I testi pubblicati

Fra i lavori pubblicati da G¨odel sul problema del continuo di Cantor ve ne sono quattro di natura tecnica e due173 _{di carattere prettamente espositivo e}

critico.

Riferimenti tecnici

G¨odel 1938 costituisce la prima comunicazione ufficiale dei risultati di noncontraddittoriet`a. Qui viene formulato il teorema secondo cui l’ipotesi generalizzata del continuo (GCH), l’assioma di scelta (AC), e due proposizio- ni di teoria descrittiva degli insiemi sono noncontraddittorie174 _{rispetto alla}

teoria assiomatica degli insiemi di von Neumann175 oppure rispetto al siste- ma di teoria dei tipi dei Principia Mathematica176 _{oppure ancora rispetto al}

sistema di Zermelo-Fraenkel.177 _{G¨odel afferma che la dimostrazione da lui}

proposta `e costruttiva in quanto se si ottenesse una contraddizione dal si- stema assiomatico esteso con le quattro proposizioni in questione, allora tale contraddizione sarebbe ottenibile di gi`a nel sistema non esteso. Al tempo stesso la dimostrazione non pu`o esser considerata tanto costruttiva da essere finitaria. Essa consta infatti della costruzione di un modello che verifica tutti gli assiomi del sistema assiomatico di base ed inoltre le quattro proposizioni di cui sopra. Dal momento che il modello viene costruito sulla base delle stesse nozioni e quindi degli stessi assiomi del sistema assiomatico di base, la sua definizione presuppone un’assunzione transfinita178 <sub>e cio`e la postulazione</sub>

della noncontraddittoriet`a del sistema non esteso.

Gi`a in questa prima comunicazione G¨odel si richiama a Bertrand Rus- sell dicendo che gli insiemi costruibili si ottengono estendendo la gerarchia ramificata dei tipi di Russell in modo da includere anche gli ordini transfiniti.

173_{Di fatto due versioni differenti di uno stesso articolo.}

174_{Si tratta delle due seguenti proposizioni: a) esistono insiemi lineari non misurabili tali}

che sia essi che i loro complementi sono proiezioni biettive di complementi bidimensionali di insiemi analitici; b) esistono complementi lineari di insiemi analitici della potenza del continuo i quali non contengono alcun sottoinsieme perfetto.

175_{Esposta in von Neumann 1929.} 176_{Vedi Whitehead et Russell 1910.} 177_{Vedi Fraenkel 1925.}

Nel suo 1938 G¨odel introduce l’assioma di costruibilit`a (denotato col simbolo A) “ogni insieme `e costruibile” e fa un interessante commento che testimonia una posizione filosofica molto diversa di quella degli anni seguenti. L’autore osserva infatti che l’assioma di costruibilit`a costituisce un “comple- tamento naturale” della teoria degli insiemi nel senso che esso fornisce una convincente precisazione del concetto di insieme infinito.

G¨odel 1939, come detto sopra, costituisce un’altra brevissima comunica- zione in questo caso per`o riguardante pi`u che altro la noncontraddittoriet`a (relativa) di GCH (e solo in seconda battuta dell’assioma di scelta). Qui tro- viamo la prima definizione del modello degli insiemi costruibili formulata in termini di una recursione transfinita179 _{sull’esempio della “gerarchia cumula-}

tiva”. In questo breve articolo si sottolinea il fatto che sebbene il modello in questione sia un modello interno (ossia definito dentro il sistema assiomatico non esteso), l’approccio utilizzato per la dimostrazione `e fortemente “seman- tico”;180 infatti vi si afferma che opportuni livelli transfiniti della gerarchia costruibile costituiscono due modelli per uno dei sistemi assiomatici per la teoria degli insiemi e soddisfano anche GCH.

In G¨odel 1939a troviamo la prima dimostrazione dettagliata (anche se ancora a livello non formalizzato) della noncontraddittoriet`a relativa di GCH e di AC. In esso viene specificato il sistema assiomatico di riferimento, e cio`e il sistema di Zermelo del 1908 in cui venga opportunamente precisata la nozione di “definite Eigenschaft” in termini di “funzione proposizionale sul sistema di tutti gli insiemi”.

In G¨odel 1940 troviamo l’unica dimostrazione del risultato di noncon- traddittoriet`a che l’autore abbia svolto in tutti i dettagli. La monografia `e suddivisa in otto capitoli. Nel primo vengono dati gli assiomi del sistema formale di riferimento.181 Nel quinto capitolo viene data una nuova caratte- rizzazione che potremmo definire “sintattica” o “finitaria” della classe degli insiemi costruibili. Nei capitoli sesto e settimo si dimostra, rispettivamente, che il modello degli insiemi e delle classi costruibili costituisce un modello degli assiomi g¨odeliani per la teoria degli insiemi e dell’assioma di costrui- bilit`a. L’ultimo capitolo, in linea con G¨odel 1939a anche se in modo molto

179_{In cui si specifica qual `e il livello 0 della gerarchia costruibile, qual `e il livello α + 1}

se `e dato il livello α della gerarchia, ed infine qual `e il livello ξ della gerarchia se ξ `e un ordinale limite.

180_{Cio`e implica un notevole impegno ontologico.</sub> 181<sub>Quattro gruppi pi`u l’assioma di scelta.}

pi`u dettagliato e formale, presenta la dimostrazione del fatto che l’assioma di costruibilit`a implica AC e GCH.

Riferimenti filosofici

G¨odel pubblic`o un solo articolo filosofico ed espositivo interamente dedica- to alla teoria degli insiemi. Si tratta del celebre “What is Cantor’s Continuum Problem?” pubblicato per la prima volta nel 1947 e poi nuovamente in una versione rivista ed ampliata nel 1964. Nel 1945 l’allora editore dell’American Mathematical Monthly chiese a G¨odel di scrivere un articolo introduttivo ed espositivo sul problema del continuo. Egli, seppur con qualche esitazione, ac- cett`o l’incarico e verso la met`a del 1946 comunic`o all’editore che, pur avendo terminato la stesura del lavoro, desiderava ancora un po’ di tempo per qual- che modifica. Soltanto nel maggio dell’anno successivo G¨odel sped`ı l’articolo all’editore che lo fece pubblicare immediatamente.

Questo saggio consta di quattro sezioni dedicate rispettivamente al con- cetto di numero cardinale, ad una panoramica dei risultati pi`u rilevanti otte- nuti fino a quel momento circa la cardinalit`a del continuo, ad una possibile riformulazione del problema del continuo ed infine ad una proposta per una soluzione del problema.

Nel 1963 Paul Benacerraf e Hilary Putnam chiesero a G¨odel di poter ristampare questo suo saggio nella loro antologia di scritti di filosofia del- la matematica. In quella circostanza il nostro autore esit`o molto prima di concedere questo permesso temendo possibili strumentalizzazioni antipositi- vistiche del suo articolo. Benacerraf gli assicur`o che gli avrebbe sottoposto l’introduzione dell’antologia e che gli editori intendevano dare una panorami- ca di contributi, senza fare particolari assunzioni filosofiche. A questo punto il nostro concesse il permesso di ristampa purch´e si trattasse di una versione opportunamente rivista ed ampliata. La revisione fu fatta in parte in colla- borazione con lo stesso Benacerraf ed alla fine furono apportate un centinaio di modifiche182 e vennero aggiunti un ampio supplemento in cui si discuteva- no alcuni nuovi risultati ritenuti di grande importanza ed un breve poscritto relativo alla dimostrazione di indipendenza di Cohen.183

L’importanza di questo articolo sembra difficilmente sovrastimabile. In- nanzitutto esso presenta l’esposizione pi`u chiara e accessibile data da G¨odel del problema del continuo di Cantor e dell’ipotesi del continuo. In secondo

182_{Moltissime stilistiche.}

luogo l’analisi dello “status quaestionis” del problema del continuo ne mette in evidenza in maniera estremamente efficace la portata matematica (insie- mistica) ed epistemologica. Infine il fatto di poter disporre di due versioni cos`ı distanti nel tempo e cos`ı profondamente diverse fra loro ci permette di valutare il mutato punto di vista filosofico del nostro autore negli anni Sessanta rispetto agli anni Quaranta.