gli insegnanti e con gli alunni il software e i modelli manipolabili sono utilizzati in interazione; con gli insegnanti abbiamo posto particolare attenzione all’analisi delle potenzialità e dei limiti di ciascuno strumento. Il compito richiede di identificare ed esplicitare le caratteristiche che i poligoni iniziali devono necessariamente avere affinché sia possibile, dopo aver effettuato uno o più tagli, ottenere il quadrato con un movimento, o una composizione di movimenti dei pezzi. In Figura 4 sono riprodotti con GeoGebra i tre triangoli iniziali con i quali si è lavorato nella prima fase, attraverso la manipolazione degli stessi triangoli costruiti con carta o cartoncino leggero.
Figura 4: “A caccia del quadrato!”
Il problema posto in questa fase è quello di determinare e motivare la risposta rispetto alla possibilità di ricostruire un quadrato dai tre triangoli con un solo taglio. Per ciascun taglio effettuato che permetta di trovare il quadrato si chiede di precisare quale movimento rigido del piano porta i due poligoni determinati dal taglio dalla posizione “a triangolo” a quella del quadrato. Come si può osservare dalla soluzione rappresentata in Figura 4, nel caso del triangolo rettangolo isoscele e di uno solo dei due triangoli rettangoli scaleni è possibile costruire un quadrato operando un solo taglio. Il quesito quindi si può utilizzare sia con gli insegnanti che con gli alunni (l’attività può essere proposta dalla classe 4a primaria, se ci si limita a questa formulazione del problema; se si modificassero le domande inserendone di collegabili a quesiti di isoperimetria e di equiestensione, o di analisi di altre proprietà dei poligoni, può essere utilizzata fino alla terza classe della secondaria di primo grado e anche nel biennio della secondaria di secondo grado) per riflettere su alcuni aspetti legati a proprietà metriche, geometriche ma anche matematiche in senso lato che entrano in gioco. Segnaliamo due aspetti di particolare rilevanza per la determinazione di un significativo clima di laboratorio, nella gestione dell’attività.
6 Laboratorio del quale abbiamo riproposto alcune attività in questo IV GeoGebra Italian day. Si veda in questi atti l’articolo dal titolo A caccia del quadrato!
Primo aspetto: la scelta delle variabili didattiche. I triangoli, o gli altri poligoni, dai quali si deve ricostruire il quadrato sono costruiti ad hoc, in una scelta a priori fatta proprio con questa finalità, per permettere di avere una, nessuna o più soluzioni. Ad esempio nel caso del triangolo scaleno solo quando uno dei cateti è il doppio dell’altro si potrà ricostruire il quadrato. È quindi colta l’occasione per produrre questioni o domande che conducono a quesiti che non hanno soluzione o ne hanno più di una, aspetto importante per evitare che si irrigidisca una visione del problema di matematica come avente sempre una ed una sola soluzione. Secondo aspetto: la funzione produttiva o riduttiva della visualizzazione e della manipolazione di oggetti materiali come mediatori semiotici per la costruzione di saperi matematici. Ad esempio consideriamo il fatto seguente che risulta ricorrente nella nostra esperienza: nella rotazione di 180°, il verso è indifferente, ma l’esperienza ci ha confermato che nella attività di manipolazione con i modelli cartacei quasi sempre il verso della rotazione scelto è quello che non porta il triangolo a sovrapporsi con il pezzo restante del quadrilatero. Si tende cioè a muovere il pezzo traslandolo o ruotandolo nella parte del piano “libera”. Questa risposta parziale, o talvolta l’assenza di una soluzione possibile (nel caso del rombo riportato in Figura 5 la soluzione più ricorrente è quella della opportuna rotazione dei due triangoli e non quella della traslazione dei due triangoli che è riprodotta in figura) è in qualche modo veicolata e favorita dalla utilizzazione dei modelli cartacei; l’utilizzazione integrata (prima, dopo o durante la manipolazione) della ricostruzione con GeoGebra può essere utile alla riflessione sulle trasformazioni come movimenti del piano in sé. GeoGebra permette infatti di costruire la traslazione e la rotazione con due modalità che messe a confronto permettono di apprezzare anche visivamente “l’effetto” del movimento nel piano: si possono utilizzare direttamente le funzioni Traslazione e Rotazione oppure si possono costruire tutti gli elementi necessari e poi riprodurre i movimenti con slider o dragging (Arzarello & altri, 2002).
Figura 5: Dal rombo al quadrato - Traslazione e Rotazione
Nella figura si può notare una fase del movimento riproducibile agendo sui due vettori della traslazione, e una fase della rotazione che è ottenibile tenendo variabile l’angolo di rotazione. In una fase successiva del laboratorio abbiamo posto la domanda sul numero minimo di tagli necessario per passare da un quadrilatero assegnato al quadrato: nell’esempio riportato si tratta di costruire il quadrato dal rombo e verificare che sono possibili quattro tagli, ma anche solo
due tagli. I movimenti che trasformano il rombo in quadrato possono essere diversi. Nel caso riportato nella Figura 5 sono utilizzate opportune traslazioni e rotazioni dei triangoli ottenuti con i tagli.
Riportiamo nel seguito le riflessioni degli insegnanti fatte sulla base della richiesta seguente da noi formulata a conclusione del laboratorio7: esprimi le tue considerazioni sull’efficacia/criticità dei mediatori didattici di questo laboratorio
“Aspetto manipolativo efficace come quello con GeoGebra. Il primo però è più efficace per i
più deboli per la possibilità di vedere fisicamente lo spazio e il movimento. Inoltre dovrebbe essere affrontato per primo perché tramite la manipolazione e la relativa discussione li rende maggiormente consapevoli.”
“manipolazione – criticità: irreversibilità delle azioni se taglio; efficacia: possibilità dell’esperienza concreta con manipolazione diretta – GeoGebra: dinamicità efficace e immediatezza – difficoltà nell’uso del software”
“manipolazione- avvia alla comprensione, permette di agire concretamente, di sbagliare e di riflettere sugli errori – criticità: nelle scuole secondarie rischiano di diventare un “ gioco” se usati eccessivamente.”
“manipolazione: manualità, fare congetture, mettersi in gioco; GeoGebra: come verifica- dinamicità, attrazione”
“manipolazione – efficacia: animazione, sperimentazione diretta, lavoro in coppia, gioco, domande stimolo, geometria interattiva, possibilità di ricostruire la situazione di partenza per confrontarla con il risultato; criticità: difficoltà a seguire tutti i gruppi di lavoro, difficoltà a gestire i tempi per riprodurre il lavoro sul quaderno
“manipolazione – attività laboratoriale che lascia il segno, richiede molto tempo, difficile fare il salto di qualità nella generalizzazione”
È evidente da un lato l’apprezzamento per l’apporto fornito da questi strumenti e dall’altro una manifesta preoccupazione, che abbiamo largamente verificato in tutte le nostre esperienze di formazione, rispetto alla difficoltà dell’insegnante di gestione del tempo e delle dinamiche di classe che la messa in opera di un clima di laboratorio determina.