Il problema della lettura del tempo, affrontato in un’ottica interdisciplinare conduce ad una naturale integrazione dei punti di vista della Fisica e della Matematica che hanno avuto un ruolo significativo nello sviluppo storico dell’argomento. A questo punto del percorso didattico, la modellizzazione matematica consente un salto astrattivo notevole: la descrizione sintetica e oggettiva della curva richiede l’introduzione di concetti e strumenti che vengono acquisiti e testati nella fase di studio del modello. Successivamente la valutazione del modello consente di perfezionare gli strumenti, riflettere sulla teoria ed evidenziare ulteriori esigenze. Per i suddetti motivi, il processo di modellizzazione consta di tre steps successivi, ogni step costituisce un miglioramento di quello precedente. Nello specifico, nel primo step si utilizza il foglio di lavoro di GeoGebra come un vero e proprio album da disegno: si parte dalla classica costruzione della spirale di Archimede con riga e compasso. Il secondo step assume una forte rilevanza dal punto di vista didattico perché richiede di affinare il processo di costruzione precedente: gli “oggetti predefiniti” presenti nella barra degli strumenti di GeoGebra non sono più sufficienti, da qui la necessità di ideare un nuovo strumento finalizzato ad evitare il processo ripetitivo seguito nel primo step. Verrà creato, dunque, un nuovo strumento denominato “ArcoSpirale” diretto alla costruzione degli archi raccordati della spirale. L’ultimo step, infine, è deputato a perfezionare ulteriormente il processo di costruzione iniziato nello step precedente.
Questo processo, altamente formativo, permette agli studenti di apprezzare le potenzialità del linguaggio matematico, al contempo, offre loro una chiave di lettura per assimilare con consapevolezza la teoria. Qui di seguito, si presentano dettagliatamente i tre steps.
Primo step
Costruzione classica della spirale di Archimede mediante gli “oggetti predefiniti”, presenti nella barra degli strumenti di GeoGebra: punto, poligono regolare, punto medio, semiretta,
circonferenza, arco. Questa modalità consentirà l’analisi dal punto di vista matematico della
costruzione.
I passi dell’algoritmo risolutivo sono i seguenti: 1. Disegnare due punti, A e B;
2. Costruire il quadrato ABCD di lato gli estremi A e B; 3. Determinare i punti medi (E, F, G, H) dei lati del quadrato;
4. Costruire le semirette (e, h, g, f) con origine i punti medi del quadrato e passanti per uno dei vertici del quadrato e appartenente al lato su cui giace il punto medio stesso (seguire il verso antiorario);
5. Costruire la circonferenza di centro A e passante per il punto B;
6. Determinare il punto di intersezione I tra la circonferenza costruita e la semiretta con origine il punto medio del lato AB e passante per A;
7. Tracciare l’arco p di centro A e estremi i punti B ed I; 8. Ripetere le operazioni da 5 a 7.
◦ Costruzione della circonferenza CC di centro A, B, C, D (nell’ordine) e raggio la distanza tra il vertice del quadrato ed il punto di intersezione tra la vecchia circonferenza e le semiretta e, h, g, f (nell’ordine);
Figura 4: Output della spirale di Archimede
.
A termine di questa fase si rileva come la ripetizione di un medesimo “algoritmo di risoluzione” conduca gli studenti ad assimilare meglio e più consapevolmente le peculiarità della curva in questione. Al contempo, però, aver ripetuto l’algoritmo per quattro/cinque volte consecutive e dopo averne compreso i vari passi può risultare noioso; a conti fatti, la spirale di Breguet è composta da 12 giri completi e per la realizzazione di un giro sono necessari quattro archi costruiti in maniera classica con riga e compasso.
Emerge così l’esigenza di snellire il processo ripetitivo inerente la costruzione degli archi raccordati, di conseguenza gli studenti sono chiamati a studiare una “strategia geometrica” finalizzata alla risoluzione del problema. In questo caso, il software GeoGebra fornisce un valido aiuto in quanto permette la creazione di “nuovi strumenti” computazionali da inserire nell’interfaccia del foglio di lavoro e, quindi, da utilizzare come “oggetti predefiniti”.
Secondo step
Predisporre un “nuovo strumento” denominato “ArcoSpirale” finalizzato alla costruzione di tutti gli archi raccordati in modo da ridurre il tempo di esecuzione dell’algoritmo precedente. Questo step è molto delicato perché gli studenti devono affrontare un salto astrattivo rilevante che comporta la progettazione dello strumento “ArcoSpirale” a partire dalla costruzione del primo arco; ciò richiede l’individuazione degli oggetti iniziali ( i punti A, B, il punto medio E tra A e B e la semiretta EA) e finali (il punto I e l’arco p).
I passi dell’algoritmo risolutivo sono i seguenti: 1. Disegnare due punti, A e B;
2. Costruire il quadrato di lato gli estremi A e B; 3. Determinare i punti medi dei lati del quadrato;
4. Costruire le semirette con origine i punti medi del quadrato e passanti per uno dei vertici del quadrato e appartenente al lato su cui giace il punto medio stesso (seguire il verso antiorario);
5. Costruire la circonferenza di centro A e passante per il punto B;
6. Determinare il punto di intersezione I tra la circonferenza costruita e la semiretta con origine il punto medio del lato AB e passante per A;
7. Tracciare l’arco p di centro A e estremi i punti B ed I;
8. Creare un nuovo strumento “ArcoSpirale”, avente come oggetti iniziali i punti A, B e il punto medio E tra A e B e la semiretta passante per i punti E ed A, e come oggetti finali il punto I e l’arco p, lo strumento creato potrà essere utilizzato cliccando sull’apposita icona; 9. Costruire gli archi di spirale raccordati, mediante lo strumento “ArcoSpirale” creato, con
opportuna scelta dei punti.
Figura 5: Output parziale della spirale di Breguet completa.
Figura 6: Output finale della spirale di Breguet completa.
A termine di questa fase è importante riflettere sulle possibilità di miglioramento del processo costruttivo della curva. Ancora una volta gli studenti vengono stimolati in modo da poter effettuare un addizionale salto astrattivo. Un’osservazione attenta conduce al fatto che lo strumento “ArcoSpirale” può essere ulteriormente perfezionato perché il secondo estremo di ciascun arco si può ottenere a partire dal primo estremo ruotandolo di 90°.
Terzo step
iniziali e finali. Progettazione dello strumento “ArcoSpirale” avente solo due oggetti iniziali (punti A e B) e un oggetto finale (arco di centro B ed estremi i punti A e A’).
I passi dell’algoritmo risolutivo sono i seguenti: 1. Disegnare due punti, A e B;
2. Disegno del punto A’, ottenuto dalla rotazione di A rispetto al centro B di un angolo di 90° in senso antiorario;
3. Costruzione dell’arco di centro B e estremi A e A’;
4. Creare un nuovo strumento, denominato “Arcodispirale”, avente come oggetti iniziali i punti A e B e come oggetti finali l’arco di centro B e estremi A e A’, lo strumento creato potrà essere utilizzato cliccando sull’apposita icona;
5. Costruire gli archi di spirale raccordati, mediante lo strumento “Arcodispirale” creato, con opportuna scelta dei punti.
Figura 7. Output spirale di Breguet generalizzata.