Consideriamo il seguente sistema rappresentato in figura:
Abbiamo un disco di raggio R e di angolo di rotazione 6 incernierato nel suo centro O a una cerniera fissa. Attorno alla sua periferia è avvolto un filo inestendibile che si distacca nel punto A del disco e prosegue verticalmente fino al punto B di un secondo disco di raggio r, centro E e angolo di rotazione Y. Il filo continua ad avvolgersi attorno a questo disco fino a distaccarsi di nuovo nel punto C e prosegue verticalmente fino al punto D, in cui è vincolato con un chiodo fisso. Imponiamo inoltre dei vincoli di rotolamento senza strisciamento in A, B e C. Ci proponiamo di determinare il rapporto tra le velocità angolari.
Innanzitutto notiamo che il sistema presenta un unico grado di libertà: infatti se
blocchiamo l’angolo 6, il tratto AB di filo rimane fermo perché il disco non può ruotare.
Inoltre i punti B e C del disco di raggio r avranno velocità nulla e quando un corpo possiede due punti distinti a velocità nulla, allora anch’esso è fermo. Quindi il sistema è
completamente immobile e abbiamo un’unica coordinata libera.
Ora per le proprietà del filo inestendibile abbiamo che 8/ = 80 e 84 = 8E = 0 in quanto il punto D è immobile e vincolato al soffitto (si noti però che 84 ≠ 80 perché la forma del filo cambia attorno alla periferia del disco). Applichiamo dunque la formula generale dell’atto di moto di un corpo rigido:
8⃗/ = 8⃗5+ b99⃗(F)∧ (U − C)
⟹ 8/ = t6̇
Dove, si noti, il segno positivo è dovuto al fatto che abbiamo orientato l’asse y verso il basso. Ora analizziamo l’atto di moto del secondo disco:
8⃗4 = 8⃗0+ b99⃗(&)∧ (T − S)
Ma 8⃗4 = 0 perché è il centro d’istantanea rotazione del disco. Quindi:
0 = 80é̂ ± Ẏ24é̂
Ora dobbiamo determinare il segno. Prendiamo il disco piccolo ed eliminiamo tutti i vincoli:
la formula dell’atto di moto rigido deve valere a prescindere dall’atto di moto in cui si trova il disco (e quindi a prescindere dai vincoli), quindi scelgo arbitrariamente 80= 0 e vedo cosa succede a C. Se il disco ruota con Ẏ positivo, il punto C si porta verso il basso ovvero verso y positive. Quindi il segno da scegliere sarà quello positivo (e sarà tale anche per il sistema vincolato):
0 = 80é̂ + Ẏ24é̂
0 = t6̇ + Ẏ24 6̇ = −2Ẏ4
Il segno negativo ci dice che le velocità angolari dei due dischi sono in verso opposto: se il t disco R rotolerà in senso orario, quello r rotolerà in senso antiorario.
Consideriamo il sistema in figura:
Esso è formato da un disco di raggio R incernierato nel centro B e avente angolo di
rotazione è, un disco di raggio r con una cerniera mobile nel centro A e angolo di rotazione Y e un’asta rigida che collega i due centri e avente angolo di rotazione 6 rispetto
all’orizzontale. I due dischi rotolano tra di loro con un vincolo di puro rotolamento.
Iniziamo determinando i gradi di libertà: se blocco è, il disco R è bloccato ma r può rotolare comunque mantenendo il vincolo di puro rotolamento, quindi il sistema ha almeno due coordinate libere. Se blocco anche Y, il sistema è completamente immobile e quindi il sistema ha due gradi di libertà. Notiamo che, però, se procediamo col metodo classico dei conti otteniamo un risultato diverso: (3 + 3 + 3) − 2 (G?4J@?4P Ö@IIP) −
2 (G?4J@?4P êHm@Ü? @J S ^?4 K@IGH) − 2 (G?4J@?4P êHm@Ü? @J S ^?4 PILP) − 2 (8@JGHÜH K@ 4HLPÜê?JLH) = 1. Ciò è dovuto al fatto che il sistema è ipervincolato, ovvero è un sistema in cui l’insieme dei moti possibili rimane inalterato anche eliminando o riducendo alcuni dei vincoli presenti. Per precedere correttamente col calcolo, dovremmo considerare solo i due dischi senza l’asta: (3 + 3) − 2 (G?4J@?4P Ö@IIP) −
2 (G?4J@?4P êHm@Ü?) = 2, che è il risultato corretto. In generale, con i sistemi ipervincolati è meglio usare il metodo del bloccaggio.
Ora posso calcolare 8: sia come punto del disco R sia come punto del disco r:
8⃗: = tè̇L̂ GHJ L̂ 8?4IH4? LPJ•?JL? @J Ö@•ë4P Consideriamo ora l’altro disco:
8⃗: = 8⃗/ + b99⃗(&)∧ (n − U)
8:L̂ = 8/L̂ ± Ẏ4L̂
Ora determiniamo il segno. Considero il disco piccolo isolato senza vincoli, blocco il punto A (8/ = 0) e lo metto in rotazione. Per Y positivo, la velocità di H è diretta in verso opposto al versore tangente, quindi il segno sarà negativo.
8:L̂ = 8/L̂ − Ẏ4L̂
Ora eguaglio le due espressioni trovate per 8⃗:: tè̇ = 8/− Ẏ4
Notiamo che A appartiene anche all’asta e quindi la sua velocità è uguale alla velocità angolare dell’asta per la distanza tra A e B:
8/ = (t + 4)6̇
Dunque otteniamo:
tè̇ = (t + 4)6̇ − Ẏ4 Possiamo anche integrare nel tempo e ottenere:
tè = (t + 4)6 − Y4 29) Dischi internamente a contatto.
Esso è formato da un disco esterno di raggio R e angolo di rotazione è, incernierato nel centro B e a contatto al suo interno con un disco di raggio r mediante un vincolo di rotolamento puro nel punto H. Quest’ultimo ha angolo di rotazione Y e una cerniera mobile in A. I due centri B e A sono collegati da un’asta rigida con angolo di rotazione 6. Ci proponiamo di trovare la relazione tra le velocità angolari come nell’esercizio (28). Come prima abbiamo:
p 8⃗: = tè̇L̂
8⃗: = 8⃗/+ b99⃗(&) ∧ (n − U) = 8/± 4Ẏ
Ora determiniamo il segno. Come prima considero il disco isolato imponendo 8/ = 0 e imprimo una rotazione positiva. Noto che 8⃗: è diretto nello stesso verso del versore tangente, quindi il segno sarà positivo: 8: = 8/+ 4Ẏ. Come prima, 8/ equivale alla lunghezza dell’asta per la sua velocità angolare (in quanto B è il CIR dell’asta):
8/ = (t − 4)6̇
Quindi, eguagliando le due espressioni per 8:, ottengo:
tè̇ = (t − 4)6̇ + 4Ẏ
30) Cuscinetti a sfera.
Consideriamo il seguente sistema rappresentato in figura:
Esso rappresenta un cuscinetto a sfera schematizzato nel piano. Il sistema è costituito da un anello esterno fisso, da un disco di raggio R vincolato con una cerniera fissa nel centro B (che coincide con il centro dell’anello) e da un disco di raggio r vincolato ad una cerniera mobile nel centro A. I dischi di raggio R e r hanno rispettivamente angolo di rotazione è positivo orario e Y positivo orario. Inoltre il disco di raggio minore è vincolato a rotolare senza strisciare in H e K. Ci proponiamo di determinare il rapporto tra è ? Y.
Iniziamo innanzitutto notando che il sistema ha un grado di libertà in meno rispetto a quello dell’esercizio (29) e quindi avrà una sola coordinata libera. La formula tè̇ =
(t + 4)6̇ − Ẏ4 dell’esercizio (28), che è analogo a questo, deve valere indipendentemente dall’anello fisso. Ma ora, dato che quest’ultimo è presente, dobbiamo aggiungere il vincolo di rotolamento in K:
8; = 0 Ricaviamo dunque tale velocità:
8⃗; = 8⃗/ + b99⃗(&)∧ (v − U)
⟹ 8; = 8/± 4Ẏ
Determiniamo il segno: considero il disco r isolato e blocco il punto A. Se Ẏ è positivo, allora 8; si muove nel verso positivo del vettore tangente, quindi dobbiamo mettere il
6̇ = − 4 t + 4Ẏ
Ora sostituisco e ottengo:
tè̇ = −24Ẏ ⟹ è̇ = −24Ẏ
t 31) Disco su guida verticale con guida semicircolare mobile.
Consideriamo il sistema schematizzato in figura:
Esso è costituito da una lamina con profilo semicircolare di raggio R vincolata a traslare orizzontalmente lungo una guida rettilinea; sulla lamina rotola senza strisciamento un disco di raggio r che presenta un carrello nel centro A che lo costringe a muoversi solo
verticalmente. Ci proponiamo di esprimere la velocità della lamina e del carrello in funzione di Y ? Ẏ.
Iniziamo notando che il sistema presenta un solo grado di libertà: se blocchiamo la lamina, dato che il punto A è sulla guida verticale, il disco non può ruotare. Dunque il sistema è immobile e abbiamo un’unica coordinata libera. Questa configurazione è molto simile a quella dell’esercizio (29): chiamiamo è l’angolo di rotazione della lamina e 6 l’angolo di rotazione che la congiungente dei punti A e B forma con la verticale. Possiamo riscrivere la velocità come prima:
tè̇ = (t − 4)6̇ + 4Ẏ
Ora, dato che è è cosante (la lamina non ruota), la sua derivata è nulla. Quindi:
6̇ = − 4Ẏ
t − 4 Inoltre, per quanto riguarda il punto A, possiamo dire:
rD/ = D0+ (t − 4) sin 6 E/ = E0− (t − 4) cos 6 Derivando nel tempo:
pḊ/ = Ḋ0+ (t − 4)6̇ cos 6 Ė/ = Ė0+ (t − 4)6̇ sin 6 Ma A può solo traslare verticalmente, quindi:
Ḋ/ = Ḋ0+ (t − 4)6̇ cos 6 = 0
⟹ Ḋ0 = −(t − 4)6̇ cos 6 = (t − 4) 4Ẏ
t − 4cos Ä− 4Y t − 4Å = = 4Ẏ cos Ä 4Y
t − 4Å
E abbiamo così ricavato la velocità della lamina. Ricaviamo infine la velocità verticale di A, riconoscendo che la lamina trasla solo orizzontalmente e che quindi Ė0= 0:
Ė/ = (t − 4)6̇ sin 6 = −(t − 4) 4Ẏ
sin Ä− 4Y Å
= 4Ẏ sin Ä 4Y t − 4Å 32) Due aste con carrelli e cerniera mobile.
Consideriamo il sistema illustrato in figura:
Esso è costituito due aste, entrambe di lunghezza L, con un estremo comune C vincolato da una cerniera mobile. Inoltre sia in A sia in B è presente un carrello costretto a muoversi su una guida rettilinea orizzontale. Sia infine 6 l’angolo di rotazione di entrambe le aste (il triangolo è sempre isoscele) e sia P un piolo che si trova ad un’altezza di <.. Ci proponiamo di calcolare 8/ ? 80 in funzione di 6 ? 6̇.
Iniziamo innanzitutto determinando i gradi di libertà: se blocco l’angolo di rotazione, il punto B non può più muoversi altrimenti perderebbe il contatto con il piolo e neanche AC potrebbe muoversi in quanto l’angolo è fissato. Dunque vi è una sola coordinata libera.
Sia ora O la proiezione di P sull’asse orizzontale e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con origine in O. Considerando il triangolo BOP, notiamo che:
tan 6 =q 2
1
Ma, per come è stato fissato il sistema di riferimento, possiamo dire che: CS CS = D0 ? D0 = q
2 tan 6 = q 2cot 6
Se deriviamo l’espressione appena trovata nel tempo, otteniamo la velocità 80 del carrello in B:
Ḋ0= −q 2
6̇
sin.6 ⟹ 8⃗0 = Ḋ0ç̂
Determiniamo ora la velocità di A. Notiamo che US = 2q cos 6
Inoltre, per come abbiamo posto il sistema di riferimento, possiamo scrivere:
US = D0− D/ E dunque
D/ = D0− 2q cos 6 =q
2cot 6 − 2q cos 6 Ora derivando nel tempo otteniamo la velocità di A:
Ḋ/ = −q 2
6̇
sin.6+ 2q6̇ cos 6 ⟹ 8⃗/ = Ḋ/ç̂
33) Disco e asta con carrello.
Consideriamo il sistema in figura:
Esso è costituito da un disco incernierato nel suo centro O e con angolo di rotazione Y, un’asta rigida BA che ha contatto senza strisciamento col disco in H e un carrello vincolato ad una guida orizzontale fissa in A. Sia 6 l’angolo di rotazione dell’asta. Ci proponiamo di trovare il legame tra Ẏ ? 6̇.
Notiamo innanzitutto che c’è un solo grado di libertà: infatti, se blocchiamo 6, il carrello è fissato (perché altrimenti l’asta perderebbe il contatto col disco= e neanche il disco può rotolare per due sue punti hanno velocità nulla (il centro O e il punto H, in cui la velocità è uguale a quella dell’asta che è, appunto, ferma).
Ora considerando le velocità 8⃗: (che sarà perpendicolare al segmento OH) e 8⃗/, troviamo mediante il teorema di Chasles il centro d’istantanea rotazione dell’asta. Notiamo che l’angolo tra CH e CA coinciderà con 6. Ora procediamo a calcolare la velocità di H come punto del disco:
8⃗: = tẎL̂
Dove L̂ è il versore tangente al disco come mostrato in figura. Analizziamo ora la velocità di H per l’asta:
8⃗: = −Tn6̇L̂
In quanto C è il centro d’istantanea rotazione dell’asta. Il segno meno è dovuto al fatto che abbiamo scelto 6 orientato positivamente per l’asta, quindi per valori crescenti di tale angolo H si muoverà in verso opposto al versore tangente. Eguagliamo ora i due risultati ottenuti:
tẎL̂ = −Tn6̇L̂
tẎ = −Tn6̇
Ora dobbiamo esprimere la quantità CH. Consideriamo il triangolo ACH e notiamo che:
tan 6 =Un Inoltre, guardando il triangolo OAH, troco anche che: Tn
tan 6 = t
Un ⟹ Un = t cot 6 Quindi:
Tn = t cot.6 Da cui ricaviamo:
tẎ = −t cot.6 6̇ ⟹ Ẏ = −6̇ cot.6 34) Disco con rotolamento senza strisciamento e asta con carrello.
Consideriamo il sistema rappresentato in figura:
Esso è formato da un disco incernierato in O che rotola senza strisciare in K e da un’asta AB che è vincolata in A ad un carrello costretto a traslare orizzontalmente e in H a rotolamento senza strisciamento. Siano inoltre Y l’angolo di rotazione del disco, 6 l’angolo di rotazione dell’asta e L̂ il versore tangente all’asta. Ci proponiamo di trovare il legame tra Ẏ ? 6̇.
Riproponiamo la costruzione di Chasles vista al punto (33), trovando così il centro d’istantanea rotazione C. Scriviamo le due espressioni per la velocità di H:
8⃗: = tẎL̂ (|@IGH) 8⃗: = −Tn6̇L̂ (UILP)
Ora calcoliamo la quantità CH. Notiamo innanzitutto che OA, per le proprietà delle tangenti ad una circonferenza, è la bisettrice dell’angolo di rotazione dell’asta 6, il quale è lo stesso tra i segmenti CH e CA. Ora, considerando il triangolo ACH, abbiamo che:
tan 6 =Un Ora, considerando il triangolo OAH: Tn
tan6 2= t
Un ⟹ Un = t cot6 2 Da cui segue che:
Tn = t cot6 2cot 6 Ovvero:
tẎ = −t6̇ cot6
2cot 6 ⟹ Ẏ = −6̇ cot6 2cot 6 Si noti che possiamo riscrivere cot#.cot 6 =J2GHI #GHI # , infatti:
cot6
2cot 6 =cos6 2 cos 6
sin 62 sin6 = cos6 2 cos 6 2 sin 62 cos6
2 sin6 2
= cos 6 2 sin.6 Ma: 2
cos 2ë = 1 − 2sin.ë Quindi:
cos 6 2 sin.6
2
= cos 6 1 − cos 6 Infine:
Ẏ = − 6̇ cos 6 1 − cos 6 35) Disco libero con asta con carrello.
Consideriamo il sistema rappresentato in figura:
Esso è costituito da un disco di centro O che rotola senza strisciare in K su una guida
orizzontale piana con angolo di rotazione Y, alla quale è a sua volta vincolata un’asta rigida AB mediante un carrello in A. Quest’ultima ha angolo di rotazione 6 e ha vincolo di
contatto senza strisciamento col disco in H. Ci proponiamo di calcolare Ẏ ? 8⃗5 in funzione di 6, 6̇.
Iniziamo innanzitutto col determinare i gradi di libertà del sistema: se blocchiamo il disco, l’asta non può più muoversi a causa del vincolo di contatto e quindi anche l’asta è ferma.
Quindi il sistema ha una sola coordinata libera.
Ora notiamo che la velocità 8⃗: non è più tangente al disco perché in questo caso il centro d’istantanea rotazione è v, quindi bisogna considerare la perpendicolare la direzione perpendicolare a HK per trovare la velocità in H. Notiamo inoltre che per le proprietà delle tangenti ad una circonferenza, OA è bisettrice dell’angolo 6 ed è perpendicolare al
segmento HK. Inoltre, se prendiamo per versore tangente L̂ quello parallelo a 8⃗:, otteniamo:
L̂ ⊥ nv L̂ ∥ CU CU ⊥ nv
Ora, considerando la formula generale dell’atto di moto rigido, mettiamo in relazione le due espressioni della velocità di H:
(|@IGH) 8⃗: = nvẎL̂ = nvẎ ìcos6
2ç̂ − sin6 2é̂î
(UILP) 8⃗: = 8⃗/+ b99⃗((A)()∧ (n − U) = 8⃗/− 6̇c> ∧ (n − U)
= Ḋ/ç̂ − 6̇c> ∧ (−Un cos 6 ç̂ + Un sin 6 é̂)
= Ḋ/ç̂ + 6̇Un cos 6 é̂ + 6̇Un sin 6 ç̂
Da cui ottengo:
xnvẎ cos6
2= Ḋ/+ 6̇Un sin 6
−nvẎ sin6
2= 6̇Un cos 6
La seconda formula è quella che ci dà la relazione desiderata tra Ẏ ? 6̇.
Ora, considerando il punto medio M del segmento HK, possiamo scrivere:
nv = vï + ïn = 2vï = 2t cos6 Ovvero: 2
ïv
Cv = cos6 Mentre AH sarà definito, come nel punto (34), da: 2
Un = t cot6 Ora sostituiamo nella relazione di nostro interesse: 2
−nvẎ sin6
2= 6̇Un cos 6
−2t cos6
2Ẏ sin6
2 = 6̇t cot6 2cos 6
− sin 6 Ẏ = 6̇ cot6 2cos 6 Ẏ = −6̇ cot 6 cot6
Notiamo che è esattamente lo stesso risultato ottenuto al punto (34): basta cambiare 2 sistema di riferimento ponendolo con origine in O. Dato che è solo una traslazione, gli angoli non cambiano e si ottiene una formula equivalente.
Infine, la velocità del centro O sarà:
8⃗5 = CvẎç̂ = tẎç̂
36) Prima equazione cardinale della dinamica.
Sia t9⃗(%) il risultante delle forze esterne agenti su un sistema qualunque e sia É9⃗ la quantità di moto totale dello stesso sistema. Allora si ha:
KÉ9⃗
KL = t9⃗(%)
(NB: Questa relazione vale per i sistemi di riferimento inerziali).
DIM: Consideriamo la definizione di quantità di moto per un sistema discreto e deriviamola nel tempo:
KÉ9⃗
KL = K
KLñ ê"8"
"
= ñ K
KLê"8"
"
Dove abbiamo portato la derivata all’interno della sommatoria in quanto la somma è finita.
La massa, per il secondo principio della dinamica, è una costante e quindi posso portarla fuori dalla derivata. Infine, per definizione, la derivata della velocità nel tempo è
l’accelerazione:
= ñ ê" K KL8"
"
= ñ ê"P"
"
=⏞
<%>>% K-8$(?%8)(+% $%++( $"8(?"L(
ñ ó⃗"
"
Dove ó⃗" è la forza agente sul singolo punto i. Tale termine può essere riscritto come la somma di due contributi:
ñ ó⃗"
"
= t9⃗(%)+ t9⃗(")
Che sono rispettivamente il risultante delle forze esterne e il risultante delle forze interne agenti sul sistema. Ora, per il principio di azione e reazione, sappiamo che le forze interne sono a due a due uguali in modulo e direzione e opposte in verso, quindi si annullano a vicenda, ovvero:
t9⃗(") = 0 Quindi otteniamo la tesi:
KÉ9⃗
KL = ñ ó⃗"
"
= ñ t9⃗"(%)
"
= t9⃗(%)
Sia G il centro di massa di un sistema qualunque e sia m la massa totale di tale sistema.
Allora vale la seguente relazione con la quantità di moto del sistema:
É9⃗ = ê8⃗=
DIM: Consideriamo la definizione del vettore posizione (ò − C) che individua il centro di massa:
(ò − C) =∑ ê" "(A"− C)
Dove O è l’origine del sistema di riferimento. Ora, se deriviamo tale vettore posizione nel ê tempo, otteniamo che:
K
KL(ò − C) = 8⃗= =∑ ê" K
KL (A" − C)
"
ê = ∑ ê" "8"
Ora, moltiplicando entrambi i membri per la massa totale del sistema e notando che la ê sommatoria a destra è la definizione di quantità di moto del sistema, otteniamo la tesi:
É9⃗ = ê8⃗= 38) Il centro di massa è solidale al corpo rigido.
Sia G il centro di massa di un corpo rigido. Allora G è solidale al corpo stesso, ovvero per tale punto vale la formula generale di atto di moto rototraslatorio:
8⃗= = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (ò − U)
Dove A è un qualunque altro punto appartenente al corpo rigido.
DIM: Consideriamo il vettore (ò − U):
(ò − U) =∑ ê" "(A"− U)
Dove m è la massa totale del sistema. Derivando nel tempo otteniamo: ê K
KL(ò − U) = 8⃗= − 8⃗/ = ∑ ê" "(8⃗" − 8⃗/)
Ora, sappiamo che tutti i punti i-esimi appartengono al corpo rigido così come A, quindi ê possiamo riscrivere la velocità di tali punti usando la formula generale dell’atto di moto rototraslatorio:
8⃗" = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (A" − U) Sostituendo avremo dunque:
8⃗= − 8⃗/ = ∑ ê" "(8⃗/ + b99⃗ ∧ (A" − U) − 8⃗/)
ê = ∑ ê" "Mb99⃗ ∧ (A"− U)N
Dal momento che la velocità angolare non dipende dal pedice i (infatti è la stessa per tutti i ê punti del corpo rigido), possiamo portarla fuori dalla sommatoria e portiamo la massa al membro di destra del prodotto vettore:
b ∧∑ ê" "(A"− U)
Ma quella tra parentesi è proprio la definizione del vettore (ò − U) data a inizio ê dimostrazione, quindi otteniamo che:
8⃗= = 8⃗/+ b99⃗ ∧ (ò − U)
Il che significa che il centro di massa è solidale al corpo rigido a cui appartiene.
39) Proprietà di simmetria.
Sia ö un sistema simmetrico in massa e in forma rispetto ad un piano. Allora il centro di
DIM: Supponiamo, senza perdite di generalità, che il piano di simmetria del corpo sia il piano xy (õ = 0). Se il corpo è dotato di simmetria di forma e di massa, vuol dire che per ogni punto A" di massa ê" e coordinate (D6, E6, õ6) esiste un punto É", simmetrico rispetto al suddetto piano, di massa ê" (simmetria di massa) e di coordinate (D6, E6, −õ6)
(simmetria di forma). Allora, per la definizione di centro di massa del sistema:
(ò − C) =∑ ê" "(A"− C)
Abbiamo che le coordinate z delle coppie di punti simmetrici, dal momento che questi ê hanno uguale massa, si elidono, ovvero la coordinata z del centro di massa sarà:
õ= =∑ ê" "õ"
ê = 0
Quindi il centro di massa apparterrà al piano di simmetria del corpo.
40) Formula del trasporto per il momento di una forza.
Sia ö un sistema qualunque (discreto o continuo). Fissati due punti A e B appartenenti al sistema, si ha che la relazione tra i due momenti sarà:
ï99⃗0 = ï99⃗/ + t9⃗ ∧ (S − U) Dove t9⃗ è il risultante di tutte le forze agenti nel sistema:
t9⃗ = ñ ó⃗"
"
DIM: Per definizione di momento di una forza, il momento rispetto al polo B sarà:
ï99⃗0 = ñ(A"− S) ∧ ó⃗"
"
= ñ[(A" − U) + (U − S)] ∧ ó⃗"
"
=
= ñ(A"− U) ∧ ó⃗" + ñ(U − S) ∧ ó⃗"
"
"
Dove la prima sommatoria rappresenta la definizione di momento di una forza rispetto al polo A. Dunque otteniamo che:
ï99⃗0 = ï99⃗/+ (U − S) ∧ ñ ó⃗"
"
= ï99⃗/+ (U − S) ∧ t9⃗ = ï99⃗/ − (S − U) ∧ t9⃗ =
= ï99⃗/+ t9⃗ ∧ (S − U)
Dove abbiamo usato le proprietà del prodotto vettoriale per giungere alla tesi.
41) Momento di una coppia di forze.
Il momento di una forza di coppie non dipende dal polo rispetto al quale lo si calcola.
DIM: Scegliamo un punto O arbitrario per calcolare il momento della coppia di forze, le quali sono applicate nei punti A e B. Allora:
ï99⃗5 = (U − C) ∧ M−ó⃗N + (S − C) ∧ Mó⃗N = [(U − C) − (S − C)] ∧ ó⃗ =
= (U − S) ∧ ó⃗
Quindi, poiché per definizione le due forze sono uguali in modulo e direzione ma opposte in verso, riusciamo ad eliminare il polo O dalla somma, il che significa il momento della coppia non dipende dal polo rispetto al quale lo si calcola.
Sia ö un sistema qualunque. Allora, scelti due punti A e B come poli per il calcolo del momento delle quantità di moto, si ha che:
Γ⃗0 = Γ⃗/ + É9⃗ ∧ (S − U) Dove É9⃗ è la quantità di moto del sistema.
DIM: Per la definizione di momento delle quantità di moto rispetto al polo B si ha:
Γ⃗0 = ñ(A" − S) ∧ ê"8⃗" 43) Seconda equazione cardinale della dinamica.
Sia ï99⃗5(%) il momento (risultante) delle forze esterne agenti su un sistema qualunque rispetto al polo O. Sia 8⃗5 la velocità con cui si sposta il polo e sia Γ⃗5 il momento delle quantità di moto del sistema rispetto a O. Allora si ha:
KΓ⃗5
KL = ï99⃗5(%)− 8⃗5∧ É9⃗
DIM: Per la definizione di momento delle quantità di moto, abbiamo:
Γ⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ê"8"
"
Derivando rispetto al tempo:
KΓ⃗5
Dove abbiamo usato il fatto che il prodotto vettoriale di vettori paralleli è nullo e le definizioni di quantità di momento e momento delle forze esterne.
44) Momento delle quantità di moto rispetto al centro di istantanea rotazione.
Il momento delle quantità di moto di un corpo rigido rispetto al proprio centro di istantanea rotazione O è uguale a:
Γ⃗5 = ù5b99⃗
Dove ù5 è il momento di inerzia del corpo rispetto a O e b99⃗ è la sua velocità angolare.
DIM: Per la definizione di momento delle quantità di moto rispetto al polo O:
Γ⃗5 = ñ(A"− C) ∧ ê"8⃗"
"
Dato che il corpo è rigido, possiamo riscrivere le velocità dei singoli punti usando la formula generale dell’atto di moto rigido rototraslatorio:
8⃗ = 8⃗ + b99⃗ ∧ (A − C) = b99⃗ ∧ (A − C)
Dove 8⃗5 = 0 in quanto O è il centro di istantanea rotazione. Quindi, sostituendo:
Γ⃗5 = ñ(A" − C) ∧ ê"8⃗"
"
= ñ(A"− C) ∧ ê"[b99⃗ ∧ (A" − C)]
"
=
= ñ(A" − C) ∧ [b99⃗ ∧ ê"(A" − C)]
"
Ora, usando la formula del prodotto vettoriale triplo, abbiamo:
= ñ ê"(A" − C).b99⃗ − [(A" − C) ⋅ b99⃗]ê"(A" − C)
"
Il prodotto scalare tra la velocità angolare e il vettore posizione risulta nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari: infatti la velocità angolare è sempre perpendicolare al piano di rotazione, mentre il vettore posizione, poiché il corpo è piano, è sempre contenuto nel piano del moto. Quindi:
= ñ ê"(A"− C).b99⃗
"
= b99⃗ ñ ê"(A"− C).
"
= ù5b99⃗
45) Momento delle quantità di moto rispetto al centro di massa.
Il momento delle quantità di moto di un corpo rigido piano rispetto al proprio centro di massa è data da:
Γ⃗= = ù=b99⃗
Dove compaiono il momento di inerzia del corpo rispetto al centro di massa e la sua velocità angolare.
DIM: Considerando la definizione di momento delle quantità di moto, abbiamo:
DIM: Considerando la definizione di momento delle quantità di moto, abbiamo: