La potenza esplicata dalle reazioni vincolari in un vincolo di appoggio liscio (ovvero senza attrito) è nulla.
DIM: Imponiamo di avere un appoggio liscio di un punto materiale su un oggetto. Dato che tale oggetto è liscio per ipotesi, la reazione vincolare è puramente perpendicolare al corpo.
Se chiamiamo A il punto materiale e B il punto di appoggio sul secondo oggetto rigido considerato, abbiamo che per il principio di azione e reazione le forze vincolari saranno:
Φ999⃗0 = −Φ999⃗/
Se indichiamo con 8⃗/ ? 8⃗0 le velocità dei rispettivi punti A e B, avremo per il vincolo di appoggio che:
8⃗/ ⋅ Jz = 8⃗0⋅ Jz ⟹ (8⃗0− 8⃗/) ⋅ Jz = 0
Dunque, procedendo al calcolo della potenza complessiva delle reazioni vincolari, avremo che:
Π = Φ999⃗0⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/ ⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/(8⃗0− 8⃗/) Dato che la reazione vincolare per ipotesi è normale al corpo, avremo che:
Φ999⃗/ = Φ/Jz Quindi:
−Φ999⃗/(8⃗0− 8⃗/) = −[(8⃗0− 8⃗/) ⋅ Jz]Φ/ = 0 ⟹ Π = 0 52) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento su una guida fissa.
La potenza esplicata dalle reazioni vincolari del vincolo di puro rotolamento di un disco su una guida fissa è nulla.
DIM: Consideriamo un disco che rotola senza strisciare su una guida fissa e sia A il punto di contatto tra i due corpi, mentre sia Φ999⃗/ la reazione vincolare (che, in generale, non ha direzione perpendicolare alla guida per il puro rotolamento). La potenza della reazione vincolare sarà data da:
Π = Φ999⃗/ ⋅ 8⃗/ = 0
In quanto, per il vincolo di rotolamento senza strisciamento, la velocità del punto di contatto tra disco e guida è nulla.
53) Potenza esplicata dal vincolo di puro rotolamento tra due corpi.
La potenza esplicata dalla reazione vincolare del vincolo di puro rotolamento tra due corpi è nulla.
DIM: Consideriamo due dischi che rotolano senza strisciare l’uno sull’altro rispettivamente nei punti A e B. Per il principio di azione e reazione si avranno due reazioni vincolari uguale in modulo e opposte in verso Φ999⃗/ ? Φ999⃗0 tali che:
Φ999⃗0 = −Φ999⃗/ Inoltre per il vincolo di puro rotolamento si avrà che:
8⃗/ = 8⃗0 Quindi la potenza delle reazioni vincolari sarà data da:
Π = Φ999⃗0⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = −Φ999⃗/ ⋅ 8⃗0+ Φ999⃗/⋅ 8⃗/ = Φ999⃗/(8⃗/ − 8⃗0) = 0
⟹ Π = 0 54) Potenze delle forze interne a un corpo rigido.
La potenza delle forze interne a un corpo applicate su un corpo rigido è nulla.
DIM: Consideriamo due punti A e B interni ad un corpo rigido qualsiasi. Essi interagiranno tra di loro scambiandosi le forze ó⃗/ ? ó⃗0 che, per il principio di azione e reazione, sono tali che:
ó⃗0= −ó⃗/ ? ó⃗/ ∥ (S − U) Ora calcoliamo la potenza esplicata dalle due forze:
Π = ó⃗0⋅ 8⃗0+ ó⃗/⋅ 8⃗/ = −ó⃗/⋅ (8⃗0− 8⃗/)
Dal momento che il corpo è rigido, possiamo applicare la formula di atto di moto rigido:
8⃗0− 8⃗/ = b99⃗ ∧ (S − U) Sostituendo, otteniamo:
^4H^4@?Là ^4HK. ê@ILH
Quindi in definitiva Π = 0.
55) Potenza di una coppia di forze applicata ad un corpo rigido piano.
Sia ï99⃗ il momento della coppia ó⃗, −ó⃗ applicata ad un corpo rigido piano. Allora la potenza esplicata da tale coppia sarà:
Π = ±ï6̇
DIM: Il momento di tale coppia rispetto ad un qualsiasi polo O, supponendo che ó⃗, −ó⃗
siano rispettivamente applicate nei punti B e A, può essere espresso come:
ï99⃗ = (S − C) ∧ ó⃗ + (U − C) ∧ −ó⃗ = (S − U) ∧ ó⃗
Ora, dato che siamo nel piano e le due forze sono anch’esse contenute nel piano, per le proprietà del prodotto vettoriale avremo che il momento della coppia sarà perpendicolare al piano stesso. Quindi, supponendo che i punti A e B abbiano rispettivamente velocità 8⃗/ ? 8⃗0, avremo che:
Π = ó⃗ ⋅ 8⃗0− ó⃗ ⋅ 8⃗/
= ó⃗ ⋅ (8⃗0− 8⃗/)@Ü GH4^H è 4@•@KH
= ó⃗ ⋅ Mb99⃗ ∧ (S − U)N^4H^4@?Là ^4HK. ê@ILH
=
= b99⃗ ⋅ ß(S − U) ∧ ó⃗® = b99⃗ ⋅ ï99⃗
Ma dato che il corpo è piano, si avrà b99⃗ = 6̇c>. Quindi:
Π = b99⃗ ⋅ ï99⃗ = ±bc> ⋅ ±ïc> = ±ïb
Dove il segno dipende da come sono orientati gli assi e da come sono orientati il momento della coppia e la velocità angolare del corpo.
56) Teorema dell’energia cinetica in forma integrale.
La variazione di energia cinetica di un corpo tra uno stato iniziale e uno stato finale è uguale al lavoro delle forze applicate al corpo:
Δ¢ = q
Dove il lavoro di una forza applicata ad un punto P tra due stati A e B è definito come:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
DIM: Consideriamo la definizione di lavoro di una forza:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
Ora moltiplichiamo per K´, dove ´ indica un istante di tempo generico. Si avrà quindi che
$!
$N è la velocità del punto materiale:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA
0
/
= ™ ó⃗ ⋅KA K´K´
)
6
= ™ ó⃗ ⋅ 8⃗K´
)
6
= ™ ΠK´
)
Ma per il teorema dell’energia cinetica in forma differenziale possiamo dire che: 6
Π =K¢
Quindi: K´
q = ™ ΠK´
)
6 = ¢(S) − ¢(U) = Δ¢
57) Lavoro di un sistema soggetto a forze posizionali conservative.
Il lavoro di un sistema soggetto a una forza posizionale conservativa è uguale alla variazione del potenziale di tale forza valutato tra gli estremi del percorso:
q = ¨(S) − ¨(U)
DIM: Per definizione, una forza è detta conservativa se esiste una funzione scalare U tale che:
ó⃗ = ∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî
Allora il lavoro di tale forza lungo un percorso tra gli estremi A e B sarà, per definizione:
q = ™ ó⃗ ⋅ KA0
/
= ™ ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî ⋅ (KD, KE, Kõ)
0
/
= ™ ìƨ
ÆDKD +ƨ
ÆEKE +ƨ
ÆõKõî
0
/
=
= ™ K¨
0
/ = ¨(S) − ¨(U)
⟹ q = ¨(S) − ¨(U) 58) Principio di conservazione dell’energia meccanica.
Per un sistema meccanico soggetto a forze attive conservative, con vincoli perfetti e esterni fissi, l’energia meccanica Ø = ¢ + ∞ = ¢ − ¨ è costante nel tempo.
Versione libro: Consideriamo un sistema sottoposto a vincoli ideali, bilateri e fissi.
Supponiamo inoltre che le forze attive siano conservative e sia U il loro potenziale. In tal caso l’energia meccanica si conserva:
Ø = ¢ − ¨ ≡ GHILPJL?.
DIM.PROF: Per il teorema dell’energia cinetica in forma integrale si ha che:
Δ¢ = q
Dato che le forze a cui è soggetto il corpo sono conservative, si ha che ammettono il potenziale U e il loro lavoro tra gli estremi A e B sarà:
q = ¨(S) − ¨(U) Sostituendo dunque otteniamo che:
Δ¢ = ¢(S) − ¢(U) = ¨(S) − ¨(U) T(A) + U(A) = T(B) + U(B)
Ø(U) = Ø(S) Quindi l’energia meccanica si conserva.
DIM.LIBRO: La conservazione dell’energia ¢ − ¨ ≡ GHILPJL? è equivalente alla richiesta
¢̇ = ¨̇. Alla luce del teorema dell’energia cinetica, l’energia meccanica si conserva tutte e sole le volte che sia possibile esprimere la potenza di tutte le forze come derivata del potenziale:
Π = ¨̇
Nel caso di forze attive conservative, la formula qui sopra è soddisfatta. Affinché, però, la potenza di tutte le forze soddisfi la richiesta qui sopra bisogna accertare che le reazioni vincolari non esplichino potenza e ciò è garantito dalla richiesta di vincoli ideali, bilateri e fissi.
DIM: Dato che il peso è una forza conservativa, esiste una funzione U tale che ó⃗ = ∇¨.
Possiamo esprimere la forza peso come:
ó⃗ = ê•⃗ = −ê•c> = (0,0, −ê•) E per la definizione di forza conservativa, abbiamo quindi che:
∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî = (0,0, −ê•) Integrando tale relazione, si ottiene che:
¨ = −ê•õ + GHIL 60) Potenziale di una forza elastica.
Il potenziale della forza elastica ó⃗ = −c(S − U) GHJ c ≥ 0 è ¨ = −J.cI. con s distanza tra A e B.
DIM: Consideriamo una molla posta tra due estremi A e B. Allora avremo che:
ó⃗/ = −c(U − S) ó⃗0= −c(S − U)
Ora consideriamo il gradiente della funzione ¨ = −J.cI. = −J
.cUS. valutato in B:
∇¨|0 = −1
2c ∑ÆUS.
ÆD ,ÆUS.
ÆE ,ÆUS. Æõ ∏ |0 Dove US. = (D0− D/).+ (E0− E/).+ (õ0− õ/).. Dunque:
= −1
2c ∑ÆUS.
ÆD ,ÆUS.
ÆE ,ÆUS.
Æõ ∏ |0 = −1
2c[2(D0− D/), 2(E0− E/), 2(õ0− õ/)]
= −c(S − U) = ó⃗0
Il procedimento è analogo per ó⃗/: basta valutare il gradiente in A invece che in B.
61) Coppia costante applicata ad un corpo rigido piano.
Una coppia costante applicata ad un corpo rigido piano ammette il seguente potenziale:
¨ = ±T6
Dove C è il modulo del momento della coppia e 6 è l’angolo di rotazione del corpo.
DIM: Per il teorema dell’energia cinetica in forma integrale abbiamo che Δ¢ = q = Δ¨.
Derivando rispetto al tempo otteniamo:
K¢
KL = Π =K¨
Dove l’uguaglianza centrale segue dal teorema dell’energia cinetica in forma differenziale. KL Quindi se la forza è conservativa, la derivata del potenziale coincide con la potenza e quindi possiamo dire che:
Π = ±T6̇ =K¨
Dato che la coppia è costante (T = GHIL), integrando nel tempo si ottiene che: KL
¨ = ±T6 62) Sistemi equivalenti (Teorema tratto da appunti Abbà).
Due sistemi di forze ö ? ö′ sono equivalenti se e solo se hanno uguale risultante ed ugual momento rispetto ad uno stesso punto.
DIM: Poiché le operazioni invariantive di composizione e scorrimento non alterano risultante e momento, l’uguaglianza di risultante e momento è condizione necessaria di equivalenza. Infatti:
a) Composizione e Scomposizione:
Se ó⃗ = ó⃗J + ó⃗. è immediato vedere che il risultante t9⃗ è lo stesso in entrambi i casi, mentre il momento rispetto al polo O:
ï99⃗5= (A − C) ∧ ó⃗J+ (A − C) ∧ ó⃗. = (A − C) ∧ Mó⃗J+ ó⃗.N = (A − C) ∧ ó⃗
Quindi i due momenti coincidono.
b) Scorrimento:
È evidente che se facciamo scorrere una forza lungo la sua retta d’azione, il risultante rimane lo stesso. Per il momento rispetto al polo O si ha:
ï99⃗5 = (A − C) ∧ ó⃗ = [(A − É) + (É − C)] ∧ ó⃗ =
= (A − É) ∧ ó⃗ + (É − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
⟹ (A − C) ∧ ó⃗ = (É − C) ∧ ó⃗
Dove il prodotto vettore (A − É) ∧ ó⃗ è nullo perché P e Q appartengono alla stessa retta di applicazione di ó⃗ e quindi (A − É) ∥ ó⃗.
Inoltre la condizione è anche sufficiente per le proprietà sul trasporto di una forza da un punto ad un altro e sulla somma di coppie di forze.
63) Invariante scalare e polo del momento.
L’invariante scalare di un sistema di forze è indipendente dal polo rispetto al quale si calcola il momento.
DIM: Sia ù = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 l’invariante scalare di un sistema di forze qualunque calcolato rispetto ad un generico polo O. Consideriamo ora l’invariante I’ calcolato rispetto al polo O’:
ùO = t9⃗ ⋅ ï99⃗5!
ÖH4êëÜP K?Ü L4PI^H4LH
= t9⃗ ⋅ ßï99⃗5+ t9⃗ ∧ (CO− C)® =
= t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ t9⃗ ⋅ ßt9⃗ ∧ (CO − C)® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5+ (CO− C) ⋅ ßt9⃗ ∧ t9⃗® = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 = ù Quindi I = I’ come volevasi dimostrare.
64) Invariante nullo e punto in cui si annulla il momento (fatta in classe).
Supponiamo che un sistema di forze ö abbia invariante scalare nullo (ù = 0). Allora la seguente formula individua il punto rispetto al quale il momento si annulla:
(C∫ − C) =t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. Dove O indica il vecchio polo.
DIM: Dimostriamo che tale formula è vera. Il momento rispetto a C∫ si ottiene con la formula del trasporto:
ï99⃗5P = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ (C∫ − C) = ï99⃗5+ t9⃗ ∧ ∑t9⃗ ∧ ï99⃗5 t. ∏ =
= ï99⃗5+ 1
t.ßMt9⃗ ⋅ ï99⃗5Nt9⃗ − t.ï99⃗5® = ï99⃗5− ï99⃗5 = 0
⟹ ï99⃗5P = 0
Se ù = 0 ? t9⃗ ≠ 0, esiste un asse, detto retta di applicazione della risultante, di equazione (C − U) = t9⃗ ∧ ï99⃗/
t. + ªt9⃗
DIM: Il fatto che l’invariante scalare sia nullo può essere dovuto al fatto che esiste almeno un punto rispetto a cui il momento risultante ï99⃗ o è nullo o è un vettore ortogonale alla risultante t9⃗.
In questo secondo caso, dalla formula di trasporto dei momenti:
ï99⃗B = ï99⃗5+ (C − É) ∧ t9⃗
Esisterà almeno un punto O rispetto a cui il momento ï99⃗5 = 0 in modo che ï99⃗B ⊥ t9⃗, e si ricade quindi nel primo caso.
Si vuole allora determinare il punto O rispetto a cui il momento risultante della sollecitazione sia nullo e che soddisfa la relazione:
ï99⃗B = (C − É) ∧ t9⃗
Per risolvere tale equazione vettoriale si moltiplichino vettorialmente per t9⃗ ambo i membri dell’equazione
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ∧ ß(C − É) ∧ t9⃗®
Applicando le proprietà del doppio prodotto vettoriale:
t9⃗ ∧ ï99⃗B = t9⃗ ⋅ t9⃗(C − É) − t9⃗ ⋅ (C − É)t9⃗
Si ottiene
(C − É) =t9⃗ ∧ ï99⃗B
t. +t9⃗ ⋅ (C − É) t. t9⃗
Che è l’equazione parametrica di una retta avente direzione parallela al risultante t9⃗; tale retta, luogo dei punti rispetto a cui il momento risultante è nullo, costituisce la retta di applicazione del risultante della sollecitazione agente sul corpo rigido.
66) Invariante scalare di un corpo rigido piano.
L’invariante scalare di un corpo rigido piano soggetto unicamente a forze che giacciono nello stesso piano del corpo è sempre nullo.
DIM: Supponiamo che tutte le forze appartengano al piano in cui si muove il corpo rigido.
Allora il momento risultante:
ï99⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ó⃗"
"
È ortogonale a tale piano per le proprietà del prodotto vettoriale. Ovviamente, dato che tutte le forze appartengono al piano, il risultante
t9⃗ = ñ ó⃗"
"
Apparterà anch’esso al piano. Quindi, per le proprietà del prodotto scalare, si ha che l’invariante scalare è nullo e quindi esiste un punto rispetto a cui il momento è nullo.
67) Invariante scalare di un sistema di forze parallele.
Un sistema di forze parallele ha invariante scalare nullo.
DIM: Se la risultante delle forze è nulla, ricadiamo nel caso banale e si ha ovviamente che I=0.
Ora supponiamo che t9⃗ ≠ 0 e valutiamo I. Il momento, se le forze sono tutte dirette lungo la direzione c> come da definizione di sistema di forze parallele, sarà dato da:
ï99⃗5 = ñ(A" − C) ∧ ó⃗"
"
= ñ(A"− C) ∧ ó"c>
"
= ñ ó"(A" − C) ∧ c>
"
Il membro di destra del prodotto vettoriale non dipende dall’indice, quindi si ha che:
ñ ó"(A"− C) ∧ c>
"
= üñ ó"(A"− C)
"
† ∧ c>
Per le proprietà del prodotto vettoriale, si evince che il momento è necessariamente perpendicolare al versore c>, mentre t9⃗ ∥ c>. Quindi, per le proprietà del prodotto scalare, si ha che:
ù = t9⃗ ⋅ ï99⃗5 = 0 68) Centro di forze parallele e momento.
Il momento di un sistema di forze parallele rispetto al centro delle forze parallele è nullo, il quale è individuato dal vettore:
(T − C) =∑ ó" "(A" − C) t
DIM: Calcoliamo il momento rispetto a C, supponendo che le forze siano dirette lungo la direzione c>:
ï99⃗4 = ñ(A" − T) ∧ ó⃗"
"
= ñ(A"− T) ∧ ó"c>
"
= üñ ó"(A" − T)
"
† ∧ c>
Per come è stato definito C, il membro tra parentesi quadre è nullo. Infatti:
(T − T) =∑ ó" "(A" − T)
t = 0 ⟹ ñ ó"(A"− T)
"
= 0 Quindi segue che:
ï99⃗4 = 0.
69) Baricentro e centro di massa.
Per un corpo rigido si ha che baricentro e centro di massa coincidono.
DIM: Per definizione il baricentro G è il centro delle forze parallele della forza peso, la quale è espressa come ó⃗ = −ê•c>. Quindi, sostituendo nella formula ricavata in (68):
(ò − C) =∑ ó" "(A" − C)
t =∑ −ê" "•(A" − C)
−ê• = ∑ ê" "(A"− C)
ê
Il risultato appena ottenuto coincide esattamente con la definizione di centro di massa, quindi il baricentro e il centro di massa di un corpo rigido coincidono.
70) Relazione simbolica della dinamica.
Sia {(A", ê"), @ = 1, … , J} un sistema di unti materiali liberi oppure sottoposti a vincoli ideali. Sia inoltre øMA", ó⃗"N, @ = 1, … , J¿ il sistema di forze attive agenti sul sistema. Allora per ogni insieme di spostamenti virtuali {(A", ¡A"), @ = 1, … , J} ammessi dai vincoli vale la seguente relazione simbolica della dinamica:
(N.B: Il teorema pag. 315 del libro dice una cosa noi diversa: noi qui ci proponiamo semplicemente di ricavarla).
DIM: Consideriamo la relazione fondamentale della dinamica per un sistema sottoposto sia a forze attive sia a forze reattive esplicate da vincoli ideali:
ê"P⃗" = ó⃗"+ Φ999⃗" ∀A": @ = 1, … , J
Moltiplichiamo scalarmente entrambi i membri per lo spostamento virtuale ¡A" e sommiamo su tutti i punti:
ñ ê"P⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
= ñMó⃗" + Φ999⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= − ñ Φ999⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
Dato che stiamo considerando un sistema meccanico sottoposto a vincoli ideali, proprio per la definizione di questi ultimi si ha che:
ñ Φ999⃗"⋅ ¡A"
8
"QJ
≥ 0 ⟹ − ñ Φ999⃗" ⋅ ¡A"
8
"QJ
≤ 0 E quindi otteniamo:
∑8"QJMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ¡A" ≤ 0.
71) Equazione simbolica della dinamica.
Sia {(A", ê"), @ = 1, … , J} un sistema di unti materiali liberi oppure sottoposti a vincoli ideali bilateri. Sia inoltre øMA", ó⃗"N, @ = 1, … , J¿ il sistema di forze attive agenti sul sistema.
Allora per ogni insieme di spostamenti virtuali {(A", ¡A"), @ = 1, … , J} ammessi dai vincoli vale la seguente equazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
DIM: Dato che il sistema è sottoposto a vincoli ideali, vale sicuramente la relazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
≤ 0
La quale vale per ogni spostamento virtuale ammesso dai vincoli a cui è sottoposto il sistema. Inoltre, dato che il sistema è soggetto a vincoli bilateri, si ha che ogni spostamento infinitesimo ¡É" = −¡A" è a sua volta uno spostamento virtuale (ovvero tutti i suoi
spostamenti virtuali sono reversibili), quindi deve anche valere:
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ¡É"
8
"QJ
≤ 0
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ (−¡A")
8
"QJ
≤ 0
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
≥ 0
Ma dunque, dato che l’espressione ∑ Mó⃗8"QJ " − ê"P⃗"N ⋅ ¡A" deve essere
contemporaneamente non negativa e non positiva, si deve avere necessariamente che:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
72) Equazioni di Lagrange.
Sia ö un sistema soggetto a vincoli olonomi, ideali e bilateri con n gradi di libertà. Allora si ha che:
DIM: Dato che il sistema è sottoposto a vincoli ideali e bilateri, è verificata l’equazione simbolica della dinamica:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
8
"QJ
= 0
Però, dato che il sistema è olonomo, possiamo riscrivere lo spostamento virtuale:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
Dato che le somme sono finite, possiamo commutarle ottenendo:
ñMó⃗" − ê"P⃗"N ⋅ ñÆA"
73) Equazioni pure del moto (Dimostrazione del fatto che !S = $S per sistemi soggetti a vincoli olonomi, bilateri e ideali).
L’equazione simbolica della dinamica è equivalente alle seguenti N equazioni tra loro indipendenti:
ÉD = ´; ∀c = 1, … , ≈
Dove N è il numero dei gradi di libertà del sistema soggetto a vincoli ideali, olonomi e bilateri considerato.
(N.B: Questo equivale a dimostrare che le componenti lagrangiane devono eguagliarsi, sul quaderno alla lezione 14 del 27/10/2020 abbiamo fatto la dimostrazione simile per N=2).
DIM: La sufficienza è evidente. Infatti, se ogni ÉD risulta essere uguale al rispettivo ´D, evidentemente ogni addendo della somma ∑8DQJ(ÉD− ´D)¡ƒD sarà nullo per ogni scelta degli spostamenti virtuali, e nulla sarà anche la loro somma.
Per dimostrare invece la necessità delle equazioni, dobbiamo utilizzare la libertà che abbiamo di scegliere a piacere gli spostamenti virtuali delle coordinate libere (tale libertà è dovuta al fatto che per definizione le coordinate libere di un sistema sono indipendenti tra loro e quindi possono essere variate a piacere). Scegliamo ad arbitrio una coordinata libera (sia essa, per esempio, la k-esima) e consideriamo il seguente insieme di spostamenti virtuali:
¡ƒDT ≠ 0 ? ¡ƒD ^?4 H•J@ c ≠ c∆
Stiamo quindi spostando solo la c∆ − ?I@êP coordinata libera. La somma ∑8DQJ(ÉD− ´D) ⋅
¡ƒD = 0 deve valere per ogni scelta degli spostamenti virtuali, e quindi anche per quella appena descritta. Essendo nulli tutti i ¡ƒD (meno quello c∆ − ?I@êH), la somma si semplifica e diventa:
ñ(ÉD− ´D)¡ƒD
8
DQJ
= (ÉDT− ´DT)¡ƒDT = 0 GHJ ¡ƒDT ≠ 0
Il che porta a concludere ÉDT = ´DT. L’arbitrarietà della scelta di c∆ implica che in realtà ÉD=
´D per ogni c = 1, … , J.
74) Binomi lagrangiani (riscrittura del $S).
Sia T l’energia cinetica di un sistema olonomo di coordinate libere {ƒJ, … , ƒ8} soggetto a vincoli ideali e bilateri. Allora le componenti lagrangiane dell’opposto delle forze d’inerzia soddisfano la seguente identità:
´D = K KLìÆ¢
ƃ̇Dî − Æ¢
ƃD ∀c = 1, … , J
Le quantità a membro destro di tale identità vengono chiamate binomi lagrangiani.
DIM: Partiamo dalla definizione di componenti lagrangiane dell’opposto delle forze d’inerzia:
Come diretta conseguenza della regola di derivazione del prodotto di due funzioni, vale la seguente identità:
Consideriamo dunque il primo addendo:
ñ ê" K
KLì8⃗"⋅ ÆA"
ƃDî
R
"QJ
In quanto il sistema considerato è olonomo, vale la seguente identità:
ÆA"
ƃD = Æ8⃗"
ƃ̇D
Tale identità segue dalla definizione di velocità effettiva, la quale è esprimibile come:
8⃗" = ñÆA" I “coefficienti” UVU!"
# e U!U)" sono funzioni di (ƒJ, … , ƒ8, L) ma non di (ƒ̇J, … , ƒ̇8) perché il
sistema è olonomo, quindi le 8⃗" sono funzioni lineari di ƒ̇D e posso riscrivere:
8⃗" = PDƒ̇D+ m
Quindi, derivando parzialmente rispetto a ƒD, otteniamo l’identità:
ÆA" Ora consideriamo il secondo addendo del ´D:
ñ ê"8⃗" ⋅ K
Abbiamo che per i sistemi olonomi vale la seguente identità:
K KLìÆA"
ƃDî = Æ ÆƒDìKA"
KLî Ovvero è possibile commutare le derivate. Infatti:
K E da ciò si vede che le due espressioni coincidono. Dunque, sostituendo:
ñ ê"8⃗"⋅ K
75) Componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive per sistemi soggetti a forze conservative.
Sia ö un sistema olonomo soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative che ammettono un potenziale U. Allora le componenti lagrangiane delle sollecitazioni attive si possono scrivere come:
ÉD = ƨ
ƃD
DIM: Dato che le forze attive sono conservative, esse per definizione ammettono un potenziale U tale che:
ó⃗ = ∇¨ = ìƨ
ÆD,ƨ
ÆE,ƨ
Æõî Sempre per definizione, abbiamo che:
ÉD = ó⃗ ⋅ ÆA
Quindi, sostituendo le espressioni di UF e della derivata parziale di P, otteniamo:
ÉD= ó⃗ ⋅ ÆA 76) Equazioni di Lagrange nel caso conservativo.
Per un sistema olonomo soggetto a vincoli ideali e bilateri e sottoposto all’azione di forze attive conservative, le equazioni di Lagrange si possono riscrivere nella forma:
K KLìÆℒ
ƃ̇Dî − Æℒ ƃD = 0 Dove ℒ = ¢ + ¨ è detta funzione Lagrangiana o Lagrangiana.
DIM: Partendo dalle equazioni di Lagrange, abbiamo che:
K KLìÆ¢
ƃ̇Dî − Æ¢
ƃD = ÉD
Ma il sistema è soggetto a forze conservative che ammettono un potenziale U, quindi:
K
Dato che il potenziale non dipende dalle velocità, le derivate di T+U rispetto alle ƒ̇D coincidono con le rispettive derivate dell’energia cinetica, ovvero possiamo scrivere:
Æ¢
ƃ̇D =Æ(¢ + ¨) ƃ̇D Quindi otteniamo la tesi:
K 77) Equazioni di Lagrange in prima forma.
Consideriamo un sistema ö soggetto a vincoli ideali, olonomi e bilateri con n gradi di libertà. Prendiamo in considerazione r coordinate del sistema DJ, … , D& con 4 > J (ovvero in numero superiore ai gradi di libertà). Tali coordinate saranno legate tra loro da s
relazioni di vincolo:
YX(DJ, … , D&, L) = 0 ℎ = 1, … , I
Con J = 4 − I. Ora, dato che i vincoli sono ideali, olonomi e bilateri, abbiamo:
ñMó⃗"− ê"P⃗"N ⋅ ¡A"
R
"QJ
= 0
Nella quale compare lo spostamento virtuale ¡A", che può essere a sua volta riscritto come:
In questo caso però, a differenza delle equazioni della seconda forma, le coordinate non sono indipendenti tra di loro e quindi non è detto che la somma si annulli ponendo ÉD =
´D per ogni k. La somma però risulta nulla se poniamo ÉD− ´D = ñ ªXÆYX
ÆDD
A
Dove ªX ∈ ℝ sono i cosiddetti moltiplicatori di Lagrange. XQJ
Dimostriamo che tale affermazione è vera:
ñ(ÉD− ´D)¡DD
Quindi il termine tra parentesi tonde nella precedente equazione è nullo, ovvero si ha che, ponendo ÉD− ´D = ∑ ªXUYUZ$
#
AXQJ , la somma ∑&DQJ(ÉD− ´D)¡DD si annulla e la dimostrazione è conclusa.
In definitiva otteniamo un sistema I + 4 equazioni in I + 4 incognite dato da r equazioni di Lagrange e s equazioni di vincolo:
K
78) Funzione di Hamilton e Lagrangiana.
Sia ö un sistema olonomo di coordinate libere {ƒJ, … , ƒ8} soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative. Allora la derivata temporale della funzione di Hamilton definita come
ℋ = ñ ^Dƒ̇D
8
DQJ
− ℒ
È legata alla dipendenza esplicita della lagrangiana dal tempo, ovverosia:
Kℋ
KL = −Æℒ ÆL
DIM: Deriviamo totalmente rispetto al tempo la funzione di Hamilton sfruttando la regola di derivazione del prodotto di funzioni:
Kℋ
Ora sviluppiamo la derivata totale della Lagrangiana considerando che è una funzione composta in più variabili, ciascuna dipendente dal tempo:
ℒ(ƒD, ƒ̇D, L) ⟹ Kℒ Ora analizziamo il primo dei tre addendi: dato che il sistema è olonomo e soggetto a vincoli ideali e bilateri e a forze attive conservative, sappiamo dalle equazioni di Lagrange in II forma che:
E infine, sostituendo nella formula che esprime la derivata dell’Hamiltoniana:
Kℋ
Da quest’ultimo risultato segue inoltre che, se la lagrangiana non dipende esplicitamente ÆL dal tempo ÄUℒU) = 0Å, allora l’hamiltoniana è un integrale primo del moto detto Integrale Generalizzato dell’Energia.
79) Hamiltoniana ed energia meccanica, Teorema di Eulero.
Consideriamo un sistema ö olonomo di n coordinate libere, con vincoli ideali e bilateri e soggetto a forze conservative. Se i vincoli esterni a cui è sottoposto il sistema sono fissi, allora la funzione di Hamilton coincide con l’energia meccanica:
n ≡ Ø = ¢ − ¨
DIM: Per dimostrare questo teorema, è sufficiente dimostrare la veridicità dell’identità:
ñ ^Dƒ̇D
8
= 2¢
Infatti, se vale questa, dalla definizione di Hamiltoniana possiamo dire:
ℋ = ñ ^Dƒ̇D
8
DQJ
− ℒ = 2¢ − (¢ − ¨) = ¢ + ¨ = Ø
Dimostriamo dunque l’identità. In generale, la definizione di energia cinetica è:
¢ = ñ1 2ê"8".
R
"QJ
E abbiamo che per i sistemi olonomi la velocità è esprimibile come:
8⃗" = KA"(ƒJ, … , ƒ8, L)
E, dal momento che i vincoli esterni sono fissi, possiamo immediatamente dire che U!U)" = 0, ovvero:
8⃗" = ñÆA"
ƃDƒ̇D
8
Sostituendo dunque tale espressione della velocità nella formula dell’energia cinetica DQJ
otteniamo:
Possiamo ora risistemare le somme ottenendo:
Possiamo ora risistemare le somme ottenendo: