Sia t9⃗(%) il risultante delle forze esterne agenti su un sistema qualunque e sia É9⃗ la quantità di moto totale dello stesso sistema. Allora si ha:
KÉ9⃗
KL = t9⃗(%)
(NB: Questa relazione vale per i sistemi di riferimento inerziali).
DIM: Consideriamo la definizione di quantità di moto per un sistema discreto e deriviamola nel tempo:
KÉ9⃗
KL = K
KLñ ê"8"
"
= ñ K
KLê"8"
"
Dove abbiamo portato la derivata all’interno della sommatoria in quanto la somma è finita.
La massa, per il secondo principio della dinamica, è una costante e quindi posso portarla fuori dalla derivata. Infine, per definizione, la derivata della velocità nel tempo è
l’accelerazione:
= ñ ê" K KL8"
"
= ñ ê"P"
"
=⏞
<%>>% K-8$(?%8)(+% $%++( $"8(?"L(
ñ ó⃗"
"
Dove ó⃗" è la forza agente sul singolo punto i. Tale termine può essere riscritto come la somma di due contributi:
ñ ó⃗"
"
= t9⃗(%)+ t9⃗(")
Che sono rispettivamente il risultante delle forze esterne e il risultante delle forze interne agenti sul sistema. Ora, per il principio di azione e reazione, sappiamo che le forze interne sono a due a due uguali in modulo e direzione e opposte in verso, quindi si annullano a vicenda, ovvero:
t9⃗(") = 0 Quindi otteniamo la tesi:
KÉ9⃗
KL = ñ ó⃗"
"
= ñ t9⃗"(%)
"
= t9⃗(%)
Sia G il centro di massa di un sistema qualunque e sia m la massa totale di tale sistema.
Allora vale la seguente relazione con la quantità di moto del sistema:
É9⃗ = ê8⃗=
DIM: Consideriamo la definizione del vettore posizione (ò − C) che individua il centro di massa:
(ò − C) =∑ ê" "(A"− C)
Dove O è l’origine del sistema di riferimento. Ora, se deriviamo tale vettore posizione nel ê tempo, otteniamo che:
K
KL(ò − C) = 8⃗= =∑ ê" K
KL (A" − C)
"
ê = ∑ ê" "8"
Ora, moltiplicando entrambi i membri per la massa totale del sistema e notando che la ê sommatoria a destra è la definizione di quantità di moto del sistema, otteniamo la tesi:
É9⃗ = ê8⃗= 38) Il centro di massa è solidale al corpo rigido.
Sia G il centro di massa di un corpo rigido. Allora G è solidale al corpo stesso, ovvero per tale punto vale la formula generale di atto di moto rototraslatorio:
8⃗= = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (ò − U)
Dove A è un qualunque altro punto appartenente al corpo rigido.
DIM: Consideriamo il vettore (ò − U):
(ò − U) =∑ ê" "(A"− U)
Dove m è la massa totale del sistema. Derivando nel tempo otteniamo: ê K
KL(ò − U) = 8⃗= − 8⃗/ = ∑ ê" "(8⃗" − 8⃗/)
Ora, sappiamo che tutti i punti i-esimi appartengono al corpo rigido così come A, quindi ê possiamo riscrivere la velocità di tali punti usando la formula generale dell’atto di moto rototraslatorio:
8⃗" = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (A" − U) Sostituendo avremo dunque:
8⃗= − 8⃗/ = ∑ ê" "(8⃗/ + b99⃗ ∧ (A" − U) − 8⃗/)
ê = ∑ ê" "Mb99⃗ ∧ (A"− U)N
Dal momento che la velocità angolare non dipende dal pedice i (infatti è la stessa per tutti i ê punti del corpo rigido), possiamo portarla fuori dalla sommatoria e portiamo la massa al membro di destra del prodotto vettore:
b ∧∑ ê" "(A"− U)
Ma quella tra parentesi è proprio la definizione del vettore (ò − U) data a inizio ê dimostrazione, quindi otteniamo che:
8⃗= = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (ò − U)
Il che significa che il centro di massa è solidale al corpo rigido a cui appartiene.
39) Proprietà di simmetria.
Sia ö un sistema simmetrico in massa e in forma rispetto ad un piano. Allora il centro di
DIM: Supponiamo, senza perdite di generalità, che il piano di simmetria del corpo sia il piano xy (õ = 0). Se il corpo è dotato di simmetria di forma e di massa, vuol dire che per ogni punto A" di massa ê" e coordinate (D6, E6, õ6) esiste un punto É", simmetrico rispetto al suddetto piano, di massa ê" (simmetria di massa) e di coordinate (D6, E6, −õ6)
(simmetria di forma). Allora, per la definizione di centro di massa del sistema:
(ò − C) =∑ ê" "(A"− C)
Abbiamo che le coordinate z delle coppie di punti simmetrici, dal momento che questi ê hanno uguale massa, si elidono, ovvero la coordinata z del centro di massa sarà:
õ= =∑ ê" "õ"
ê = 0
Quindi il centro di massa apparterrà al piano di simmetria del corpo.
40) Formula del trasporto per il momento di una forza.
Sia ö un sistema qualunque (discreto o continuo). Fissati due punti A e B appartenenti al sistema, si ha che la relazione tra i due momenti sarà:
ï99⃗0 = ï99⃗/ + t9⃗ ∧ (S − U) Dove t9⃗ è il risultante di tutte le forze agenti nel sistema:
t9⃗ = ñ ó⃗"
"
DIM: Per definizione di momento di una forza, il momento rispetto al polo B sarà:
ï99⃗0 = ñ(A"− S) ∧ ó⃗"
"
= ñ[(A" − U) + (U − S)] ∧ ó⃗"
"
=
= ñ(A"− U) ∧ ó⃗" + ñ(U − S) ∧ ó⃗"
"
"
Dove la prima sommatoria rappresenta la definizione di momento di una forza rispetto al polo A. Dunque otteniamo che:
ï99⃗0 = ï99⃗/+ (U − S) ∧ ñ ó⃗"
"
= ï99⃗/+ (U − S) ∧ t9⃗ = ï99⃗/ − (S − U) ∧ t9⃗ =
= ï99⃗/+ t9⃗ ∧ (S − U)
Dove abbiamo usato le proprietà del prodotto vettoriale per giungere alla tesi.
41) Momento di una coppia di forze.
Il momento di una forza di coppie non dipende dal polo rispetto al quale lo si calcola.
DIM: Scegliamo un punto O arbitrario per calcolare il momento della coppia di forze, le quali sono applicate nei punti A e B. Allora:
ï99⃗5 = (U − C) ∧ M−ó⃗N + (S − C) ∧ Mó⃗N = [(U − C) − (S − C)] ∧ ó⃗ =
= (U − S) ∧ ó⃗
Quindi, poiché per definizione le due forze sono uguali in modulo e direzione ma opposte in verso, riusciamo ad eliminare il polo O dalla somma, il che significa il momento della coppia non dipende dal polo rispetto al quale lo si calcola.
Sia ö un sistema qualunque. Allora, scelti due punti A e B come poli per il calcolo del momento delle quantità di moto, si ha che:
Γ⃗0 = Γ⃗/ + É9⃗ ∧ (S − U) Dove É9⃗ è la quantità di moto del sistema.
DIM: Per la definizione di momento delle quantità di moto rispetto al polo B si ha:
Γ⃗0 = ñ(A" − S) ∧ ê"8⃗" 43) Seconda equazione cardinale della dinamica.
Sia ï99⃗5(%) il momento (risultante) delle forze esterne agenti su un sistema qualunque rispetto al polo O. Sia 8⃗5 la velocità con cui si sposta il polo e sia Γ⃗5 il momento delle quantità di moto del sistema rispetto a O. Allora si ha:
KΓ⃗5
KL = ï99⃗5(%)− 8⃗5∧ É9⃗
DIM: Per la definizione di momento delle quantità di moto, abbiamo:
Γ⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ê"8"
"
Derivando rispetto al tempo:
KΓ⃗5
Dove abbiamo usato il fatto che il prodotto vettoriale di vettori paralleli è nullo e le definizioni di quantità di momento e momento delle forze esterne.
44) Momento delle quantità di moto rispetto al centro di istantanea rotazione.
Il momento delle quantità di moto di un corpo rigido rispetto al proprio centro di istantanea rotazione O è uguale a:
Γ⃗5 = ù5b99⃗
Dove ù5 è il momento di inerzia del corpo rispetto a O e b99⃗ è la sua velocità angolare.
DIM: Per la definizione di momento delle quantità di moto rispetto al polo O:
Γ⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ê"8⃗"
"
Dato che il corpo è rigido, possiamo riscrivere le velocità dei singoli punti usando la formula generale dell’atto di moto rigido rototraslatorio:
8⃗ = 8⃗ + b99⃗ ∧ (A − C) = b99⃗ ∧ (A − C)
Dove 8⃗5 = 0 in quanto O è il centro di istantanea rotazione. Quindi, sostituendo:
Γ⃗5 = ñ(A" − C) ∧ ê"8⃗"
"
= ñ(A"− C) ∧ ê"[b99⃗ ∧ (A" − C)]
"
=
= ñ(A" − C) ∧ [b99⃗ ∧ ê"(A" − C)]
"
Ora, usando la formula del prodotto vettoriale triplo, abbiamo:
= ñ ê"(A" − C).b99⃗ − [(A" − C) ⋅ b99⃗]ê"(A" − C)
"
Il prodotto scalare tra la velocità angolare e il vettore posizione risulta nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari: infatti la velocità angolare è sempre perpendicolare al piano di rotazione, mentre il vettore posizione, poiché il corpo è piano, è sempre contenuto nel piano del moto. Quindi:
= ñ ê"(A"− C).b99⃗
"
= b99⃗ ñ ê"(A"− C).
"
= ù5b99⃗
45) Momento delle quantità di moto rispetto al centro di massa.
Il momento delle quantità di moto di un corpo rigido piano rispetto al proprio centro di massa è data da:
Γ⃗= = ù=b99⃗
Dove compaiono il momento di inerzia del corpo rispetto al centro di massa e la sua velocità angolare.
DIM: Considerando la definizione di momento delle quantità di moto, abbiamo:
Γ⃗= = ñ(A"− ò) ∧ ê"8⃗"
"
Ora, dato che il corpo è rigido, possiamo sostituire la velocità del punto i-esimo con la formula generale dell’atto di moto rigido:
= ñ(A"− ò) ∧ ê"(8⃗=+ b99⃗ ∧ (A"− ò)
"
)
= ñ(A"− ò) ∧ ê"8⃗=
"
+ ñ(A"− ò) ∧ [ê"b99⃗ ∧ (A" − ò)]
"
= ñ(A"− ò) ∧ ê"8⃗=
"
+ ñ ê"(A"− ò).b99⃗ − [ê"(A" − ò) ⋅ b99⃗](A" − ò)
"
= ñ ê"(A" − ò) ∧ 8⃗=
"
+ ñ ê"(A"− ò).b99⃗
"
= ù=b99⃗
Dove la prima sommatoria dell’ultimo passaggio è nulla in quanto, per definizione di centro di massa rispetto ad un determinato punto, abbiamo:
(ò − ò) =∑ ê" "(A" − ò)
ê = 0 ⟹ ñ ê"(A" − ò)
"
= 0
E quindi, dato che la posizione del centro di massa rispetto a se stesso è nulla, anche il prodotto vettoriale è nullo.
46) Formula di Huygens-Steiner.
Il momento di inerzia di un corpo di un sistema qualsiasi rispetto a un asse arbitrario è pari
Dove ù= è il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse parallelo a quello di O e passante per il baricentro G del corpo stesso, m è la massa totale del corpo e Δ la distanza tra i due assi.
(NB: Noi l’abbiamo formulato in termini di momento di inerzia rispetto ad un punto O e rispetto al baricentro G perché stiamo parlando di corpi piani e quindi l’asse è
automaticamente quello perpendicolare al piano del moto).
DIM: Per definizione di momento di inerzia rispetto ad un punto O si ha:
ù5 = ñ ê"(A"− C).
Dove il pallino indica il prodotto scalare. Ora abbiamo tre contributi da calcolare: la prima sommatoria è la definizione di momento di inerzia rispetto al punto G, il centro di massa:
ù= = ñ ê"(A" − ò).
"
Mentre la seconda sommatoria risulta essere:
ñ ê"(ò − C).
"
= (ò − C).ñ ê"
"
= êΔ. Il terzo contributo invece è nullo. Infatti:
ñ 2ê"(A" − ò) ⋅ (ò − C)
"
= 2 üñ ê"(A" − ò)
"
† ⋅ (ò − C)
E la quantità tra parentesi quadre è nulla perché, come visto nella dimostrazione (45), è la posizione del centro di massa rispetto a se stesso, che quindi è nulla. Dunque otteniamo che:
ù5 = ù= + êΔ. 47) Teorema dell’energia cinetica.
Sia T l’energia cinetica di un sistema che si muove in un sistema di riferimento inerziale e sia Π = ∑ ó⃗" " ⋅ 8⃗" la potenza esplicata da tutte le forze agenti sul sistema. Allora:
K
KL¢ = Π DIM: Consideriamo la definizione di energia cinetica:
¢ = ñ1 2ê"8".
"
E deriviamola rispetto al tempo:
K¢
= ñ ê" K
48) Energia cinetica e centro d’istantanea rotazione di un corpo rigido piano.
Sia O il centro di istantanea rotazione di un corpo rigido piano. Allora l’energia cinetica di tale corpo varrà:
¢ =1
2ù5b. =1 2ù56̇. Dove ù5 è il momento di inerzia rispetto a O.
DIM: Partiamo dalla definizione di energia cinetica:
¢ = ñ1
Dato che il corpo è rigido per ipotesi, possiamo applicare la formula generale dell’atto di moto rigido:
8⃗" = 8⃗5+ b99⃗ ∧ (A"− C) = b99⃗ ∧ (A" − C)
Dove 8⃗5 è nulla perché O è il centro di istantanea rotazione. Sostituendo nella definizione:
ñ1
49) Energia cinetica e centro di massa di un corpo rigido piano.
Sia G il centro di massa di un corpo rigido piano. Allora l’energia cinetica del corpo può essere espressa come:
¢ =1
2ê8=.+1 2ù=b. DIM: Partiamo dalla definizione di energia cinetica:
¢ = ñ1
Dato che il corpo è rigido per ipotesi, possiamo applicare la formula generale dell’atto di moto rigido:
8⃗" = 8⃗=+ b99⃗ ∧ (A"− ò) Sostituendo nella definizione di energia cinetica, otteniamo:
ñ1
Analizziamo ora il primo addendo del risultato ottenuto:
1 1 1 1 1
ñ1 50) Teorema di König.
L’energia cinetica di un sistema materiale qualunque può essere espressa come
¢ =1
2ê8=. +1
2ñ ê"8"&.
"
Dove 8⃗"& = 8⃗" − 8⃗=, ovvero può essere scritta come la somma dell’energia cinetica che competerebbe al centro di massa se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema più l’energia cinetica del sistema materiale nel moto relativo del centro di massa.
DIM: Partendo dalla definizione di energia cinetica e considerando che 8⃗" = 8⃗= + 8⃗"&:
¢ = ñ1
51) Potenza delle reazioni vincolari nel vincolo di appoggio liscio.
La potenza esplicata dalle reazioni vincolari in un vincolo di appoggio liscio (ovvero senza attrito) è nulla.
DIM: Imponiamo di avere un appoggio liscio di un punto materiale su un oggetto. Dato che tale oggetto è liscio per ipotesi, la reazione vincolare è puramente perpendicolare al corpo.
Se chiamiamo A il punto materiale e B il punto di appoggio sul secondo oggetto rigido considerato, abbiamo che per il principio di azione e reazione le forze vincolari saranno:
Φ999⃗0 = −Φ999⃗/
Se indichiamo con 8⃗/ ? 8⃗0 le velocità dei rispettivi punti A e B, avremo per il vincolo di appoggio che:
8⃗/ ⋅ Jz = 8⃗0⋅ Jz ⟹ (8⃗0− 8⃗/) ⋅ Jz = 0
Dunque, procedendo al calcolo della potenza complessiva delle reazioni vincolari, avremo che:
Π = Φ999⃗0⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/ ⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/(8⃗0− 8⃗/) Dato che la reazione vincolare per ipotesi è normale al corpo, avremo che:
Φ999⃗/ = Φ/Jz Quindi:
−Φ999⃗/(8⃗0− 8⃗/) = −[(8⃗0− 8⃗/) ⋅ Jz]Φ/ = 0 ⟹ Π = 0 52) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento su una guida fissa.
La potenza esplicata dalle reazioni vincolari del vincolo di puro rotolamento di un disco su una guida fissa è nulla.
DIM: Consideriamo un disco che rotola senza strisciare su una guida fissa e sia A il punto di contatto tra i due corpi, mentre sia Φ999⃗/ la reazione vincolare (che, in generale, non ha direzione perpendicolare alla guida per il puro rotolamento). La potenza della reazione vincolare sarà data da:
Π = Φ999⃗/ ⋅ 8⃗/ = 0
In quanto, per il vincolo di rotolamento senza strisciamento, la velocità del punto di contatto tra disco e guida è nulla.
53) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento tra due corpi.
La potenza esplicata dalla reazione vincolare del vincolo di puro rotolamento tra due corpi è nulla.
DIM: Consideriamo due dischi che rotolano senza strisciare l’uno sull’altro rispettivamente nei punti A e B. Per il principio di azione e reazione si avranno due reazioni vincolari uguale in modulo e opposte in verso Φ999⃗/ ? Φ999⃗0 tali che:
Φ999⃗0 = −Φ999⃗/ Inoltre per il vincolo di puro rotolamento si avrà che:
8⃗/ = 8⃗0 Quindi la potenza delle reazioni vincolari sarà data da:
Π = Φ999⃗0⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/ ⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = Φ999⃗/(8⃗/ − 8⃗0) = 0
⟹ Π = 0 54) Potenze delle forze interne a un corpo rigido.
La potenza delle forze interne a un corpo applicate su un corpo rigido è nulla.
DIM: Consideriamo due punti A e B interni ad un corpo rigido qualsiasi. Essi interagiranno tra di loro scambiandosi le forze ó⃗/ ? ó⃗0 che, per il principio di azione e reazione, sono tali che:
ó⃗0= −ó⃗/ ? ó⃗/ ∥ (S − U) Ora calcoliamo la potenza esplicata dalle due forze:
Π = ó⃗0⋅ 8⃗0+ ó⃗/⋅ 8⃗/ = −ó⃗/⋅ (8⃗0− 8⃗/)
Dal momento che il corpo è rigido, possiamo applicare la formula di atto di moto rigido:
8⃗0− 8⃗/ = b99⃗ ∧ (S − U) Sostituendo, otteniamo:
^4H^4@?Là ^4HK. ê@ILH
Quindi in definitiva Π = 0.
55) Potenza di una coppia di forze applicata ad un corpo rigido piano.
Sia ï99⃗ il momento della coppia ó⃗, −ó⃗ applicata ad un corpo rigido piano. Allora la potenza esplicata da tale coppia sarà:
Π = ±ï6̇
DIM: Il momento di tale coppia rispetto ad un qualsiasi polo O, supponendo che ó⃗, −ó⃗
siano rispettivamente applicate nei punti B e A, può essere espresso come:
ï99⃗ = (S − C) ∧ ó⃗ + (U − C) ∧ −ó⃗ = (S − U) ∧ ó⃗
Ora, dato che siamo nel piano e le due forze sono anch’esse contenute nel piano, per le proprietà del prodotto vettoriale avremo che il momento della coppia sarà perpendicolare al piano stesso. Quindi, supponendo che i punti A e B abbiano rispettivamente velocità 8⃗/ ? 8⃗0, avremo che:
Π = ó⃗ ⋅ 8⃗0− ó⃗ ⋅ 8⃗/
= ó⃗ ⋅ (8⃗0− 8⃗/)@Ü GH4^H è 4@•@KH
= ó⃗ ⋅ Mb99⃗ ∧ (S − U)N^4H^4@?Là ^4HK. ê@ILH
=
= b99⃗ ⋅ ß(S − U) ∧ ó⃗® = b99⃗ ⋅ ï99⃗
Ma dato che il corpo è piano, si avrà b99⃗ = 6̇c>. Quindi:
Π = b99⃗ ⋅ ï99⃗ = ±bc> ⋅ ±ïc> = ±ïb
Dove il segno dipende da come sono orientati gli assi e da come sono orientati il momento della coppia e la velocità angolare del corpo.
56) Teorema dell’energia cinetica in forma integrale.
La variazione di energia cinetica di un corpo tra uno stato iniziale e uno stato finale è uguale al lavoro delle forze applicate al corpo:
Δ¢ = q
Dove il lavoro di una forza applicata ad un punto P tra due stati A e B è definito come:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
DIM: Consideriamo la definizione di lavoro di una forza:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
Ora moltiplichiamo per K´, dove ´ indica un istante di tempo generico. Si avrà quindi che
$!
$N è la velocità del punto materiale:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
= ™ ó⃗ ⋅KA K´K´
)
6
= ™ ó⃗ ⋅ 8⃗K´
)
6
= ™ ΠK´
)
Ma per il teorema dell’energia cinetica in forma differenziale possiamo dire che: 6
Π =K¢
Quindi: K´
q = ™ ΠK´
)
6 = ¢(S) − ¢(U) = Δ¢
57) Lavoro di un sistema soggetto a forze posizionali conservative.
Il lavoro di un sistema soggetto a una forza posizionale conservativa è uguale alla variazione del potenziale di tale forza valutato tra gli estremi del percorso:
q = ¨(S) − ¨(U)
DIM: Per definizione, una forza è detta conservativa se esiste una funzione scalare U tale che:
ó⃗ = ∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî
Allora il lavoro di tale forza lungo un percorso tra gli estremi A e B sarà, per definizione:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA0
/
= ™ ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî ⋅ (KD, KE, Kõ)
0
/
= ™ ìƨ
ÆDKD +ƨ
ÆEKE +ƨ
ÆõKõî
0
/
=
= ™ K¨
0
/ = ¨(S) − ¨(U)
⟹ q = ¨(S) − ¨(U) 58) Principio di conservazione dell’energia meccanica.
Per un sistema meccanico soggetto a forze attive conservative, con vincoli perfetti e esterni fissi, l’energia meccanica Ø = ¢ + ∞ = ¢ − ¨ è costante nel tempo.
Versione libro: Consideriamo un sistema sottoposto a vincoli ideali, bilateri e fissi.
Supponiamo inoltre che le forze attive siano conservative e sia U il loro potenziale. In tal caso l’energia meccanica si conserva:
Ø = ¢ − ¨ ≡ GHILPJL?.
DIM.PROF: Per il teorema dell’energia cinetica in forma integrale si ha che:
Δ¢ = q
Dato che le forze a cui è soggetto il corpo sono conservative, si ha che ammettono il potenziale U e il loro lavoro tra gli estremi A e B sarà:
q = ¨(S) − ¨(U) Sostituendo dunque otteniamo che:
Δ¢ = ¢(S) − ¢(U) = ¨(S) − ¨(U) T(A) + U(A) = T(B) + U(B)
Ø(U) = Ø(S) Quindi l’energia meccanica si conserva.
DIM.LIBRO: La conservazione dell’energia ¢ − ¨ ≡ GHILPJL? è equivalente alla richiesta
¢̇ = ¨̇. Alla luce del teorema dell’energia cinetica, l’energia meccanica si conserva tutte e sole le volte che sia possibile esprimere la potenza di tutte le forze come derivata del potenziale:
Π = ¨̇
Nel caso di forze attive conservative, la formula qui sopra è soddisfatta. Affinché, però, la potenza di tutte le forze soddisfi la richiesta qui sopra bisogna accertare che le reazioni vincolari non esplichino potenza e ciò è garantito dalla richiesta di vincoli ideali, bilateri e fissi.
DIM: Dato che il peso è una forza conservativa, esiste una funzione U tale che ó⃗ = ∇¨.
Possiamo esprimere la forza peso come:
ó⃗ = ê•⃗ = −ê•c> = (0,0, −ê•) E per la definizione di forza conservativa, abbiamo quindi che:
∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî = (0,0, −ê•) Integrando tale relazione, si ottiene che:
¨ = −ê•õ + GHIL 60) Potenziale di una forza elastica.
Il potenziale della forza elastica ó⃗ = −c(S − U) GHJ c ≥ 0 è ¨ = −J.cI. con s distanza tra A e B.
DIM: Consideriamo una molla posta tra due estremi A e B. Allora avremo che:
ó⃗/ = −c(U − S) ó⃗0= −c(S − U)
Ora consideriamo il gradiente della funzione ¨ = −J.cI. = −J
.cUS. valutato in B:
∇¨|0 = −1
2c ∑ÆUS.
ÆD ,ÆUS.
ÆE ,ÆUS. Æõ ∏ |0 Dove US. = (D0− D/).+ (E0− E/).+ (õ0− õ/).. Dunque:
= −1
2c ∑ÆUS.
ÆD ,ÆUS.
ÆE ,ÆUS.
Æõ ∏ |0 = −1
2c[2(D0− D/), 2(E0− E/), 2(õ0− õ/)]
= −c(S − U) = ó⃗0
Il procedimento è analogo per ó⃗/: basta valutare il gradiente in A invece che in B.
61) Coppia costante applicata ad un corpo rigido piano.
Una coppia costante applicata ad un corpo rigido piano ammette il seguente potenziale:
¨ = ±T6
Dove C è il modulo del momento della coppia e 6 è l’angolo di rotazione del corpo.
DIM: Per il teorema dell’energia cinetica in forma integrale abbiamo che Δ¢ = q = Δ¨.
Derivando rispetto al tempo otteniamo:
K¢
KL = Π =K¨
Dove l’uguaglianza centrale segue dal teorema dell’energia cinetica in forma differenziale. KL Quindi se la forza è conservativa, la derivata del potenziale coincide con la potenza e quindi possiamo dire che:
Π = ±T6̇ =K¨
Dato che la coppia è costante (T = GHIL), integrando nel tempo si ottiene che: KL
¨ = ±T6 62) Sistemi equivalenti (Teorema tratto da appunti Abbà).
Due sistemi di forze ö ? ö′ sono equivalenti se e solo se hanno uguale risultante ed ugual momento rispetto ad uno stesso punto.
DIM: Poiché le operazioni invariantive di composizione e scorrimento non alterano risultante e momento, l’uguaglianza di risultante e momento è condizione necessaria di equivalenza. Infatti:
a) Composizione e Scomposizione:
Se ó⃗ = ó⃗J + ó⃗. è immediato vedere che il risultante t9⃗ è lo stesso in entrambi i casi, mentre il momento rispetto al polo O:
ï99⃗5= (A − C) ∧ ó⃗J+ (A − C) ∧ ó⃗. = (A − C) ∧ Mó⃗J+ ó⃗.N = (A − C) ∧ ó⃗
Quindi i due momenti coincidono.
b) Scorrimento:
È evidente che se facciamo scorrere una forza lungo la sua retta d’azione, il risultante rimane lo stesso. Per il momento rispetto al polo O si ha:
ï99⃗5 = (A − C) ∧ ó⃗ = [(A − É) + (É − C)] ∧ ó⃗ =
= (A − É) ∧ ó⃗ + (É − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
⟹ (A − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
Dove il prodotto vettore (A − É) ∧ ó⃗ è nullo perché P e Q appartengono alla stessa retta di applicazione di ó⃗ e quindi (A − É) ∥ ó⃗.
Inoltre la condizione è anche sufficiente per le proprietà sul trasporto di una forza da un punto ad un altro e sulla somma di coppie di forze.
63) Invariante scalare e polo del momento.
L’invariante scalare di un sistema di forze è indipendente dal polo rispetto al quale si calcola il momento.
DIM: Sia ù = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 l’invariante scalare di un sistema di forze qualunque calcolato rispetto ad un generico polo O. Consideriamo ora l’invariante I’ calcolato rispetto al polo O’:
ùO = t9⃗ ⋅ ï99⃗5!
ÖH4êëÜP K?Ü L4PI^H4LH
= t9⃗ ⋅ ßï99⃗5+ t9⃗ ∧ (CO− C)® =
= t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ t9⃗ ⋅ ßt9⃗ ∧ (CO − C)® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ (CO− C) ⋅ ßt9⃗ ∧ t9⃗® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 = ù Quindi I = I’ come volevasi dimostrare.
64) Invariante nullo e punto in cui si annulla il momento (fatta in classe).
Supponiamo che un sistema di forze ö abbia invariante scalare nullo (ù = 0). Allora la seguente formula individua il punto rispetto al quale il momento si annulla:
(C∫ − C) =t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. Dove O indica il vecchio polo.
DIM: Dimostriamo che tale formula è vera. Il momento rispetto a C∫ si ottiene con la formula del trasporto:
ï99⃗5P = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ (C∫ − C) = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ ∑t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. ∏ =
= ï99⃗5+ 1
t.ßMt9⃗ ⋅ ï99⃗5Nt9⃗ − t.ï99⃗5® = ï99⃗5− ï99⃗5 = 0
⟹ ï99⃗5P = 0
Se ù = 0 ? t9⃗ ≠ 0, esiste un asse, detto retta di applicazione della risultante, di equazione (C − U) = t9⃗ ∧ ï99⃗/
t. + ªt9⃗
DIM: Il fatto che l’invariante scalare sia nullo può essere dovuto al fatto che esiste almeno un punto rispetto a cui il momento risultante ï99⃗ o è nullo o è un vettore ortogonale alla risultante t9⃗.
In questo secondo caso, dalla formula di trasporto dei momenti:
ï99⃗B = ï99⃗5+ (C − É) ∧ t9⃗
Esisterà almeno un punto O rispetto a cui il momento ï99⃗5 = 0 in modo che ï99⃗B ⊥ t9⃗, e si ricade quindi nel primo caso.
Si vuole allora determinare il punto O rispetto a cui il momento risultante della sollecitazione sia nullo e che soddisfa la relazione:
ï99⃗B = (C − É) ∧ t9⃗
Per risolvere tale equazione vettoriale si moltiplichino vettorialmente per t9⃗ ambo i membri dell’equazione
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ∧ ß(C − É) ∧ t9⃗®
Applicando le proprietà del doppio prodotto vettoriale:
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ⋅ t9⃗(C − É) − t9⃗ ⋅ (C − É)t9⃗
Si ottiene
(C − É) =t9⃗ ∧ ï99⃗B
t. +t9⃗ ⋅ (C − É) t. t9⃗
Che è l’equazione parametrica di una retta avente direzione parallela al risultante t9⃗; tale retta, luogo dei punti rispetto a cui il momento risultante è nullo, costituisce la retta di applicazione del risultante della sollecitazione agente sul corpo rigido.
66) Invariante scalare di un corpo rigido piano.
L’invariante scalare di un corpo rigido piano soggetto unicamente a forze che giacciono nello stesso piano del corpo è sempre nullo.
DIM: Supponiamo che tutte le forze appartengano al piano in cui si muove il corpo rigido.
Allora il momento risultante:
ï99⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ó⃗"
"
È ortogonale a tale piano per le proprietà del prodotto vettoriale. Ovviamente, dato che tutte le forze appartengono al piano, il risultante
t9⃗ = ñ ó⃗"
"
Apparterà anch’esso al piano. Quindi, per le proprietà del prodotto scalare, si ha che l’invariante scalare è nullo e quindi esiste un punto rispetto a cui il momento è nullo.
67) Invariante scalare di un sistema di forze parallele.
Un sistema di forze parallele ha invariante scalare nullo.
Un sistema di forze parallele ha invariante scalare nullo.