Nel corso, esaminati i fondamenti della matematica sia dal punto di vista classico che da quello cognitivo, si sono rivisitati i concetti geometria greca classica alla luce degli sviluppi moderni della matematica. In particolare si sono messi in risalto i legami esistenti tra numeri e geometria euclidea attraverso le configurazioni dei teoremi di Talete, di Pappo e di Desargues (vedere, ad esempio in Enriques, 1925 e bibliografia in Anatriello, 2014a).
Figura 1: Configurazioni della Geometria euclidea di Talete, Pappo e Desargues.
Nella geometria euclidea rivisitata le costruzioni trasporto del segmento e trasposto dell’angolo sono state assunte per definire le relazioni di uguaglianza tra segmenti e angoli rispettivamente.
Figura 2: Costruzioni del trasporto del segmento e dell’angolo.
Si è poi introdotto un calcolo puramente geometrico tra punti che utilizza costruzioni con riga e compasso (ovvero gli assiomi degli Elementi di Euclide) per trasformare i contenuti della geometria euclidea in calcolo geometrico tra punti del piano: si è definita tra i punti del piano euclideo l’algebra dei numeri complessi rispetto ad un polo e una unità individuando in questo modo una struttura di campo nel piano euclideo.
Figura 3: Costruzione del punto somma e del punto prodotto.
Tale struttura è stata definita in ambito puramente geometrico senza coinvolgere il concetto di numero, utilizzando solo gli enti primitivi della geometria euclidea e gli assiomi ad essi relativi. Le trasformazioni fondamentali della geometria euclidea (isometriche e non) sono state quindi riguardate in termini di operazioni (come trasformazione che produce un punto quando opera sugli altri).
GeoGebra ha le caratteristiche ideali per sviluppare il discorso: utilizzando le funzioni di riga
e compasso il discorso non è rimasto sul piano astratto, ma è stato mostrato. Con GeoGebra nel
compasso necessarie. Attraverso il bottone esegui, il processo costruttivo è stato riproposto per ottenere una perfetta comprensione, e con muovi si è constatata l’indipendenza del risultato dalla scelta dei parametri.
Si sono isolate poi la struttura affine (ovvero la struttura di spazio vettoriale) e quella metrica del piano euclideo.
Figura 4a: Somma di vettori Figura 4b: Prodotto di uno scalare per un vettore.
Si è giunti infine al metodo delle coordinate.
Il calcolo geometrico tra punti introdotto ha consentito di ottenere, in ambito puramente geometrico, una versione del Teorema di Pitagora, relativa a lunghezze di segmenti (e non ad aree); da essa ne deriva una corrispondente versione del Teorema di Carnot. Attraverso il Teorema di Carnot si è individuato per via puramente geometrica il prodotto scalare correlato alla metrica introdotta.
In questo modo si sono ridotti gli enti della geometria euclidea a punti della semiretta OU. Su tale semiretta si è isolata la struttura di monoide ordinato che ha dato luogo, grazie all’individuazione degli assiomi di completezza, divisibilità e continuità, a quella di spazio di
misura rispetto all’unità fissata. Tale passo ha consentito di caratterizzare i punti della semiretta
OU come numeri reali non negativi. La struttura che è rimasta definita sulla retta OU è quindi quella di campo ordinato completo.
In questo modo si è ottenuta l’algebrizzazione del piano euclideo e il passaggio dalla geometria euclidea piana alla geometria analitica del piano. La geometria euclidea tridimensionale ha consentito di individuare la struttura affine e quella metrica dello spazio tridimensionale, in analogo modo a quanto fatto per il piano.
Operata la trasformazione consapevole della geometria euclidea in geometria analitica, si sono resi visibili in GeoGebra nella vista grafica il riferimento cartesiano e la vista Algebra e si è passati ad esercitazioni di geometria analitica nel piano e nello spazio di carattere numerico. Nel programma un ruolo fondamentale è giocato dai numeri complessi. Con l’utilizzo di GeoGebra è stato facile trasmettere l’idea di diverse rappresentazioni algebrica per lo stesso ente e comprendere anche il significato dell’algebra in ambito geometrico.
Il modulo di Geometria si è concluso con una sezione dedicata all’Algebra lineare e alla risoluzione dei sistemi lineari. L’Algebra lineare è stata vista come estensione ad ambiti più astratti di enti e nozioni della geometria analitica. Utilizzando il CAS si sono risolti sistemi lineari utilizzando la teoria degli spazi vettoriali euclidei, avendo come obiettivo il consolidamento dei contenuti teorici che spesso risultano ostici.
Programma del modulo di Analisi matematica I con l’utilizzo di GeoGebra
La geometria euclidea fornisce un’idea consolidata di cosa sia una retta, una circonferenza, un piano, una sfera e più in generale di insiemi che possono essere descritti mediante questi termini. Non è in grado di studiare però una curva o una superficie generica, poiché, basandosisulle nozioni primitive di punti, segmenti, circonferenze e piani, da questi non riesce a definire curve e superfici generiche essendo il suo linguaggio inadeguato allo scopo. All’inizio del 1600 Cartesio e Fermat fornirono attraverso il metodo delle coordinate strumenti flessibili per descrivere curve e superfici. Questa strada portò all’individuazione di metodi di calcolo efficaci. E proprio ripercorrendo l’evoluzione della matematica e i processi cognitivi che hanno portato al suo sviluppo, ci siamo mossi dai metodo delle coordinate per studiare le curve.
In ambito puramente geometrico si è introdotta la Topologia naturale del piano e dello spazio, una curva è stata definita attraverso equazioni che individuino un insieme di punti dello spazio, equazioni soddisfacenti opportune proprietà. Per individuare tali proprietà così com’è avvenuto storicamente, si sono studiate le proprietà di curve particolari: i grafici delle funzioni elementari. Secondo il punto di vista adottato, la matematica si occupa di oggetti matematici e le sue teorie indirizzano il loro sforzo di ricerca verso la conoscenza di tali oggetti. Con questo spirito si sono ridefiniti e rivisitati anche i concetti di base dell’Analisi matematica e del Calcolo differenziale cercando di ritrovarne le origini cognitive. A tale scopo le proprietà grafiche delle funzioni
elementari sono stati gli oggetti messi a fondamento dell’Analisi matematica e dei suoi concetti
basilari, come il limite, la continuità e la derivabilità. Dunque queste curve hanno rappresentato un modello base per l’individuazione di quelle proprietà considerate proprie delle curve prima dell’avvento dell’aritmetizzazione dell’Analisi.
Il Calcolo porta sempre in sé un’eredità di natura geometrica e il caso delle funzioni di una o due variabili è un caso semplificato che ha permesso l’evoluzione della teoria matematica di curve e superfici. Da questa teoria, sviluppata per funzioni di una e due variabili, come accade sempre in matematica, si sono ramificati importanti sviluppi, ma cancellarne le origini è un’operazione che ne può sminuire la bellezza: le funzioni scalari giocano il ruolo di oggetti comodi, che sono stati prescelti come tali da un processo storico-culturale che avrebbe potuto prendere altre strade. Con l’ausilio di GeoGebra si sono indagati con maggiore efficacia i contenuti algebrici rappresentati nei grafici delle funzioni elementari, anche attraverso l’utilizzo di slider con i quali si sono resi dinamici i cambiamenti dei grafici delle funzioni elementari al variare dei parametri (basi o esponenti).
Si sono risolti i classici problemi algebrici ad essi relativi utilizzando in contemporanea sia CAS che l’interpretazione grafica dei risultati.
Fig. 6a - Diseguaglianze numeriche Figura 6b - Studio del segno di una funzione
Si è recuperato il contenuto intuitivo dinamico del concetto di limite come valore cui tende l’ordinata quando l’ascissa si avvicina ad un valore, riscoprendo in questo modo le ragioni dell’equivalenza con la definizione statica di limite di tipo proposizionale. L’utilizzo di GeoGebra è efficace non solo per le lezioni teoriche ma anche per le esercitazioni numeriche.
Figura 7: Limite con Taylor
Dalle funzioni elementari si è passati alle funzioni numeriche reali e di qui allo studio di curve generiche. Il comando curve di GeoGebra consente di immettere le equazioni parametriche e in CAS è possibile effettuare i calcoli necessari per determinare gli elementi geometrico- differenziali che determinano la curva come triedro di Frenét , curvatura e torsione.
Figura 8: Triedro di Frenét