6. Due grandi questioni aperte
6.1.2. L’assioma di Zermelo
Nel celebre articolo del 1904 “Beweis dass jede Mengen wohlgeordnet wer- den kann” pubblicato sui Mathematische Annalen Ernst Zermelo scriveva:198
Ad ogni sottoinsieme M0 di un dato insieme M si associa un elemento m01 che occorre in M0 stesso e che pu`o essere detto l’elemento “distinto” di M0.
Si tratta probabilmente della prima formulazione esplicita di AC nella let- teratura matematica. Dunque la prima formulazione dell’assioma di scelta affermava l’esistenza, per ogni famiglia di insiemi non-vuoti, di una funzio- ne di scelta, che facesse corrispondere ad ogni insieme M della famiglia, uno ed un solo membro di M . La forma pi`u generale di questo principio, dimostrabilmente equivalente a quella di Zermelo `e la seguente:
ACf Per ogni insieme M esiste una funzione f che associa ad ogni elemento non-vuoto m di M un unico membro f (m) ∈ m.
Dopo aver elencato le principali conseguenze del teorema del buonordina- mento (fra cui il cosiddetto teorema dell’aleph e il principio di tricotomia dei cardinali) Zermelo osservava come la sua dimostrazione fosse basata sull’as- sunzione dell’esistenza, in generale, di funzioni di scelta persino per famiglie infinite di insiemi non-vuoti. Egli notava inoltre come in matematica questa assunzione venisse usata “senza esitazioni” come un principio logico irriduci- bile ad altri e indimostrabile. Zermelo sembrava quindi voler giustificare AC sulla base del dato di fatto che questo principio fosse gi`a molto usato in ma- tematica ed in particolare venisse usato per dimostrare risultati ampiamente condivisi dai matematici. Di fatto questo tentativo di legittimazione di AC nel 1904 fu il presagio delle critiche che caratterizzarono gli anni successivi e cui Zermelo tent`o di porre rimedio coi due articoli del 1908 in cui dava una nuova dimostrazione del teorema del buonordinamento e, rispettivamente, la prima assiomatizzazione della teoria degli insiemi, il cosiddetto sistema Z.199
Nel 1908 Zermelo formulava AC come segue:200
197Fra questi vanno menzionati: Giuseppe Peano, Rodolfo Bettazzi e Beppo Levi. 198Cf. Zermelo 1904, pag. 514 oppure in van Heijenoort 1967, pagg. 139-140.
199Che includeva gli assiomi di estensionalit`a, separazione, insiemi elementari, potenza,
unione, infinito e scelta.
Un insieme S che possa essere scomposto in un insieme di parti disgiun- te A,B,C,... ciascuno contenente almeno un elemento, possiede almeno un sottoinsieme S1 che abbia esattamente un elemento in comune con ciascuna
delle parti A,B,C,... considerate.
Detto altrimenti:
AC Se un insieme S `e ripartito in una famiglia F di insiemi non-vuoti e a due a due disgiunti, allora esiste almeno un sottoinsieme T di S che ha esattamente un membro in comune con ogni membro di F .
Si tratta di una formulazione del cosiddetto assioma moltiplicativo di Russell e secondo Zermelo questa forma di AC, a differenza di quella funzionale del 1904, avrebbe dovuto evidenziarne meglio il “carattere puramente oggetti- vo”. Richiamandosi agli utilizzi di AC fatti da Dedekind, Cantor, Schoenflies e K¨onig, egli sosteneva che questa situazione potesse essere spiegata solo sul- la base dell’“autoevidenza” di tale principio ed in tal senso notava che pur trattandosi di un criterio soggettivo, quello dell’autoevidenza avesse un im- portante ruolo in matematica, per lo meno come fonte di nuovi principi. In queste osservazioni di Zermelo troviamo due tratti che caratterizzano la fase pi`u matura del platonismo g¨odeliano: la fiducia nell’intuizione matematica come strumento euristico e la critica di ogni tentativo di trascurare l’esistenza di tale intuizione.201
Come gi`a nel 1904, anche nel suo 1908, Zermelo cercava di giustificare AC con una lista di risultati “importanti” che lo richiedevano per essere dimo- strati.202 Egli portava esempi tratti dalla teoria degli insiemi, dall’algebra e
dall’analisi probabilmente per mettere in evidenza il fatto che l’uso essenziale di questo principio non costituiva solo un’anomalia insiemistica.
I due articoli di Zermelo del 1908 non sortirono effetti positivi. Molti matematici in Francia, Germania, Inghilterra e Italia rimasero su posizioni fortemente critiche tanto pi`u che negli anni successivi fu fatta una scoperta che sembr`o mettere irrimediabilmente in crisi lo statuto dell’assioma di scelta.
201In Zermelo si trova inoltre l’idea che i risultati accettati dalla comunit`a dei matematici
vanno legittimati anche con strumenti e principi nuovi apparentemente discutibili e incerti.
202Zermelo cita i seguenti teoremi: 1. Ogni insieme Dedekind-finito `e finito; 2. Le
rispettive unioni di due famiglie di insiemi disgiunti, equipotenti, sono ancora equipotenti; 3. Se M `e un insieme disgiunto di insiemi, l’insieme M× = nS ⊆S M : M ∩ S = 1o `e vuoto se e solo se uno degli elementi di M `e vuoto; 4. Esiste una classe di Hamel; 5. Esistono funzioni reali discontinue f tali che f (x + y) = f (x) + f (y) per ogni x, y; 6. Il teorema dell’unione; 7. Il principio di partizione.
Nel 1914 Felix Hausdorff pubblic`o un articolo in cui dimostrava, facendo uso essenziale di AC, il seguente:
Teorema. Una sfera S pu`o essere scomposta in quattro insiemi disgiunti S = A ∪ B ∪ C ∪ Q tali che:
(i) gli insiemi A, B, C sono fra loro congruenti;
(ii) l’insieme B ∪ C `e congruente a ciascuno degli insiemi A, B, C; (iii) Q `e numerabile.
Il punto (ii) risultava paradossale, nel senso che B ∪ C si dimostrava es- sere congruente ad una sua sottoparte propria; si aveva infatti la seguente conseguenza del teorema di Hausdorff:
Corollario. Esiste una scomposizione di una sfera tale che la met`a della sfera risulta essere congruente ad un terzo della stessa sfera.
Questa conseguenza paradossale del teorema di Hausdorff fu messa in eviden- za da Borel il quale nella seconda edizione delle sue Le¸cons sur la th´eorie des fonctions (1914) attribuiva l’origine del paradosso proprio all’applicazione dell’assioma di scelta.
In realt`a questo paradosso pu`o essere spiegato in due modi molto differen- ti. Come osserva Moore nel suo 1982 la fonte del paradosso di Hausdorff pu`o essere indivituata s`ı nell’uso dell’assioma di scelta, ma anche nell’esistenza di una soluzione per il problema della misura di Lebesgue. In altre parole, la paradossalit`a del corollario visto sopra scompare non appena si osserva il fatto che i sottoinsiemi di S devono essere non-misurabili.