizione piuttosto controintuitiva, visto che di solito siamo abituati a pensare all’essenza di un oggetto come alla sua proprietà più fondamentale, come alla proprietà di x senza la quale x non è x. L’essenza definita qui da Gödel è invece una proprietà che implica s`ı le proprietà fondamentali di x ma anche (se ne ha) quelle contingenti. Si osservi che l’autore non richiede che l’essenza di un oggetto x sia una proprietà dell’oggetto x.

L’argomento di Gödel prosegue con un terzo assioma riguardante ancora le proprietà positive. Esso afferma che le perfezioni sono “rigide” o “stabili” da mondi possibili a mondi possibili, ossia che se una proprietà è positiva nel mondo attuale, allora lo è in qualsiasi mondo possibile e che, viceversa, se è negativa attualmente, allora lo è in qualsiasi mondo. Formalmente avremo i due seguenti assiomi:

P(ϕ) → P(ϕ), (5.1)

¬P(ϕ) → ¬P(ϕ). (5.2)

Assumendo come logica modale di base gli assiomi di S5, (5.1) e (5.2) risul- tano essere dimostrabilmente equivalenti. Gödel spiega questi due assiomi dicendo che essi seguono “dalla natura della proprietà”. Si tratta di un com- mento telegrafico e piuttosto criptico, tuttavia se le perfezioni devono essere interpretate come proprietà logicamente positive e quindi positive in modo indipendente dallo stato del mondo, allora esso non sembra poi del tutto fuori luogo.

Il primo teorema enunciato, ma non dimostrato, da G¨odel `e il seguente:

G(x) → E (G, x). (6)

Esso stabilisce che l’essenza di un oggetto divino consiste proprio nel posse- dere tutte le proprietà positive cioè nell’essere un oggetto divino. Dunque l’essere divino di un dato oggetto x ne implica tutte le proprietà.

Segue la definizione della nozione di esistenza necessaria, cio`e:

N (x) ↔ ∀ϕ(E (ϕ, x) → ∃yϕ(y)). (7) Intuitivamente, un oggetto x esiste necessariamente, in simboli N (x), se ogni sua proprietà essenziale è esemplificata in ogni mondo possibile. Ecco che finalmente disponiamo di un esempio di proprietà positiva, cioè appunto l’esistenza necessaria. La constatazione di questo fatto costituisce il quarto assioma proposto da Gödel, cioè:

P(N ), (8)

l’esistenza necessaria `e una perfezione.

A questo punto l’autore enuncia, di nuovo senza dimostrarlo, un secondo teorema che stabilisce che se un oggetto x è divino, allora esso è esemplificato in ogni mondo possibile, cioè, esiste necessariamente. In simboli:

G(x) → ∃yG(y). (9)

Attraverso tre passaggi inferenziali, Gödel deduce un terzo teorema che esprime quello che è noto, nella letteratura sull’argomento ontologico, come principio di Anselmo, cioè: l’esistenza di Dio è impossibile o necessaria. In forma implicativa, il teorema ci dice che se l’esistenza di Dio è possibile, allora è necessaria:

♦∃xG(x) → ∃yG(y). (10) L’autore commenta questo risultato dicendo che l’antecedente ♦∃xG(x) significa che “il sistema di tutte le proprietà positive è compatibile”, dove per compatibile si intende noncontraddittorio. Con ciò egli formula implicitamente un quarto teorema:

♦∃xG(x), (11)

il quale sarebbe dimostrabile sulla base di un quinto e ultimo assioma. Si tratta della proposizione secondo cui “tutte le propriet`a implicate (necessariamente) da una propriet`a positiva sono positive”, ossia:

P(ϕ) ∧ (ϕ → ψ) → P(ψ). (12)

Questo assioma, spiega Gödel, implica che la proprietà espressa dalla formula x = x sia positiva (essendo una proprietà tautologica è implicata da qualsiasi proprietà, quindi, in particolare, da tutte le proprietà positive e dunque anche

da N ). Di conseguenza, poiché, per (2), non è ammesso che una proprietà e la sua negazione siano entrambe positive, la proprietà espressa dalla formula x 6= x sarà negativa. Abbiamo cos`ı un altro esempio di perfezione ed un primo esempio di propriet`_{a negativa. Chiaramente da (10) e (11) segue ∃xG(x) e} quindi l’esistenza di Dio risulta dimostrata.

Per concludere la nostra descrizione informale dell’argomento ontologico di G¨odel ci restano solo da spiegare i tre passaggi inferenziali che giustificano la deduzione del principio di Anselmo dal teorema (9).

Il primo passaggio si ottiene per logica dei quantificatori cio`e per genera- lizzazione e per il lemma predicativo classico:

∀x(ϕ(x) → ψ) → (∃xϕ(x) → ψ) (13)

dalla formula (9). Il secondo `e dato dall’applicazione del teorema modale del sistema K:

(ϕ → ψ) → (♦ϕ → ♦ψ). (14) Il terzo ed ultimo passaggio si ottiene sfruttando un teorema dimostrabile sia

Nel documento Teoria degli insiemi, logica e filosofia nei Collected works di Kurt Gödel (pagine 85-97)